三平方の定理高校入試対策12

たむかい学習教室
2月17日
読了時間: 8分

三平方の定理高校入試対策12

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試での三平方の定理に関する出題では、図形に補助線をひいて辺の長さや面積を求める問題があります。また、三角形の相似と組み合わせた問題もあります。

問題

下の図のように、関数ｙ＝（1/2）ｘ＋３・・①のグラフ上に点Ａ（２，４）があり、ｘ軸上に点Ｐがある。∠ＡＰＯ＝30°のとき、Ｐのｘ座標を求めなさい。

点Ａからｘ軸に垂線ＡＨをひく

△ＡＰＨにおいて

∠Ｈ＝90°、∠Ｐ＝30°だから

直角三角形の辺の比より

ＨＰ：ＡＨ＝√３：１

点Ａはｙ＝４だから、ＡＨ＝４

ＨＰ：４＝√３：１

ＨＰ＝４√３

点Ｈはｘ＝２だから、点Ｐのｘ座標は

２＋４√３

問題

下の図のように、長方形ＡＢＣＤを対角線ＢＤを折り目として折り返したとき、点Ｃが移った点をＣ’、辺ＡＤと辺ＢＣ’の交点をＧとする。ＡＢ＝６cm、ＡＤ＝８cmのとき、△ＡＢＧの面積を求めなさい。

ＡＧ＝ｘcmとする

ＡＤ＝ＢＣ＝８cmだから

ＧＤ

＝ＡＤ－ＡＧ＝（８－ｘ）cm

ＡＤ//ＢＣより、錯角だから

∠ＧＤＢ＝∠ＣＢＤ　①

△ＢＣＤ≡△ＢＣ’Ｄだから

∠ＧＢＤ＝∠ＣＢＤ　②

①、②より

∠ＧＤＢ＝∠ＧＢＤだから

△ＧＢＤはＧＢ＝ＧＤ

よって、ＧＢ＝（８－ｘ）cm

△ＡＢＧにおいて、三平方の定理より

ＡＢ²＋ＡＧ²＝ＧＢ²

６²＋ｘ²＝（８－ｘ）²

36＋ｘ²＝64－16ｘ＋ｘ²

16ｘ＝28

ｘ＝7/4＝ＡＧ

よって、

△ＡＢＧの面積は、

（1/2）×ＡＢ×ＡＧ

＝（1/2）×６×（7/4）

＝21/4

よって、21/4 cm²

2025 八戸聖ウルスラ学院入試

問題

下の図は∠ＡＣＢ＝90°の直角三角形ＡＢＣであり、ＢＣ//ＤＥ、ＢＣ//ＦＧ、ＢＣ//ＨＩである。ＡＤ＝５、ＡＨ＝２ＡＤ、ＤＥ＝３、ＢＣ＝12、ＡＦ＝７となるように、線分ＡＢ上に点Ｄ、Ｆ、Ｈ、線分ＡＣ上に点Ｅ、Ｇ、Ｉをとる。あとの問いに答えなさい。

1）三角形ＡＤＥの面積を求めなさい。

2）線分ＨＢの長さを求めなさい。

3）三角形ＡＨＧの面積を求めなさい。

1）

ＢＣ//ＤＥより、同位角だから

∠ＡＥＤ＝∠ＡＣＢ＝90°

△ＡＤＥで三平方の定理より

ＡＥ²＝ＡＤ²－ＤＥ²

ＡＥ²＝５²－３²＝16

ＡＥ＝４（ＡＥ＞０）

よって、△ＡＤＥの面積は、

（1/2）×ＤＥ×ＡＥ

＝（1/2）×３×４＝６

2）

ＢＣ//ＤＥだから、平行線の比の性質より

ＡＤ：ＤＥ＝ＡＢ：ＢＣ

５：３＝ＡＢ：12

５：１＝ＡＢ：４

ＡＢ＝20

ＡＨ＝２ＡＤより、ＡＨ＝２×５＝10

よって、

ＢＨ

＝ＡＢ－ＡＨ＝20－10＝10

3）

△ＡＨＧの底辺をＡＧとすると、

高さはＨＩとなる。

ＤＥ//ＦＧだから、平行線の比の性質より

ＡＤ：ＡＥ＝ＡＦ：ＡＧ

５：４＝７：ＡＧ

ＡＧ＝28/5

ＨＩ//ＢＣで、ＨはＡＢの中点だから

中点連結定理より

ＨＩ＝（1/2）ＢＣ＝６

よって、△ＡＨＧの面積は、

（1/2）×ＡＧ×ＨＩ

＝（1/2）×（28/5）×６＝84/5

下の図は、上の直角三角形ＡＢＣを底面とする三角錐ＪＡＢＣである。∠ＪＣＡ＝90°、三角形ＪＣＢが正三角形であるとき、あとの問いに答えなさい。

4）△ＫＩＨの面積を求めなさい。

5）三角錐ＫＡＨＩの体積を求めなさい。

4）

△ＫＩＨと△ＪＣＢは、

ＨＩ//ＢＣより、平行な面である。

よって、

△ＫＩＨ∽△ＪＣＢ

ＪからＢＣへの垂線をＪＬとする

△ＪＢＬにおいて、直角三角形の辺の比より

ＪＬ：ＪＢ＝√３：２

ＪＢ＝ＢＣ＝12だから

ＪＬ：12＝√３：２

ＪＬ：６＝√３：１

ＪＬ＝６√３

よって、△ＪＣＢの面積は、

（1/2）×ＢＣ×ＪＬ

＝（1/2）×12×６√３＝36√３

△ＫＩＨ∽△ＪＣＢより、相似比は

ＨＩ：ＢＣ＝６：12＝１：２

面積比は、１²：２²＝１：４だから

△ＫＩＨ：△ＪＣＢ＝１：４

△ＫＩＨ：36√3＝１：４

よって、

△ＫＩＨ＝９√３

5）

△ＫＩＨと△ＪＣＢは平行な面だから

∠ＫＩＡ＝∠ＪＣＡ＝90°

四角錐の底面は△ＫＩＡ、高さはＡＩとなる。

ＤＥ//ＨＩだから、平行線の比の性質より

ＡＩ：ＡＥ＝ＡＨ：ＡＤ

ＡＩ：４＝10：５

ＡＩ：４＝２：１

ＡＩ＝８

よって、求める体積は、

（1/3）×△ＫＩＨ×ＡＩ

＝（1/3）×（９√３）×８＝24√３

2025 八戸工大一高入試

問題

下の図は、１辺の長さが８cmの正方形ＡＢＣＤをＡを中心に時計の針と同じ方向に30°回転させたものである。斜線部分の面積を求めなさい。

下図の通り、

ＡＤに垂直なＩＨをひく

△ＡＤ’Ｈで直角三角形の辺の比より

ＡＨ：ＡＤ’＝√３：２

ＡＤ’＝ＡＤ＝８cmだから

ＡＨ：８＝√３：２

ＡＨ＝４√３cm

また、

Ｄ’Ｈ：ＡＤ’＝１：２

Ｄ’Ｈ：８＝１：２

Ｄ’Ｈ＝４cm

ＩＨ＝ＣＤ＝８cmだから

ＩＤ’＝ＩＨ－Ｄ’Ｈ＝４cm

△Ｄ’ＩＪにおいて

∠ＩＤ’Ｊ

＝180°－∠ＡＤ’Ｈ－∠ＡＤ’Ｊ

＝180°－60°－90°＝30°

直角三角形の辺の比より

ＪＩ：ＩＤ’＝１：√３

ＩＤ’＝４cmだから

ＪＩ：４＝１：√３

ＪＩ＝4√3/3 cm

斜線部分の面積を

四角形ＡＢＩＨ－△ＡＤ’Ｈ－△Ｄ’ＩＪ

として求める

四角形ＡＢＩＨの面積は、

ＡＢ＝８cm、ＡＨ＝４√３cmだから

８×４√３＝32√3 cm²

△ＡＤ’Ｈの面積は、

ＡＨ＝４√３cm、Ｄ’Ｈ＝４cmだから

（1/2）×４√３×４＝８√３cm²

△Ｄ’ＩＪの面積は、

ＩＤ’＝４cm、ＪＩ＝4√3/3 cmだから

（1/2）×４×（4√3/3）＝8√3/3 cm²

よって、求める面積は、

（32√3）－（8√3）－（8√3/3）

＝64√3/3 cm²

2023 青森県立高校入試

問題

１辺の長さが８cmの正方形の紙ＡＢＣＤがある。下の図は、辺ＢＣ、ＣＤの中点をそれぞれＥ、Ｆとし、線分ＡＥ、ＥＦ、ＦＡで折ってできる三角錐の展開図である。あとの問いに答えなさい。

1）線分ＡＥの長さを求めなさい。

2）折ってできる三角錐の体積を求めなさい。

3）折ってできる三角錐の底面を△ＡＥＦとしたときの高さを求めなさい。

1）

△ＡＢＥで三平方の定理より

ＡＥ²＝ＡＢ²＋ＢＥ²

ＢＥ＝（1/2）ＡＢ＝４だから

ＡＥ²＝８²＋４²＝80

ＡＥ＝４√５（ＡＥ＞０）

よって、４√５cm

2）

点ＣにＢとＤが１点で接するから

∠ＡＢＣ＝90°より

高さがＡＢ（ＡＣ・ＡＤ）、底面が△ＣＥＦとなる。

△ＣＥＦで、∠ＥＣＦ＝90°、

ＣＥ＝ＣＦ＝４cmだから

△ＣＥＦ

＝（1/2）×ＣＥ×ＣＦ

＝（1/2）×４×４＝８

三角錐の高さＡＢ＝８だから

求める体積は、

（1/3）×△ＣＥＦ×ＡＢ

＝（1/3）×８×８＝64/3

よって、64/3 cm³

3）

△ＡＥＦにおいて

ＡからＥＦへの垂線をＡＨとする

△ＣＥＦで直角二等辺三角形の辺の比より

ＥＦ：ＣＥ＝√２：１

ＥＦ：４＝√２：１

ＥＦ＝４√２cm

△ＡＢＥ≡△ＡＤＦより

△ＡＥＦは、

ＡＥ＝ＡＦの二等辺三角形だから

ＥＨ＝ＨＦ＝（1/2）×ＥＦ

よって、

ＥＨ＝（1/2）×（４√２）＝２√２cm

△ＡＥＨで、∠ＡＨＥ＝90°だから

三平方の定理より

ＡＨ²＝ＡＥ²－ＥＨ²

ＡＨ²＝（４√５）²－（２√２）²＝72

ＡＨ＝６√２cm（ＡＨ＞０）

よって、△ＡＥＦの面積は、

（1/2）×ＥＦ×ＡＨ

＝（1/2）×（４√２）×（６√２）＝24

求める三角錐の高さをｘcmとする

三角錐の体積は64/3cm³だから

（1/3）×24×ｘ＝64/3

24ｘ＝64

ｘ＝8/3

よって、8/3cm

★平方数（２乗の数）

　11²＝121　12²＝144　13²＝169

　14²＝196　15²＝225　16²＝256

　17²＝289　18²＝324　19²＝361

　21²＝441　25²＝625

★ピタゴラス数

　直角三角形の辺

　３cm、４cm、５cm

　３²＋４²＝５²

　６cm、８cm、10cmや９cm、12cm、15cmなどの倍数も成り立つ。

　５cm、12cm、13cm

　５²＋12²＝13²

　８cm、15cm、17cm

　８²＋15²＝17²

★有名角

　30°、60°、90°　直角三角形

　辺の比　１：２：√３

　45°、45°、90°　直角二等辺

　辺の比　１：１：√２

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今年度塾生35名（2026年1月現在）

「体験学習」を実施しています

通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。

当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。

ご入塾までの流れ

体験学習（60分）

入塾をご希望の場合、

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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