三角形の合同高校入試対策6

たむかい学習教室
2月21日
読了時間: 6分

三角形の合同高校入試対策6

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

三角形の合同では、合同を利用して図形の辺の長さや周の長さを求める出題があります。正三角形や二等辺三角形を利用した出題も多く、等しい辺や角度を見いだすこともポイントになります。

問題

下の図は、ＡＢ＜ＢＣである長方形ＡＢＣＤを、対角線ＡＣを折り目として折り返し、頂点Ｄが移った点をＥ、辺ＢＣと線分ＡＥの交点をＦとしたものである。このとき、△ＡＦＣは二等辺三角形であることを証明しなさい。

〔証明〕

△ＡＥＣ≡△ＡＤＣより

∠ＣＡＥ＝∠ＣＡＤ

よって、

∠ＣＡＦ＝∠ＣＡＤ　①

ＡＤ//ＦＣより

平行線の錯角だから

∠ＡＣＦ＝∠ＣＡＤ　②

①、②より

２つの角が等しいから、

△ＡＦＣは二等辺三角形である。

問題

下の図の正方形ＡＢＣＤで、△ＡＥＦが正三角形となるように、点Ｅを辺ＢＣ上に、点Ｆを辺ＣＤ上にとるとき、△ＡＢＥと△ＡＤＦが合同になることを証明しなさい。

〔証明〕

△ＡＢＥと△ＡＤＦにおいて

仮定より

∠ＡＢＥ＝∠ＡＤＦ＝90°　①

ＡＢ＝ＡＤ　②

ＡＥ＝ＡＦ　③

①、②、③より

直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので

△ＡＢＥ≡△ＡＤＦ

問題

下の図のように、円Ｏと△ＡＢＣがあり、円Ｏは、３点Ｄ、Ｅ、Ｆで、辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＡと接している。ＡＢ＝９cm、ＡＣ＝13cm、ＡＤ＝４cmのとき、辺ＢＣの長さを求めなさい。

円の接線の性質より

ＯＤ⊥ＡＢ、ＯＥ⊥ＢＣ、ＯＦ⊥ＣＡ

線分ＯＡをひく

△ＯＡＤと△ＯＡＦにおいて

∠ＯＤＡ＝∠ＯＦＡ＝90°

ＯＡ＝ＯＡ（共通）

円Ｏの半径だから

ＯＤ＝ＯＦ

直角三角形の斜辺と他の１辺が等しいから

△ＯＡＤと△ＯＡＦ

よって、

ＡＤ＝ＡＦ＝４cm

ＢＤ

＝ＡＢ－ＡＤ＝９－４＝５cm

△ＯＢＥ≡△ＯＢＤだから

ＢＥ＝ＢＤ＝５cm

ＣＦ

＝ＣＡ－ＡＦ＝13－４＝９cm

△ＯＣＥ≡△ＯＣＦだから

ＣＥ＝ＣＦ＝９cm

ＢＣ＝ＢＥ＋ＣＥだから

５＋９＝14cm

2021年青森県立高校入試

問題

下の図のように、正三角形ＡＢＣがあり、辺ＡＣ上に点Ｄをとる。また、正三角形ＡＢＣの外側に正三角形ＤＣＥをつくる。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＢＣＤ≡△ＡＣＥであることを証明しなさい。

2）四角形ＡＢＣＥの周の長さが21cmのとき、次のア、イに答えなさい。

ア

ＡＢ＝ａcm、ＣＤ＝ｂcmとしたとき、辺ＡＥの長さをａ、ｂを用いて表しなさい。

イ

△ＡＢＤの周の長さが13cmのとき、正三角形ＤＣＥの１辺の長さを求めなさい。

1）

〔証明〕

△ＢＣＤと△ＡＣＥにおいて

仮定より

ＢＣ＝ＡＣ　①

ＣＤ＝ＣＥ　②

∠ＡＣＢ＝60°だから

∠ＢＣＤ＝60°

∠ＤＣＥ＝60°だから

∠ＡＣＥ＝60°

よって、∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＥ　③

①、②、③より

２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

△ＢＣＤ≡△ＡＣＥ

2）ア

ＡＥ＋ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＥ＝21cm

ＡＢ＝ＢＣ＝ａcm、

ＣＥ＝ＣＤ＝ｂcmだから

ＡＥ＋ａ＋ａ＋ｂ＝21

よって、

ＡＥ＝（21－２ａ－ｂ）cm

2）イ

△ＢＣＤ≡△ＡＣＥより

ＢＤ＝ＡＥ＝（21－２ａ－ｂ）cm

△ＡＢＤにおいて

ＡＢ＝ａcm、

ＡＤ＝ＡＣ－ＣＤ＝（ａ－ｂ）cm

周の長さは、

ＢＤ＋ＡＢ＋ＡＤ＝13cmだから

（21－２ａ－ｂ）＋ａ＋（ａ－ｂ）＝13

21－２ｂ＝13

２ｂ＝８

ｂ＝４

ＣＤ＝ｂcmだから

求める長さは、４cm

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