三平方の定理高校入試対策③

たむかい学習教室
2025年12月22日
読了時間: 7分

三平方の定理高校入試対策③

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試の三平方の定理では、立体図形にかけた糸の最短距離を求める出題があります。展開図にしたときの直角三角形の斜辺を求めることが基本になります。通過する辺に指定がないときは、特に注意が必要です。

問題

下の図は、１辺の長さが６cmの立方体である。辺ＦＧの中点をＰとするとき、あとの問いに答えなさい。

1）辺ＥＦ上にＱＦ＝４cmとなる点Ｑをとるとき、三角すいＢＱＦＰの体積を求めなさい。

2）辺ＡＥの中点をＲとするとき、点Ｒから辺ＥＦを通って点Ｐまで糸をかける。この糸の長さが最も短くなるときの、糸の長さを求めなさい。

1）

△ＰＱＦと辺ＢＦが垂直の関係だから

底面を△ＰＱＦ、高さをＢＦとする。

∠ＰＦＱ＝90°、

ＰＦ＝６×（1/2）＝３cmだから

△ＰＱＦ

＝（1/2）×ＰＦ×ＱＦ

＝（1/2）×３×４

＝６cm²

ＢＦ＝６cmだから

三角錐ＢＱＦＰの体積は、

（1/3）×６×６＝12cm³

2）

辺ＥＦの中点をＳとする。

展開図にすると

直角三角形ＲＰＳの斜辺ＲＰが最短距離になる。

ＲＳ＝ＲＥ＋ＥＳ＝６cm

ＰＳ＝ＡＢ＝６cm

三平方の定理より

ＲＰ²＝ＲＳ²＋ＰＳ²

ＲＰ²＝６²＋６²

ＲＰ²＝72

ＲＰ＝６√２

よって、６√２cm

問題

下の図の直方体の表面に、点Ｂから点Ｈまで糸をかける。糸の長さを最短にできるのは、次の㋐～㋒のどの場合か答えなさい。また、そのときの糸の長さを求めなさい。

㋐辺ＣＤ上を通るように糸をかける。

㋑辺ＣＧ上を通るように糸をかける。

㋒辺ＦＧ上を通るように糸をかける。

㋐

面ＡＢＣＤとＤＣＧＨを通る直線ＢＨ

△ＢＨＧにおいて

∠ＢＧＨ＝90°

ＢＧ

＝ＢＣ＋ＣＧ＝５＋４＝９cm

ＧＨ＝３cm

三平方の定理より

ＢＨ²＝ＢＧ²＋ＧＨ²

ＢＨ²＝９²＋３²＝90

よって、

ＢＨ＝3√10cm（ＢＨ＞０）

㋑

面ＢＦＧＣとＣＧＨＤを通る直線ＢＨ

△ＢＨＦにおいて

∠ＢＦＨ＝90°

ＢＦ＝４cm

ＦＨ＝ＦＧ＋ＧＨ＝５＋３＝８cm

三平方の定理より

ＢＨ²＝ＢＦ²＋ＦＨ²

ＢＨ²＝４²＋８²＝80

よって、

ＢＨ＝4√5cm（ＢＨ＞０）

㋒

面ＢＦＧＣとＦＥＨＧを通る直線ＢＨ

△ＢＨＥにおいて

ＢＥ＝ＢＦ＋ＦＥ＝４＋３＝７cm

ＥＨ＝ＦＧ＝５cm

三平方の定理より

ＢＨ²＝ＢＥ²＋ＥＨ²

ＢＨ²＝７²＋５²＝74

よって、

ＢＨ＝√74cm（ＢＨ＞０）

記号　㋒

糸の長さ　√74cm

問題

下の図において、この立体は、１辺の長さが10cmの立方体である。また、辺ＥＦ上に点Ｐがあり、線分ＦＰの長さをｔcmとする。ただし、０＜ｔ＜10とする。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）線分ＤＰの長さが６√６cmとなるとき、ｔの値を求めなさい。

2）ｔ＝２のとき、ひもを点Ｄから立方体の表面にそって点Ｐまでゆるまないようにかける。このひもの長さが最も短くなるときの長さを求めなさい。

1）

正方形ＡＥＨＤに対角線ＤＥを引く

正方形の面と線分ＥＰは垂直の関係だから

△ＤＰＥにおいて

∠ＤＥＰ＝90°

三平方の定理より

ＥＰ²＝ＤＰ²－ＤＥ²

△ＡＥＤにおいて

直角二等辺三角形の辺の比より

ＤＥ：ＡＥ＝√２：１

ＤＥ：10＝√２：１

ＤＥ＝10√２cm

ＥＰ＝（10－ｔ）だから

（10－ｔ）²＝（６√６）²－（10√２）²

100－20ｔ＋ｔ²＝216－200

ｔ²－20ｔ＋84＝０

（ｔ－６）（ｔ－14）＝０

ｔ＝６，14

０＜ｔ＜10より

ｔ＝６

2）

面ＡＥＨＤとＥＦＧＨにおいて

直角三角形ＤＰＡの斜辺ＤＰの長さになる。

ＡＤ＝10cm

ＡＰ＝ＡＥ＋ＥＰ＝10＋８＝18cm

三平方の定理より

ＤＰ²＝ＡＤ²＋ＡＰ²

ＤＰ²＝10²＋18²

ＤＰ²＝424

ＤＰ＝２√106（ＤＰ＞０）

よって、２√106cm

※参考

面ＡＢＣＤとＥＦＢＡで求める場合

直角三角形ＤＰＥの斜辺ＤＰ

ＤＥ＝ＤＡ＋ＡＥ＝20cm

ＥＰ＝ＥＦ－ｔ＝８cm

三平方の定理より

ＤＰ²＝ＤＥ²＋ＥＰ²

ＤＰ²＝20²＋８²

ＤＰ²＝464（ＤＰ＝４√29）

この場合、最短にならないため、問題に合わない。

👉辺ＥＨを通すとき（下面から）と、辺ＡＢを通すとき（上面から）で斜辺の長さが変わる。

★平方数（２乗の数）

　11²＝121　12²＝144　13²＝169

　14²＝196　15²＝225　16²＝256

　17²＝289　18²＝324　19²＝361

　21²＝441　25²＝625

★ピタゴラス数

　直角三角形の辺

　３cm、４cm、５cm

　３²＋４²＝５²

　６cm、８cm、10cmや９cm、12cm、15cmなどの倍数も成り立つ。

　５cm、12cm、13cm

　５²＋12²＝13²

　８cm、15cm、17cm

　８²＋15²＝17²

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今年度塾生35名（2025年11月現在）

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ご入塾までの流れ

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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