三平方の定理高校入試対策13

たむかい学習教室
2月28日
読了時間: 7分

三平方の定理高校入試対策13

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試での三平方の定理に関する出題では、図形に補助線をひいて辺の長さや面積を求める問題があります。また、三角形の相似と組み合わせた問題もあります。

問題

下の図のように、正方形ＡＢＣＤがある。辺ＢＣ上に点Ｅをとり、正方形ＤＥＦＧをつくる。辺ＤＣをＣの方に延長した直線と辺ＥＦとの交点をＨとする。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＤＢＥと△ＤＦＨが相似になることを証明しなさい。

2）ＡＢ＝16cm、ＢＥ＝４cmのとき、次のア、イに答えなさい。

ア　線分ＦＨの長さを求めなさい。

イ　頂点Ｆと直線ＢＣとの距離を求めなさい。

1）

〔証明〕

△ＤＢＥと△ＤＦＨにおいて

ＤＢとＤＦは正方形の対角線だから

∠ＤＢＥ＝∠ＤＦＨ＝45°　①

∠ＢＤＥ＝∠ＢＤＣ－∠ＥＤＣ

　　　　＝45°－∠ＥＤＣ　②

∠ＦＤＨ＝∠ＦＤＥ－∠ＥＤＣ

　　　　＝45°－∠ＥＤＣ　③

②、③より

∠ＢＤＥ＝∠ＦＤＨ　④

①、④より

２組の角がそれぞれ等しいので

△ＤＢＥ∽△ＤＦＨ

2）ア

ＡＢ＝ＡＤ＝16cm、∠Ａ＝90°だから

直角二等辺三角形の辺の比より

ＤＢ＝16√２cm

ＢＥ＝４cmより

ＥＣ＝ＢＣ－ＢＥ＝16－４＝12cm

△ＤＥＣで∠Ｃ＝90°だから

三平方の定理より

ＤＥ²＝ＥＣ²＋ＤＣ²＝12²＋16²＝400

ＤＥ＝20cm（ＤＥ＞０）

よって、

ＥＦ＝ＤＥ＝20cm

△ＤＥＦで∠ＤＥＦ＝90°だから

直角二等辺三角形の辺の比より

ＤＦ＝20√２cm

△ＤＢＥ∽△ＤＦＨより

ＢＥ：ＦＨ＝ＤＢ：ＤＦ

ＢＥ＝４cm、ＤＢ＝16√２cm、ＤＦ＝20√２cmだから

４：ＦＨ＝16√２：20√２

４：ＦＨ＝４：５

１：ＦＨ＝１：５

ＦＨ＝５cm

2）イ

点と直線の距離だから

辺ＢＣを延長した直線と点Ｆからの垂線の交点をＩとし、ＦＩの長さが求める距離になる。

ＦＨ＝５cmより

ＥＨ＝ＥＦ－ＦＨ＝20－５＝15cm

△ＤＢＥ∽△ＤＦＨより

ＤＥ：ＤＨ＝４：５

20：ＤＨ＝４：５

５：ＤＨ＝１：５

ＤＨ＝25cm

よって、

ＣＨ＝ＤＨ－ＤＣ＝25－16＝９cm

点ＣからＥＨへの垂線をＣＪとする

△ＣＥＨの面積は、

（1/2）×ＥＣ×ＣＨ

＝（1/2）×12×９＝54cm²

△ＣＥＨの底辺をＥＨ、高さをＣＪとすると

（1/2）×ＥＨ×ＣＪ＝54

（1/2）×15×ＣＪ＝54

ＣＪ＝36/5cm

ＣＪは△ＣＥＦの高さでもあるから

△ＣＥＦの面積は、

（1/2）×ＥＦ×ＣＪ

＝（1/2）×20×（36/5）＝72cm²

△ＣＥＦの底辺をＥＣとすると、高さはＦＩになるから

（1/2）×ＥＣ×ＦＩ＝72

（1/2）×12×ＦＩ＝72

ＦＩ＝12cm

よって、12cm

問題

下の図は、ＡＢ＝５cm、ＢＣ＝６cm、ＢＦ＝４cmの直方体である。辺ＢＣの中点をＰとするとき、あとの問いに答えなさい。

1）線分ＡＰの長さを求めなさい。

2）線分ＰＨの長さを求めなさい。

1）

ＢＰ＝（1/2）ＢＣだから

ＢＰ＝（1/2）×６＝３cm

△ＡＰＢで∠Ｂ＝90°だから

三平方の定理より

ＡＰ²＝ＡＢ²＋ＢＰ²＝５²＋３²＝34

ＡＰ＞０より

ＡＰ＝√34cm

2）

点ＰからＦＧへの垂線をＰＱとする

△ＰＨＱで∠ＰＱＨ＝90°だから

三平方の定理より

ＰＨ²＝ＰＱ²＋ＱＨ²

ＰＱ＝ＢＦ＝４cm、

ＱＨ＝ＡＰ＝√34cmだから

ＰＨ²＝４²＋（√34）²＝50

ＰＨ＞０より

ＰＨ＝５√２cm

問題

下の２つの問題について、あとの問いに答えなさい。

【問題１】

下の図で、同じ印をつけた角の大きさが等しいとき、四角形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。

【問題２】

下の図で、四角形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。

1）【問題１】で、△ＡＢＥの面積を求めなさい。

2）【問題１】を解きなさい。

3）【問題２】を次の文を手がかりとして解きなさい。

「補助線を何本かひくと、特別な角度の直角三角形の辺の比が使える。」

1）

ＡからＢＥへの垂線をＡＨとする

ＢＨ＝（1/2）ＢＥだから

ＢＨ＝（1/2）×６＝３cm

△ＡＢＨで三平方の定理より

ＡＨ²＝ＡＢ²－ＢＨ²＝９²－３²＝72

ＡＨ＝６√２cm（ＡＨ＞０）

よって、△ＡＢＥの面積は、

（1/2）×ＢＥ×ＡＨ

＝（1/2）×６×６√２

＝18√２cm²

2）

△ＡＢＥと△ＡＤＥにおいて

底辺の長さと高さが等しいから

△ＡＤＥ＝△ＡＢＥ＝18√２cm²

よって、

△ＡＢＤ＝18√２×２＝36√２cm²　①

∠ＤＡＥ＝∠ＣＢＥだから

円周角の定理の逆より

４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは同一円周上にある

△ＡＤＥと△ＢＣＥにおいて

Ａ⌒Ｂに対する円周角だから

∠ＡＤＥ＝∠ＢＣＥ

よって、

△ＡＤＥ∽△ＢＣＥ

ＡＥ：ＢＥ＝９：６＝３：２だから

面積比は、

△ＡＤＥ：△ＢＣＥ＝３²：２²＝９：４

△ＡＤＥ＝18√２cm²だから

18√２：△ＢＣＥ＝９：４

２√２：△ＢＣＥ＝１：４

△ＢＣＥ＝８√２cm²

△ＢＣＥと△ＤＣＥにおいて

底辺の長さと高さが等しいから

△ＤＣＥ＝△ＢＣＥ＝８√２cm²

よって、

△ＢＣＤ＝８√２×２＝16√２cm²　②

求める面積は、①＋②より

36√２＋16√２＝52√２cm²

3）

線分ＯＡをひくと、円Ｏの半径だから

ＯＡ＝ＯＢ＝６cm

よって、

∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝45°

∠ＡＯＢ＝180°－45°×２＝90°

△ＯＡＢの面積は、

（1/2）×ＯＡ×ＯＢ

＝（1/2）×６×６＝18cm²　①

線分ＯＤをひくと、円Ｏの半径だから

ＯＤ＝ＯＣ＝６cm

∠Ｃ＝60°だから

△ＯＣＤは１辺６cmの正三角形になる

点ＯからＣＤへの垂線をＯＩとする

ＣＩ＝（1/2）ＣＤだから

ＣＩ＝（1/2）×６＝３cm

△ＯＣＩで三平方の定理より

ＯＩ²＝ＯＣ²－ＣＩ²＝６²－３²＝27

ＯＩ＝３√３cm（ＯＩ＞０）

よって、△ＯＣＤの面積は、

（1/2）×ＣＤ×ＯＩ

＝（1/2）×６×３√３

＝９√３cm²　②

点ＡからＯＤへの垂線をＡＪとする

∠ＡＯＢ＝90°、∠ＣＯＤ＝60°だから

∠ＡＯＪ＝180°－90°－60°＝30°

よって、

△ＡＯＤで直角三角形の辺の比より

ＡＪ：ＡＯ＝１：２

ＡＪ：６＝１：２

ＡＪ＝３cm

よって、△ＡＯＤの面積は、

（1/2）×ＯＤ×ＡＪ

＝（1/2）×６×３＝９cm²　③

求める面積は、①＋②＋③より

18＋９√３＋９

＝27＋９√３cm²

★平方数（２乗の数）

　11²＝121　12²＝144　13²＝169

　14²＝196　15²＝225　16²＝256

　17²＝289　18²＝324　19²＝361

　21²＝441　25²＝625

★ピタゴラス数

　直角三角形の辺

　３cm、４cm、５cm

　３²＋４²＝５²

　６cm、８cm、10cmや９cm、12cm、15cmなどの倍数も成り立つ。

　５cm、12cm、13cm

　５²＋12²＝13²

　８cm、15cm、17cm

　８²＋15²＝17²

★有名角

　30°、60°、90°　直角三角形

　辺の比　１：２：√３

　45°、45°、90°　直角二等辺

　辺の比　１：１：√２

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今年度塾生35名（2026年1月現在）

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当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。

ご入塾までの流れ

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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