- たむかい学習教室
- 5月8日
- 読了時間: 8分
円とおうぎ形
おうぎ形は円の一部分を切り取った図形で、円全体のいくつ分にあたる部分かを、角度、弧の長さ、面積のいずれかで比べて求めます。「円に対する割合」を求めることがおうぎ形の基本になります。
★おうぎ形は、円の一部分
「おうぎの中心角が60°」
👉円全体360°のうちの60°にあたる部分
👉円全体の 60/360＝1/6
弧 ：円全体の 1/6 の長さ
面積：円全体の 1/6 の面積
問題
半径４cm、面積４πcm²のおうぎ形の中心角を求めなさい。
半径４cmの円
面積は、π×４²＝16π cm²
おうぎは円の 4π/16π＝1/4 にあたる
よって、
360°×（1/4）＝90°
問題
半径４cm、面積４πcm²のおうぎ形の弧の長さを求めなさい。
半径４cmの円
面積は、π×４²＝16π cm²
おうぎは円の 4π/16π＝1/4 にあたる
半径４cmの円
円周は、２π×４＝８π cm
おうぎの弧は、８π cmの1/4の長さだから
８π×（1/4）＝２π cm
※別解 Ｓ＝（1/2）ℓr
おうぎ形の面積
＝（1/2）×（弧の長さ）×（半径）
を利用する
弧の長さをｘcmとする
（1/2）×ｘ×４＝４π
２ｘ＝４π
ｘ＝２π cm
問題
下の円錐の展開図について、∠ｘの大きさを求めなさい。
半径６cmの円
円周は、２π×６＝12π cm
おうぎの弧の長さは、底面の円周だから
２π×２＝４π cm
おうぎは円全体の 4π/12π＝1/3 にあたるから
360°×（1/3）＝120°
※別解
円錐の側面、おうぎ形の中心角
＝360°×（底面の半径／母線の長さ）
を利用する
👉円錐の底面の半径と母線の長さが分かっているときに利用できる
360°×（2/6）＝120°
問題
下の円錐の側面積を求めなさい。
半径12cm円の周の長さ
２π×12＝24π cm
おうぎの弧の長さは、底面の円周と同じ
２π×４＝８π cm
おうぎは半径12cm円の 8π/24π＝1/3
半径12cm円の面積は、
π×12²＝144π cm²
よって、求める面積は
144π×（1/3）＝48π cm²
※別解 Ｓ＝（1/2）ℓr
おうぎ形の面積
＝（1/2）×（弧の長さ）×（半径）
を利用する
弧の長さは、底面の円周と同じ
２π×４＝８π cm
おうぎの半径は12cmだから
（1/2）×８π×12＝48π cm²
問題
下の図の斜線部分の面積を求めなさい。
１辺３cmの正方形で見ると
斜線の半月形１つ分の面積は
π×３²×（90/360）－（1/2）×３×３
＝（9/4）π－（9/2） cm²
👉半径３cm、中心角90°のおうぎ形から、底辺と高さが３cmの直角三角形を引いた部分
この面積が８つ分だから
８×｛（9/4）π－（9/2）｝
＝18π－36 cm²
問題
下の台形を、直線ＡＢを軸として１回転させてできる図形の体積を求めなさい。
円錐と円柱を合わせた立体になる
円錐
底面の半径２cm、高さ６－５＝１cm
円錐の体積は、
（1/3）×π×２²×１＝（4/3）π cm³
円柱
底面の半径２cm、高さ５cm
円柱の体積は、
π×２²×５＝20π cm³
よって、求める体積は、
（4/3）π＋20π＝（64/3）π cm³
問題
下の図で、直線ℓは円Ｏの接線、点Ａは接点である。あとの問いに答えなさい。
1）∠ｘの大きさを求めなさい。
2）色のついた部分のおうぎ形の面積を求めなさい。
3）色のついた部分のおうぎ形の周の長さを求めなさい。
1）
円の接線の性質より
ℓ⊥ＯＡだから、∠Ａ＝90°
よって、
∠ｘ＝180°－90°－30°＝60°
2）
半径12cm、中心角60°だから
π×12²×（60/360）
＝144π×（1/6）
＝24π cm²
3）
おうぎ形の弧の長さは
２π×12×（1/6）＝４π cm
半径２つ分の長さは
12×２＝24cm
よって、周の長さは
４π＋24（cm）
2024年 青森県立高校入試
ア
底面の中心をＯとする
△ＡＢＯで∠ＡＯＢ＝90°だから
三平方の定理より
ＡＢ²＝ＡＯ²＋ＢＯ²
＝（２√２）²＋１²
＝９
ＡＢ＞０より、ＡＢ＝３cm
イ
中心角は
360°×（底面の半径÷母線の長さ）
で求められるから
360°×（1/3）＝120°
ウ
最短の糸は、直線ＭＢ
半直線ＢＡに垂線ＭＨをひく
∠ＭＡＢ＝120°だから、∠ＭＡＨ＝60°
∠ＭＨＡ＝90°だから
△ＭＡＨで直角三角形の辺の比より
ＭＨ：ＭＡ＝√３：２
ＭＡは母線の1/2だから、3/2cm
ＭＨ：3/2＝√３：２
ＭＨ＝3√3/4 cm
また、
ＡＨ：ＭＡ＝１：２
ＡＨ：3/2＝１：２
ＡＨ＝3/4 cm
△ＭＢＨで三平方の定理より
ＭＢ²＝ＭＨ²＋ＢＨ²
ＢＨ＝ＢＡ＋ＡＨ＝15/4 cmだから
ＭＢ²＝（3√3/4）²＋（15/4）²
＝252/16
ＭＢ＞０より、ＭＢ＝3√7/2 cm
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