二次関数グラフの交点

たむかい学習教室
10月21日
読了時間: 8分

二次関数グラフの交点

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

二次関数の放物線と直線の交点を求めるときは、２つの式の連立方程式（２次方程式）により求めます。また、放物線上の点を結んでできる三角形や四角形を利用する問題では、辺の長さを点の座標から求めます。

※放物線と直線の交点（共有点）を連立方程式で求める学習は、高校数学の内容になります。中学数学では、グラフの作図により求める学習が基本になります。

問題

下の図のように、関数ｙ＝ａｘ²のグラフとｙ＝ｍｘ＋４のグラフが２点Ａ、Ｂで交わっている。点Ａの座標が（－４，８）であるとき、点Ｂの座標を求めなさい。

点Ａは、ｙ＝ａｘ²上にあるから

８＝ａ×（－４）²

ａ＝1/2

よって、放物線の式は、

ｙ＝（1/2）ｘ²

点Ａは、ｙ＝ｍｘ＋４上にあるから

８＝ｍ×（－４）＋４

ｍ＝－１

よって、直線の式は、

ｙ＝－ｘ＋４

点Ｂは、２つの直線の交点だから

（1/2）ｘ²＝－ｘ＋４

ｘ²＋２ｘ－８＝０

（ｘ＋４）（ｘ－２）＝０

ｘ＝－４，２

ｘ＝－４は、点Ａの値だから、

点Ｂは、ｘ＝２

ｙ＝－ｘ＋４に代入

ｙ＝－２＋４＝２

よって、求める座標は、

（２，２）

問題

下の図は、関数ｙ＝ｘ²とｙ＝－ｘ＋６のグラフで、Ａ、Ｂはそれぞれ交点である。あとの問いに答えなさい。

1）点Ａの座標を求めなさい。

2）点Ｂの座標を求めなさい。

3）△ＯＡＰの面積を求めなさい。

4）△ＯＢＰの面積を求めなさい。

5）△ＯＡＢの面積を求めなさい。

1）

ｘ²＝－ｘ＋６

ｘ²＋ｘ－６＝０

（ｘ＋３）（ｘ－２）＝０

ｘ＝－３，２

点Ａのｘの値は負だから、ｘ＝－３

ｙ＝－ｘ＋６に代入

ｙ＝－（－３）＋６＝９

よって、求める座標は、

（－３，９）

2）

1）より、点Ｂはｘ＝２

ｙ＝－ｘ＋６に代入

ｙ＝－２＋６＝４

よって、求める座標は、

（２，４）

3）

底辺をＯＰ、

高さを点Ａからの垂線ＡＣとする。

点Ｐのｙ座標は６だから

ＯＰ＝６－０＝６

点Ａのｘ座標は－３だから

ＡＣ＝０－（－３）＝３

よって、△ＯＡＰの面積は、

（1/2）×ＯＰ×ＡＣ

＝（1/2）×６×３

＝９

4）

底辺をＯＰ、

高さを点Ｂからの垂線ＢＤとする。

点Ｂのｘ座標は２だから

ＢＤ＝２－０＝２

よって、△ＯＢＰの面積は、

（1/2）×ＯＰ×ＢＤ

＝（1/2）×６×２

＝６

5）

△ＯＡＢの面積は、

△ＯＡＰと△ＯＢＰの面積の和だから

９＋６＝15

問題

下の図は、ｙ＝（1/4）ｘ²のグラフ上に、ｘ座標が正の数でａである点Ａをとり、関数ｙ＝（1/2）ｘ²のグラフ上に、点Ａとｘ座標が等しい点Ｂと、点Ｂとｙ軸について対称な点Ｃをとり、△ＡＢＣをつくったものである。あとの問いに答えなさい。

1）ａ＝４のとき、ＡＢの長さを求めなさい。

2）ＡＢとＢＣの長さが等しくなるとき、ａの値を求めなさい。

1）

ａ＝４だから、

点ＡとＢは、ｘ＝４

点Ａは、ｙ＝（1/4）ｘ²上にあるから

ｙ＝（1/4）×４²＝４

点Ｂは、ｙ＝（1/2）ｘ²上にあるから

ｙ＝（1/2）×４²＝８

ＡＢの長さは、ｙの値の差だから

８－４＝４

2）

点Ａは、ｙ＝（1/4）ｘ²上にあるから

ｙ＝（1/4）×ａ²

　＝（1/4）ａ²

点Ｂは、ｙ＝（1/2）ｘ²上にあるから

ｙ＝（1/2）×ａ²

　＝（1/2）ａ²

ＡＢの長さは、ｙの値の差だから

（1/2）ａ²－（1/4）ａ²

＝（1/4）ａ²　①

点ＣはＢと対称だから、ｘ＝－ａ

ＢＣの長さは、ｘの値の差だから

ａ－（－ａ）

＝２ａ　②

①＝②より

（1/4）ａ²＝２ａ

ａ²－８ａ＝０

ａ（ａ－８）＝０

ａ＝０，８

ａは正の数だから、ａ＝８

問題

下の図のように、関数ｙ＝ｘ²のグラフ上に３点Ａ（－３，９）、Ｂ（－２，４）、Ｃ（１，１）があり、四角形ＡＢＣＤが平行四辺形となるように、ｙ軸上に点Ｄをとる。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）点Ｄの座標を求めなさい。

2）点（３，３）を通り、平行四辺形ＡＢＣＤの面積を２等分する直線の式を求めなさい。

1）

ＡＤ//ＢＣより、

直線ＡＤとＢＣの傾きが等しい。

直線ＢＣの傾き

Ｂ（－２，４）、Ｃ（１，１）を通るから

ｘの増加量　１－（－２）＝３

ｙの増加量　１－４＝－３

直線の傾きは、－３／３＝－１

直線ＡＤの切片の値をｂとする

ＢＣと傾きが同じだから

ｙ＝－ｘ＋ｂ

Ａ（－３，９）を通るから

９＝－（－３）＋ｂ

ｂ＝６

よって、求める点Ｄの座標は、

（０，６）

2）

平行四辺形の対角線の交点を通る直線になる

ＢＤの中点

ｘ座標　（－２＋０）÷２＝－１

ｙ座標　（４＋６）÷２＝５

ＡＣの中点

ｘ座標　（－３＋１）÷２＝－１

ｙ座標　（９＋１）÷２＝５

よって、対角線の交点は、

（－１，５）

これと（３，３）を通る直線になる

ｘの増加量　３－（－１）＝４

ｙの増加量　３－５＝－２

直線の傾き　－２／４＝－１／２

切片の値をｃとすると

ｙ＝（－1/2）ｘ＋ｃ

（－１，５）を通るから

５＝1/2＋ｃ

ｃ＝9/2

よって、求める式は、

ｙ＝（－1/2）ｘ＋9/2

問題

次の問いに答えなさい。

1）電車が地点Ａを出発してから60秒後までは、ｘ秒間に（1/4）ｘ²m進む。自動車が秒速10mで走るとき、電車が自動車に追いつくのは、地点Ａを出発してから何秒後か、求めなさい。

2）1）の電車は地点Ａを出発すると同時に、秒速５mで走ってきた自転車に追いこされた。電車が自転車に追いつくのは、地点Ａを出発してから何秒後か、求めなさい。

1）

電車と自動車が進む距離をｙmとする

電車の時間と距離の関係は、

ｙ＝（1/4）ｘ²

自動車の時間と距離の関係は、

ｙ＝10ｘ

同じ地点にいるときだから

（1/4）ｘ²＝10ｘ

ｘ²－40ｘ＝０

ｘ（ｘ－40）＝０

ｘ＝０，40

よって、40秒後

2）

自転車の時間と距離の関係は、

ｙ＝５ｘ

同じ地点にいるときだから

（1/4）ｘ²＝５ｘ

ｘ²－20ｘ＝０

ｘ（ｘ－20）＝０

ｘ＝０，20

よって、20秒後

問題

ある坂で、ボールを転がすとき、ボールを転がし始めてからｘ秒間に進む距離をｙmとすると、（1/4）ｘ²mという関係が成り立つ。Ａさんはボールより、３m前にいて、ボールが転がり始めると同時に、毎秒１mで坂を下り始めた。このとき、次の問いに答えなさい。

1）Ａさんがボールに追いつかれるのは何秒後か、求めなさい。

2）下り始めて２秒後のとき、Ａさんとボールは何m離れているか、求めなさい。

3）Ｂさんはボールを止めようと、ボールから４m後ろの位置から秒速２mでＡさんと同時に下り始めた。Ｂさんは何秒後にボールを止められるか、求めなさい。

1）

ボールの時間と距離の関係は、

ｙ＝（1/4）ｘ²

Ａさんの時間と距離の関係は、

ｙ＝ｘ＋３

※毎秒１m👉ａ＝１

　ボールより３ｍ前👉ｂ＝＋３

同じ地点にいるときだから

（1/4）ｘ²＝ｘ＋３

ｘ²－４ｘ－12＝０

（ｘ－６）（ｘ＋２）＝０

ｘ＝６，－２

ｘ＞０より、６秒後

2）

ｘ＝２のときだから、

ボールがある地点は、

ｙ＝（1/4）×２²＝１で、

初めにボールがあった位置から１m

Ａさんがいる地点は、

ｙ＝２＋３＝５で、

初めにボールがあった位置から５m

よって、

５－１＝４m

3）

Ｂさんの時間と距離の関係は、

ｙ＝２ｘ－４

ボールと同じ地点にいるときだから

（1/4）ｘ²＝２ｘ－４

ｘ²－８ｘ＋16＝０

（ｘ－４）²＝０

ｘ＝４

よって、４秒後

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