- たむかい学習教室
- 4月5日
- 読了時間: 10分
二次関数のグラフと図形
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
春休みに入り、塾生は進学に向けた土台づくりを進めています。高校数学でも関数の学習があり、グラフの見方のほか、文字（代数）を使った座標や式の表し方が基本になります。
問題
下の図のように、２つの関数ｙ＝ｘ²、ｙ＝（1/3）ｘ²のグラフがある。ｙ＝ｘ²のグラフ上にｘ座標が－３である点Ａをとり、ｙ＝（1/3）ｘ²のグラフ上にｙ座標が３である点Ｂをとる。このとき、あとの問いに答えなさい。
1）２点Ａ、Ｂの座標を求めよ。
2）直線ＡＢの方程式を求めよ。
3）△ＯＡＢの面積を求めよ。
4）ｙ軸上に点Ｐ（０，ａ）をとる。点Ｐを通り、ｘ軸に平行な直線が△ＯＡＢの面積を２等分するとき、ａの値を求めよ。ただし、ａ＞３とする。
1）
点Ａは、ｘ＝－３
ｙ＝ｘ²上にあるから
ｙ＝（－３）²＝９
よって、Ａ（－３，９）
点Ｂは、ｙ＝３
ｙ＝（1/3）ｘ²上にあるから
３＝（1/3）ｘ²
ｘ²＝９
ｘ＞０より、ｘ＝３
よって、Ｂ（３，３）
2）
（－３，９）（３，３）を通る直線
ｘの増加量 ３－（－３）＝６
ｙの増加量 ３－９＝－６
傾き －６/６＝－１
切片の値をｂとする
ｙ＝－ｘ＋ｂ
（３，３）を通るから
３＝－３＋ｂ ｂ＝６
よって、ｙ＝－ｘ＋６
3）
直線ＡＢとｙ軸との交点をＣとする
△ＯＡＣ＋△ＯＢＣ＝△ＯＡＢで求める
点Ｃは
ｙ＝－ｘ＋６の切片だからｙ＝６
△ＯＡＣについて
底辺はＯＣ、高さは点Ａとｙ軸の距離
ＯＣ＝６－０＝６（ｙの値の差）
高さ＝０－（－３）＝３（ｘの値の差）
△ＯＡＣの面積は
（1/2）×６×３＝９
△ＯＢＣについて
底辺ＯＣ、高さは点Ｂとｙ軸の距離
ＯＣ＝６
高さ＝３－０＝３
△ＯＢＣの面積は
（1/2）×６×３＝９
よって、求める面積は
△ＯＡＣ＋△ＯＢＣ
＝９＋９＝18
4）
ｘ軸に平行な直線は（０，ａ）を通る
直線の式は、ｙ＝ａ
ｙ＝ａとｙ＝－ｘ＋６との交点をＰ、
ｙ＝ａと直線ＯＡとの交点をＱとする
△ＡＰＱにおいて
底辺ＰＱとすると、
高さはＡとＰＱの距離
点Ｐのｘ座標は
－ｘ＋６＝ａ
ｘ＝６－ａ ①
直線ＯＡの式は、Ａ（－３，９）だから
ｙ＝－３ｘ
点Ｑのｘ座標は
－３ｘ＝ａ
ｘ＝（－1/3）ａ ②
①、②より
ＰＱ＝（６－ａ）－（－1/3）ａ
＝６－（2/3）ａ
ＡとＰＱの距離は、９－ａ
△ＡＰＱ＝９のときだから
（1/2）×｛６－（2/3）ａ｝×（９－ａ）＝９
ａ²－18ａ＋54＝０
解の公式（ｂ偶数）より
ａ＝－（－９）±√（－９）²－54
＝９±３√３
３＜ａ＜９だから
ａ＝９－３√３
問題
下の図のように、２直線ℓ、mがあり、ℓ、mの式はそれぞれｙ＝（－1/2）ｘ＋６、ｙ＝（1/4）ｘである。ℓとmとの交点をＡとする。また、線分ＯＡ上を動く点をＰとし、Ｐを通りｙ軸に平行な直線ℓとの交点をＱとする。さらに、四角形ＰＱＲＳが正方形となるように２点Ｒ、Ｓをとる。ただし、Ｓのｘ座標はＰのｘ座標より小さいものとする。このとき、あとの問いに答えなさい。
1）点Ａの座標を求めよ。
2）点Ｐのｘ座標をｔとする。点Ｓがｙ軸上にあるとき、ｔの値を求めよ。
3）点Ｐのｘ座標をｔとする。正方形ＰＱＲＳがｙ軸によって２つの長方形に分けられるとき、できた長方形のいずれか一方の面積と△ＡＱＰの面積が等しくなるｔの値をすべて求めよ。
1）
ｙ＝（－1/2）ｘ＋６と
ｙ＝（1/4）ｘの交点だから
（－1/2）ｘ＋６＝（1/4）ｘ
－２ｘ＋12＝ｘ
ｘ＝４
ｙ＝（1/4）ｘに代入
ｙ＝（1/4）×４＝１
よって、（４，１）
2）
点Ｐは、ｘ＝ｔ
ｙ＝（1/4）ｘ上にあるから
ｙ＝（1/4）ｔ
点Ｑは、ｘ＝ｔ
ｙ＝（－1/2）ｘ＋６上にあるから
ｙ＝（－1/2）ｔ＋６
よって、
ＰＱ＝（－1/2）ｔ＋６－（1/4）ｔ
＝（－3/4）ｔ＋６
点Ｓは、ｘ＝０だから
ＰＳ＝ｔ－０＝ｔ
ＰＱ＝ＰＳだから
（－3/4）ｔ＋６＝ｔ
ｔ＝24/7
3）
△ＡＱＰの底辺をａ、高さをｂとする。
また、
ＲＱ、ＳＰとｙ軸の交点をＴ、Ｕ、
ＱＴの長さをｃとする。
△ＡＰＱ＝（1/2）ａｂ ①
四角形ＴＵＰＱ＝ａｃ ②
①＝②だから
（1/2）ａｂ＝ａｃ
両辺÷ａより
（1/2）ｂ＝ｃ
ｂ＝８－ｔ、
ｃ＝ｔ－０＝ｔだから
（1/2）×（８－ｔ）＝ｔ
８－ｔ＝２ｔ
ｔ＝8/3
ＲＴ＝ａ－ｃより
四角形ＲＳＵＴ＝ａ（ａ－ｃ） ③
①＝③だから
（1/2）ａｂ＝ａ（ａ－ｃ）
（1/2）ｂ＝ａ－ｃ
ａ＝（－1/2）ｔ＋６－（1/4）ｔ
＝（－3/4）ｔ＋６だから
（1/2）×（８－ｔ）＝（－3/4）ｔ＋６－ｔ
16－２ｔ＝－３ｔ＋24－４ｔ
５ｔ＝８
ｔ＝8/5
よって、
ｔ＝8/3、8/5
問題
下の図で、曲線は関数ｙ＝ｘ²のグラフである。ｘ軸上にｘ座標が－３である点Ａをとり、点Ａを通り傾きが正の直線ℓをひく。直線ℓと曲線との交点のうちｘ座標が負のものをＢ、正のものをＣとし、直線ℓとｙ軸との交点をＤとする。このとき、あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。
1）点Ｂのｘ座標が－２のとき、△ＢＯＤの面積を求めよ。
2）ＡＢ：ＢＣ＝１：３のとき、ＢＣの長さを求めよ。
1）
点Ｂはｙ＝ｘ²上にあるから
ｙ＝（－２）²＝４
よって、Ｂ（－２，４）
点Ａは（－３，０）
２点を通る直線の式を求める
ｘの増加量 －２－（－３）＝１
ｙの増加量 ４－０＝４
傾き ４/１＝４
切片の値をｂとする
ｙ＝４ｘ＋ｂ
（－３，０）を通るから
０＝４×（－３）＋ｂ ｂ＝12
よって、Ｄ（０，12）
ＯＤ＝12－０＝12cm、
高さＢＨ＝０－（－２）＝２だから
△ＢＯＤの面積は
（1/2）×12×２＝12cm²
2）
点Ｂ、Ｃからｘ軸への垂線をＢＰ、ＣＱとする
ＢＰ//ＣＱだから
平行線の比の性質より
ＢＰ：ＣＱ＝ＡＢ：ＡＣ＝１：４
点Ｂをｘ＝－ｔとすると、ｙ＝ｔ²
ＢＰ＝ｔ²－０＝ｔ²
よって、
ｔ²：ＣＱ＝１：４
ＣＱ＝４ｔ²
点Ｃは、ｙ＝４ｔ²だから
４ｔ²＝ｘ²
ｘ＝２ｔ ※点Ｂをｘ＝－ｔとしたから
よって、Ｃ（２ｔ，４ｔ²）
ＰＯ＝ｔ－０＝ｔ、
ＯＱ＝２ｔ－０＝２ｔだから
ＰＯ：ＯＱ＝ｔ：２ｔ＝１：２
平行線の比の性質より
ＢＤ：ＤＣ＝ＰＯ：ＯＱ＝１：２
ＡＢ：ＢＣ＝１：３だから
ＡＢ：ＢＤ＝１：１
点ＢはＡＤの中点だから
ｘ座標は、（－３＋０）÷２＝－3/2
よって、ｔ＝3/2
Ｃ（２ｔ，４ｔ²）としたから
Ｃ（３，９）
また、Ｑ（３，０）
△ＡＣＱで∠ＡＱＣ＝90°だから
三平方の定理より
ＡＣ²＝ＡＱ²＋ＣＱ²
ＡＱ＝３－（－３）＝６cm
ＣＱ＝９－０＝９cm だから
ＡＣ²＝６²＋９²＝117
ＡＣ＝３√13cm（ＡＣ＞０）
ＢＣ＝（3/4）ＡＣだから
ＢＣ＝（3/4）×（3√13）＝9√13/4
よって、9√13/4 cm
問題
図１～図３のように、関数ｙ＝（1/2）ｘ²のグラフ上に２点Ａ、Ｂがあり、Ａ、Ｂのｘ座標はそれぞれ２、－４である。原点をＯとして、あとの問いに答えなさい。
1）点Ａのｙ座標を求めよ。
2）直線ＡＢの式を求めよ。
3）△ＯＡＢの面積を求めよ。
1）
点Ａは、ｘ＝２
ｙ＝（1/2）ｘ²上にあるから
ｙ＝（1/2）×２²＝２
よって、２
2）
点Ｂは、ｘ＝－４
ｙ＝（1/2）ｘ²上にあるから
ｙ＝（1/2）×（－４）²＝８
よって、Ｂ（－４，８）
（２，２）（－４，８）を通る直線だから
ｘの増加量 ２－（－４）＝６
ｙの増加量 ２－８＝－６
傾き －６/６＝－１
切片の値をｂとする
ｙ＝－ｘ＋ｂ
（２，２）を通るから
２＝－２＋ｂ ｂ＝４
よって、ｙ＝－ｘ＋４
3）
ＡＢとｙ軸の交点をＣとする
点Ｃは、ｙ＝４だから
ＯＣ＝４－０＝４
△ＯＡＣの底辺をＯＣとすると
高さは、２－０＝２
△ＯＡＣの面積は
（1/2）×４×２＝４
△ＯＢＣの底辺をＯＣとすると
高さは、０－（－４）＝４
△ＯＢＣの面積は
（1/2）×４×４＝８
△ＯＡＢ＝△ＯＡＣ＋△ＯＢＣ
＝４＋８＝12
よって、12
4）図２、図３のように、点Ｐが関数ｙ＝（1/2）ｘ²のグラフ上にある。点Ｐを通りｘ軸に平行な直線と直線ＡＢとの交点をＱとする。点Ｐのｘ座標をｔとするとき、次の問いに答えなさい。
ａ）点Ｑがｙ軸上にあるとき、線分ＰＱの長さを求めよ。
ｂ）線分ＰＱの長さをｔの式で表せ。
ｃ）図３のように、関数ｙ＝（1/2）ｘ²のグラフ上にＡＢ//ＰＲとなる点Ｒをとる。点Ｐのｘ座標と点Ｒのｘ座標の差が７となるとき、△ＰＱＲの面積を求めよ。
ａ）
2）より、点Ｑはｙ＝４
点Ｐもｙ＝４で、ｙ＝（1/2）ｘ²上にあるから
４＝（1/2）ｘ²
ｘ²＝８
ｘ＝２√２（ｘ＞０）
点Ｑはｘ＝０だから
ＰＱ＝２√２－０＝２√２
ｂ）
点Ｐはｘ＝ｔで、ｙ＝（1/2）ｘ²上にあるから
ｙ＝（1/2）ｔ²
よって、点Ｑもｙ＝（1/2）ｔ²
点Ｑはｙ＝－ｘ＋４上にあるから
（1/2）ｔ²＝－ｘ＋４
ｘ＝４－（1/2）ｔ²
よって、
ＰＱ＝ｔ－｛４－（1/2）ｔ²｝
＝（1/2）ｔ²＋ｔ－４
ｃ）
ＰＲはＡＢの傾きと同じ－１
ｘが７増加すると、ｙは－７増加するから
点Ｒのｘ座標は、ｔ－７
ｙ座標は、（1/2）ｔ²＋７
点Ｒは、ｙ＝（1/2）ｘ²上にあるから
（1/2）ｔ²＋７＝（1/2）×（ｔ－７）²
ｔ＝5/2
ｂ）より
ＰＱ＝（1/2）ｔ²＋ｔ－４
＝（1/2）×（5/2）²＋（5/2）－４
＝13/8
よって、△ＰＱＲの面積は、
（1/2）×（13/8）×７＝91/16
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2026.4.5 二次関数のグラフと図形