円周角の定理高校入試対策③

たむかい学習教室
2月28日
読了時間: 7分

円周角の定理高校入試対策③

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

円周角に関する問題では、対応する弧に注目します。複雑に直線が交差する図形では、弧の両端から出ている直線をなぞりながら、弧に対応する円周角を探していきます。また、円周角を利用した確率の出題もあります。

2026年八戸工大二高入試

問題

下の図において、∠ｘの大きさを求めなさい。なお、点Ｏは円の中心である。

線分ＯＣをひくと、

Ｃ⌒Ｄに対する円周角は40°だから

∠ＣＯＤ＝40°×２＝80°

よって、

∠ＢＯＣ＝140°－80°＝60°

∠ｘはＢ⌒Ｃに対する円周角だから

ｘ＝60°÷２＝30°

※別解

線分ＡＤをひくと、

Ｂ⌒Ｄに対する円周角だから

∠ＢＡＤ＝140°÷２＝70°

Ｃ⌒Ｄに対する円周角だから

∠ＣＡＤ＝∠ＣＥＤ＝40°

∠ｘ＝∠ＢＡＤ－∠ＣＡＤだから

ｘ＝70°－40°＝30°

問題

下の図で、ＡＯ//ＢＣのとき、∠ｘの大きさを求めなさい。

線分ＯＣをひく

ＡＯ//ＢＣより、錯角は等しいから

∠ＣＢＯ＝∠ＡＯＢ＝46°

ＯＢ＝ＯＣだから

∠ＯＣＢ＝46°

二等辺三角形ＯＢＣの頂角∠ＢＯＣは

180°－46°×２＝88°

∠ＡＯＣ

＝∠ＡＯＢ＋∠ＢＯＣ

＝46°＋88°＝134°

Ａ⌒Ｃに対する円周角だから

∠ｘ＝（1/2）∠ＡＯＣ

　　＝（1/2）×134°＝67°

よって、67°

問題

下の図のように、△ＡＢＣの頂点Ａ、Ｂ、Ｃを通る円Ｏがある。円Ｏの周上に、Ａ⌒Ｍ＝Ｂ⌒Ｍ、Ａ⌒Ｎ＝Ｃ⌒Ｎとなるように点Ｍ、Ｎをとる。∠ＢＡＣ＝64°のとき、∠ＭＢＮの大きさを求めなさい。

線分ＭＣをひく

Ａ⌒Ｍ＝Ｂ⌒Ｍより

∠ＡＣＭ＝∠ＢＣＭ

∠ＡＣＭ＝∠ＢＣＭ＝ｘ°とする

Ａ⌒Ｎ＝Ｃ⌒Ｎより

∠ＡＢＮ＝∠ＣＢＮ

∠ＡＢＮ＝∠ＣＢＮ＝ｙ°とする

△ＡＢＣにおいて

２ｘ°＋２ｙ°＋64°＝180°

２ｘ°＋２ｙ°＝116°

ｘ°＋ｙ°＝58°

Ａ⌒Ｍに対する円周角だから

∠ＡＢＭ＝∠ＡＣＭ＝ｘ°

∠ＭＢＮ＝∠ＡＢＭ＋∠ＡＢＮ

　　　　＝ｘ°＋ｙ°

よって、58°

問題

下の図のように、円の周上に４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがあり、△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形である。線分ＡＤを延長した直線と線分ＢＣを延長した直線の交点をＥとし、点Ｂと点Ｄ、点Ｃと点Ｄをそれぞれ線分で結ぶとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＡＢＤと△ＡＥＢが相似になることを証明しなさい。

2）ＡＤ＝４cm、ＤＥ＝５cmのとき、線分ＡＢの長さを求めなさい。

1）

〔証明〕

△ＡＢＤと△ＡＥＢにおいて

Ａ⌒Ｂに対する円周角だから

∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢ　①

ＡＢ＝ＡＣより、二等辺三角形の底角は等しいから

∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＢ　②

①、②より

∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＥ　③

共通な角だから

∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＢ　④

③、④より

２組の角がそれぞれ等しいので

△ＡＢＤ∽△ＡＥＢ

2）

△ＡＢＤ∽△ＡＥＢより

ＡＢ：ＡＥ＝ＡＤ：ＡＢ

ＡＥ＝ＡＤ＋ＤＥ

　　＝４＋５＝９cmだから

ＡＢ：９＝４：ＡＢ

ＡＢ²＝36

ＡＢ＞０より

ＡＢ＝６cm

問題

下の図で、ＡＣを直径とする円Ｏの円周上に点Ｂ、Ｄがあり、ＡＣ＝12cm、∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤである。また、点ＥはＡＣとＢＤとの交点であり、ＯＥ＝２cmである。あとの問いに答えなさい。

1）△ＡＢＥと△ＤＣＥが相似なることを証明しなさい。

2）点ＡをふくまないＣ⌒Ｄの長さを求めなさい。

3）ＢＥの長さを求めなさい。

1）

〔証明〕

△ＡＢＥと△ＤＣＥにおいて

Ａ⌒Ｄに対する円周角だから

∠ＡＢＥ＝∠ＤＣＥ　①

Ｂ⌒Ｃに対する円周角だから

∠ＢＡＥ＝∠ＣＤＥ　②

①、②より

２組の角がそれぞれ等しいので

△ＡＢＥ∽△ＤＣＥ

2）

直径ＡＣの円周角だから

∠ＡＢＣ＝90°

∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤより

∠ＣＢＤ＝（1/2）∠ＡＢＣ＝45°

線分ＯＤをひく

Ｃ⌒Ｄの円周角∠ＣＢＤ＝45°だから

中心角∠ＣＯＤ＝45°×２＝90°

また、ＯＣ＝（1/2）ＡＣ＝６cm

おうぎ形ＯＣＤの中心角は90°、半径６cmだから

Ｃ⌒Ｄ＝２π×６×（1/4）＝３π

よって、３π cm

3）

△ＡＢＥ∽△ＤＣＥより

ＢＥ：ＣＥ＝ＡＥ：ＤＥ

ＣＥ＝ＯＣ＋ＯＥ＝６＋２＝８cm

ＡＥ＝ＡＣ－ＣＥ＝12－８＝４cm

∠ＣＯＤ＝90°より、∠ＤＯＥ＝90°

△ＤＥＯで三平方の定理より

ＤＥ²＝ＯＤ²＋ＯＥ²

ＯＤ＝ＯＣ＝６cmだから

ＤＥ²＝６²＋２²＝40

ＤＥ＝2√10cm

よって、

ＢＥ：８＝４：2√10

√10ＢＥ＝16

ＢＥ＝8√10/5 cm

2020年青森県立高校入試

問題

下の図は、円周の長さが８cmである円Ｏで、その円周上には円周を８等分した点がある。点Ａはそのうちの１つであり、点Ｐ、Ｑは、点Ａを出発点として次の〔操作〕にしたがって円周上を移動させた点である。

〔操作〕

大小２つのさいころを同時に投げ、大きいさいころの出た目の数をｘ、小さいさいころの出た目の数をｙとする。点Ｐは時計回りにｘcm、点Ｑは反時計回りにｙcmそれぞれ点Ａから移動させる。

1）ｘ＝４、ｙ＝２となるとき、∠ＰＡＱの大きさを求めなさい。

2）∠ＰＡＱ＝90°となる確率を求めなさい。

1）

ＱＡ＝ＱＰだから、

△ＱＡＰは二等辺三角形

底角が等しいから

∠ＰＡＱ＝∠ＡＰＱ

ＡＰは直径だから、∠ＡＱＰ＝90°

よって、

∠ＰＡＱ＝（180°－90°）÷２＝45°

2）

２つのさいころを同時に投げると

６通り×６通り＝36通り

ＰＱが直径になるときだから

ｘ＝１、ｙ＝３

ｘ＝２、ｙ＝２

ｘ＝３、ｙ＝１

ｘ＝６、ｙ＝６

計４通りあるから

求める確率は、4/36＝1/9

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