- たむかい学習教室
- 5月3日
- 読了時間: 10分
一次関数のグラフ④
「関数」は受験まで、そして高校進学後にも続く学習になります。式の意味とグラフの見方を正しく理解することが、その後の学習に大きく役立っていきます。また、関数は方程式の学習が土台になります。
問題
マユさんは、家から歩いて駅へ向かったが、途中で忘れ物に気づいたので、走って家まで戻り、戻ってきたときと同じ速さで再び走って駅に向かった。下の図は、マユさんが最初に家を出発してからｘ分後の家からの道のりをｙmとして、マユさんが最初に家を出発してから駅に着くまでのｘとｙの関係を表したグラフである。あとの問いに答えなさい。ただし、マユさんは家に着いたらすぐに駅へ向かったものとする。
1）マユさんが歩いた速さは分速何mか、求めなさい。
2）マユさんが家に向かって走ったときのｘとｙの関係を式に表しなさい。ただし、式はかっこをはずした最も簡単な形で表すこと。
3）マユさんが実際に駅に着いた時刻は、途中で引き返さずに1）の速さで駅まで歩いた場合と同じであった。家から駅までの道のりを求めなさい。
1）
グラフから
忘れ物に気づいたのは出発から６分後
360mを６分間歩いたから
360÷６＝60
よって、分速60m
2）
（６，360）と（９，０）を通る直線
ｘの増加量 ９－６＝３
ｙの増加量 ０－360＝－360
傾き －360/3＝－120
切片をｂとする
ｙ＝－120ｘ＋ｂ
（９，０）を通るから
０＝－120×９＋ｂ
ｂ＝1080
よって、ｙ＝－120ｘ＋1080
3）
再び駅に向かったとき
2）の式の傾きから、速さは分速120m
よって、
ｘ≧９のときの直線の傾きは120
この直線の切片をｃとする
ｙ＝120ｘ＋ｃ
（９，０）を通るから
０＝120×９＋ｃ
ｃ＝－1080
よって、ｙ＝120ｘ－1080
引き返さなかったときの式は
ｙ＝60ｘ👈分速60m
２式の連立方程式より
120ｘ－1080＝60ｘ
ｘ＝18
ｙ＝60ｘに代入
ｙ＝60×18＝1080
よって、1080m
問題
次の方程式について、そのグラフが点（１，－２）を通るものを、ア～エからすべて選びなさい。
ア ３ｘ－ｙ－１＝０
イ ３ｘ＋２ｙ＋１＝０
ウ ３ｙ＋６＝０
エ ｘ＋１＝０
それぞれにｘ＝１、ｙ＝－２を代入
両辺が等しくなるものを選ぶ
ア
３ｘ－ｙ－１＝０
３×１－（－２）－１＝０
３＋２－１＝０ 問題に合わない
イ
３ｘ＋２ｙ＋１＝０
３×１＋２×（－２）＋１＝０
３－４＋１＝０
ウ
３ｙ＋６＝０
３×（－２）＋６＝０
－６＋６＝０
エ
ｘ＋１＝０
１＋１＝０ 問題に合わない
よって、イ・ウ
問題
下の図において、曲線は関数ｙ＝６/ｘのグラフで、曲線上の２点Ａ、Ｂのｘ座標はそれぞれ－６、２である。２点Ａ、Ｂを通る直線の式を求めなさい。
点Ａは、ｘ＝－６
ｙ＝６/ｘ上にあるから
ｙ＝６/（－６）＝－１
よって、Ａ（－６，－１）
点Ｂは、ｘ＝２
ｙ＝６/ｘ上にあるから
ｙ＝６/２＝３
よって、Ｂ（２，３）
（－６，－１）と（２，３）を通る直線
ｘの増加量 ２－（－６）＝８
ｙの増加量 ３－（－１）＝４
傾き ４/８＝１/２
切片をｂとする
ｙ＝（1/2）ｘ＋ｂ
（２，３）を通るから
３＝（1/2）×２＋ｂ
ｂ＝２
よって、ｙ＝（1/2）ｘ＋２
問題
長さ25mのプールで、妹と姉が、同じスタートラインから別々のレーンを泳ぎ始め、一定の速さで１往復してゴールした。妹は、スタートしてから50秒後にゴールし、姉は妹より14秒遅くスタートして、４秒遅くゴールした。下の図は、妹のスタートから計測を始めてｘ秒後の妹と姉の位置を、それぞれのスタート地点からの距離ｙmで表したグラフである。ただし、妹と姉の身長や折り返しのターンにかかる時間は考えないものとする。
1）妹と姉の泳ぐ速さは、それぞれ毎秒何mか、求めなさい。
2）グラフから、妹と姉は１回すれ違っていることがわかる。妹と姉がすれ違ったのは、妹がスタートしてから何秒後か、求めなさい。
1）
妹は往復50mを50秒で進むから
50m÷50秒＝毎秒１m
姉は往復50mを54－14＝40秒で進むから
50÷40＝毎秒5/4m
よって、
妹：毎秒１m、姉：毎秒5/4m
2）
妹は一定の速さで泳ぐから
折り返し後の速さも毎秒１m
よって、直線の傾き－１
妹の直線の切片をｂとする
ｙ＝－ｘ＋ｂ
グラフから（50，０）を通るから
０＝－50＋ｂ ｂ＝50
よって、ｙ＝－ｘ＋50 ①
姉の直線の傾きは5/4
姉の直線の切片をｃとする
ｙ＝（5/4）ｘ＋ｃ
グラフから（14，０）を通るから
０＝（5/4）×14＋ｃ
ｃ＝－35/2
よって、
ｙ＝（5/4）ｘ－（35/2） ②
①、②より
－ｘ＋50＝（5/4）ｘ－（35/2）
－４ｘ＋200＝５ｘ－70
－９ｘ＝－270
ｘ＝30
よって、30秒後
問題
下の図で、直線ℓの式はｙ＝－２ｘ＋８、直線mの式はｙ＝（1/3）ｘ＋１である。ℓとｙ軸の交点をＡ、mとｘ軸の交点をＢ、ℓとmの交点をＣとする。あとの問いに答えなさい。
1）点Ａ、Ｂ、Ｃの座標を求めなさい。
2）３点Ａ、Ｂ、Ｃを結んでできる三角形の面積を求めなさい。ただし、座標の１目もりを１cmとする。
1）
点Ａは、ｘ＝０
ｙ＝－２ｘ＋８上にあるから
ｙ＝－２×０＋８＝８
Ａ（０，８）
点Ｂは、ｙ＝０
ｙ＝（1/3）ｘ＋１上にあるから
０＝（1/3）ｘ＋１
ｘ＝－３
Ｂ（－３，０）
点Ｃは２直線の交点だから
２式の連立方程式より
－２ｘ＋８＝（1/3）ｘ＋１
－６ｘ＋24＝ｘ＋３
－７ｘ＝－21
ｘ＝３
ｙ＝（1/3）ｘ＋１に代入
ｙ＝（1/3）×３＋１＝２
Ｃ（３，２）
2）
ｙ＝－２ｘ＋８の直線とｘ軸の交点をＤ
△ＡＢＤ－△ＣＢＤで求める
点Ｄは、ｙ＝０
ｙ＝－２ｘ＋８上にあるから
０＝－２ｘ＋８
ｘ＝４
△ＡＢＤの底辺をＢＤとする
ＢＤ＝４－（－３）＝７cm
※２点のｘの値の差
高さはＡとＢＤとの距離だから
８－０＝８cm
※２点のｙの値の差
よって、
△ＡＢＤ
＝（1/2）×７×８＝28cm²
△ＣＢＤの底辺をＢＤとする
高さはＣとＢＤとの距離だから
２－０＝２cm
よって、
△ＣＢＤ
＝（1/2）×７×２＝７cm²
よって、求める面積は
28－７＝21cm²
2026年 青森県立高校入試（3/5実施）
大問５「一次関数の利用」
1）ア
80＜ｘ≦200のときだから
直線の式は、ｙ＝100ｘ＋6000
ｘ＝150のときだから
ｙ＝100×150＋6000＝21000
よって、21000円
1）イ
０≦ｘ≦20のとき
直線の式は、ｙ＝200ｘ＋1000
ｘ＝20のとき
ｙ＝200×20＋1000＝5000だから
（０，1000）と（20，5000）を通る直線
20＜ｘ≦80のとき
グラフから
（20，5000）と（80，14000）を通る直線
1）ウ
20＜ｘ≦80のとき
（20，5000）と（80，14000）を通るから
ｘの増加量 80－20＝60
ｙの増加量 14000－5000＝9000
傾き 9000/60＝150
切片の値をｃとする
ｙ＝150ｘ＋ｃ
ｘ＝20、ｙ＝5000を代入
5000＝150×20＋ｃ
ｃ＝2000
直線の式は、ｙ＝150ｘ＋2000
よって、
単位料金は150円、基本料金は2000円
（あ）150円 （い）2000円
2）ア
Ａ社が０≦ｘ≦20のとき
式は、ｙ＝200ｘ＋1000だから
ｘ＝10のとき
ｙ＝200×10＋1000＝3000
Ｂ社も料金が同じだから
ｘ＝10のとき、ｙ＝3000
Ａ社で、ｘ＝15のとき
ｙ＝200×15＋1000＝4000
Ｂ社はＡ社よりも40円安いから
ｘ＝15のとき、ｙ＝4000－40＝3960
ｙ＝ａｘ＋ｂにそれぞれ代入
10ａ＋ｂ＝3000
15ａ＋ｂ＝3960
2）イ
10ａ＋ｂ＝3000 ①
15ａ＋ｂ＝3960 ②
①－②より
５ａ＝960 ａ＝192
①に代入
10×192＋ｂ＝3000
ｂ＝1080
よって、
（う）192円 （え）1080円
3）
Ａ社が０≦ｘ≦20のとき
式は、ｙ＝200ｘ＋1000
プラン１「ｙを１％引き」
200ｘ＋1000＋（200ｘ＋1000）×（－1/100）
＝200ｘ＋1000－2ｘ－10
＝198ｘ＋990 円
プラン２「ｙを22円引き」
200ｘ＋1000－22
＝200ｘ＋978 円
プラン３「単位・基本がＢと同じ」
Ｂ社の式は、ｙ＝192ｘ＋1080 円
プラン１＝プラン２のときは
198ｘ＋990＝200ｘ＋978
２ｘ＝12
ｘ＝６
よって、６ｍ³より大きいとき、
プラン１のｙはプラン２より小さくなる
プラン１＝プラン３のときは
198ｘ＋990＝192ｘ＋1080
６ｘ＝90
ｘ＝15
よって、15ｍ³より小さいとき、
プラン１のｙはプラン３より小さくなる
以上から
６＜ｘ＜15
（お）６ （か）15
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2026.5.3 一次関数のグラフ④