- たむかい学習教室
- 7月16日
- 読了時間: 11分
放物線と直線の共有点
７月になりました。当塾では「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。
２次関数のグラフの放物線には、ｘ軸と交わる点が２つ、または接する点が１つ出てくる場合があります。ｘ軸はｙ＝０なので、２次方程式の解が２つまたは重解が出てくることを意味します。
問題
次の２次関数のグラフはｘ軸と共有点をもつか。もつときは、その座標を求めよ。
1）ｙ＝ｘ²－３ｘ－４
2）ｙ＝－ｘ²＋４ｘ－４
3）ｙ＝３ｘ²－５ｘ＋４
4）ｙ＝－３ｘ²＋６ｘ－３
5）ｙ＝２ｘ²－３ｘ＋４
6）ｙ＝－ｘ²＋４ｘ－２
1）
ｙ＝０のとき
ｘ²－３ｘ－４＝０
（ｘ－４）（ｘ＋１）＝０
ｘ＝４，－１
よって、共有点をもつ
座標は（４，０）（－１，０）
2）
ｙ＝０のとき
－ｘ²＋４ｘ－４＝０
ｘ²－４ｘ＋４＝０
（ｘ－２）²＝０ ｘ＝２
よって、共有点をもつ
座標は（２，０）
3）
ｙ＝０のとき
３ｘ²－５ｘ＋４＝０
Ｄ＝25－48＝－23
Ｄ＜０だから、共有点をもたない
4）
ｙ＝０のとき
－３ｘ²＋６ｘ－３＝０
ｘ²－２ｘ＋１＝０
（ｘ－１）²＝０ ｘ＝１
よって、共有点をもつ
座標は（１，０）
5）
ｙ＝０のとき
２ｘ²－３ｘ＋４＝０
Ｄ＝９－32＝－23
Ｄ＜０だから、共有点をもたない
6）
ｙ＝０のとき
－ｘ²＋４ｘ－２＝０
ｘ²－４ｘ＋２＝０
ｘ＝２±√２
よって、共有点をもつ
座標は（２＋√２，０）（２－√２，０）
問題
放物線ｙ＝ｘ²－４ｘ＋ｋとｘ軸の共有点の個数は、定数ｋの値によってどのように変わるか。
ｘ²－４ｘ＋ｋ＝０
Ｄ/４＝４－ｋ
Ｄ＞０より、４－ｋ＞０
ｋ＜４のとき ２個
Ｄ＝０より、４－ｋ＝０
ｋ＝４のとき １個
Ｄ＜０のとき、４－ｋ＜０
ｋ＞４のとき ０個
問題
２次関数ｙ＝ｘ²－２ｘ＋２ｋ－４のグラフとｘ軸の共有点の個数は、定数ｋの値によってどのように変わるか。
ｘ²－２ｘ＋２ｋ－４＝０
Ｄ/４＝１－２ｋ＋４
＝５－２ｋ
Ｄ＞０より ５－２ｋ＞０
ｋ＜5/2のとき ２個
Ｄ＝０より ５－２ｋ＝０
ｋ＝5/2のとき １個
Ｄ＜０より ５－２ｋ＜０
ｋ＞5/2のとき ０個
問題
次の２次関数のグラフがｘ軸に接するように、定数ｋの値を定めよ。また、そのときの接点の座標を求めよ。
1）
ｙ＝ｘ²＋２（２－ｋ）ｘ＋ｋ
2）
ｙ＝ｋｘ²＋３ｋｘ＋３－ｋ
1）
ｘ²＋２（２－ｋ）ｘ＋ｋ＝０
Ｄ/４＝（２－ｋ）²－ｋ
＝４－４ｋ＋ｋ²－ｋ
＝ｋ²－５ｋ＋４
Ｄ＝０より
（ｋ－１）（ｋ－４）＝０
ｋ＝１，４
ｋ＝１のとき
ｘ²＋２ｘ＋１＝０
（ｘ＋１）²＝０ ｘ＝－１
ｋ＝４のとき
ｘ²－４ｘ＋４＝０
（ｘ－２）²＝０ ｘ＝２
よって、
ｋ＝１のとき 接点（－１，０）
ｋ＝４のとき 接点（２，０）
※別解
解の公式より、重解をもつときは
ｘ＝－２（２－ｋ）/２
ｘ＝ｋ－２
Ｄ＝０より ｋ＝１，４
ｋ＝１のとき、ｘ＝－１
ｋ＝４のとき、ｘ＝２
2）
ｙ＝ｋｘ²＋３ｋｘ＋３－ｋは２次関数だから
ｋ≠０
ｋｘ²＋３ｋｘ＋３－ｋ＝０
Ｄ＝９ｋ²－12ｋ＋４ｋ²
＝13ｋ²－12ｋ
Ｄ＝０より
ｋ（13ｋ－12）＝０
ｋ≠０より ｋ＝12/13
このとき
（12/13）ｘ²＋（36/13）ｘ＋（27/13）＝０
12ｘ²＋36ｘ＋27＝０
４ｘ²＋12ｘ＋９＝０
（２ｘ＋３）²＝０ ｘ＝－3/2
よって、
ｋ＝12/13 接点（－3/2，０）
※別解
解の公式より、重解をもつときは
ｘ＝－３ｋ/２ｋ＝－3/2
Ｄ＝０、ｋ≠０より ｋ＝12/13
問題
次の２次関数のグラフがｘ軸に接するように、定数ｋの値を定めよ。また、そのときの接点の座標を求めよ。
1）
ｙ＝－２ｘ²＋ｋｘ－８
2）
ｙ＝（ｋ²－１）ｘ²＋２（ｋ－１）ｘ＋２
1）
－２ｘ²＋ｋｘ－８＝０
重解の公式より
ｘ＝ｋ/４＝ｋ/４ ①
Ｄ＝ｋ²－64＝０ ｋ＝±８
①より
ｋ＝８のとき、ｘ＝２
ｋ＝－８のとき、ｘ＝－２
よって、
ｋ＝８のとき 接点（２，０）
ｋ＝－８のとき 接点（－２，０）
2）
ｙ＝（ｋ²－１）ｘ²＋２（ｋ－１）ｘ＋２は２次関数だから
ｋ²－１≠０ すなわちｋ≠±１
（ｋ²－１）ｘ²＋２（ｋ－１）ｘ＋２＝０
重解の公式より
ｘ＝－２（ｋ－１）/２（ｋ²－１）
＝－（ｋ－１）/（ｋ－１）（ｋ＋１）
＝－１/（ｋ＋１） ②
Ｄ/４＝（ｋ－１）²－２（ｋ²－１）
＝ｋ²－２ｋ＋１－２ｋ²＋２
＝－ｋ²－２ｋ＋３＝０
ｋ²＋２ｋ－３＝０
（ｋ＋３）（ｋ－１）＝０
ｋ≠１より ｋ＝－３
②より ｘ＝1/2
よって、
ｋ＝－３ 接点（1/2，０）
問題
1）２次関数ｙ＝－２ｘ²－３ｘ＋３のグラフがｘ軸から切り取る線分の長さを求めよ。
2）放物線ｙ＝ｘ²－（ｋ＋２）ｘ＋２ｋがｘ軸から切り取る線分の長さが４であるとき、定数ｋの値を求めよ。
1）
－２ｘ²－３ｘ＋３＝０
２ｘ²＋３ｘ－３＝０
ｘ＝（－３±√33）/４
よって、
｛（－３＋√33）/４｝－｛（－３－√33）/４｝
＝√33/２
2）
ｘ²－（ｋ＋２）ｘ＋２ｋ＝０
（ｘ－ｋ）（ｘ－２）＝０
ｘ＝ｋ，２
ｋ＞２のとき
ｋ－２＝４ ｋ＝６
ｋ＜２のとき
２－ｋ＝４ ｋ＝－２
よって、
ｋ＝６，－２
問題
1）２次関数ｙ＝－３ｘ²－４ｘ＋２のグラフがｘ軸から切り取る線分の長さを求めよ。
2）放物線ｙ＝ｘ²－ａｘ＋ａ－１がｘ軸から切り取る線分の長さが６であるとき、定数ａの値を求めよ。
1）
－３ｘ²－４ｘ＋２＝０
３ｘ²＋４ｘ－２＝０
ｘ＝（－２±√10）/３
｛（－２＋√10）/３｝－｛（－２－√10）/３｝
＝２√10/３
2）
ｘ²－ａｘ＋ａ－１＝０
１ －（ａ－１） －ａ＋１
×
１ －１ －１
－ａ
｛（ｘ－（ａ－１）｝（ｘ－１）＝０
ｘ＝ａ－１，１
ａ－１＞１ すなわちａ＞２のとき
ａ－１－１＝６ ａ＝８
ａ－１＜１ すなわちａ＜２のとき
１－（ａ－１）＝６
１－ａ＋１＝６ ａ＝－４
よって、
ａ＝８，－４
問題
次の放物線と直線は共有点をもつか。もつときは、その座標を求めよ。
1）
ｙ＝ｘ²
ｙ＝－ｘ＋２
2）
ｙ＝－ｘ²＋１
ｙ＝４ｘ＋５
3）
ｙ＝４ｘ²－６ｘ＋１
ｙ＝２ｘ－４
4）
ｙ＝ｘ²－２ｘ＋３
ｙ＝ｘ＋６
5）
ｙ＝ｘ²－４ｘ
ｙ＝２ｘ－９
6）
ｙ＝－ｘ²＋４ｘ－３
ｙ＝２ｘ
1）
ｙ＝ｘ²、ｙ＝－ｘ＋２
ｘ²＝－ｘ＋２
ｘ²＋ｘ－２＝０
（ｘ＋２）（ｘ－１）＝０
ｘ＝－２，１
よって、共有点をもつ
ｘ＝－２のとき ｙ＝４
ｘ＝１のとき ｙ＝１
共有点（－２，４）（１，１）
2）
ｙ＝－ｘ²＋１、ｙ＝４ｘ＋５
－ｘ²＋１＝４ｘ＋５
ｘ²＋４ｘ＋４＝０
（ｘ＋２）²＝０ ｘ＝－２
よって、共有点をもつ
ｙ＝４・（－２）＋５＝－３
共有点（－２，－３）
3）
ｙ＝４ｘ²－６ｘ＋１、ｙ＝２ｘ－４
４ｘ²－６ｘ＋１＝２ｘ－４
４ｘ²－８ｘ＋５＝０
Ｄ/４＝16－20＝－４
Ｄ＜０だから、共有点をもたない
4）
ｙ＝ｘ²－２ｘ＋３、ｙ＝ｘ＋６
ｘ²－２ｘ＋３＝ｘ＋６
ｘ²－３ｘ－３＝０
ｘ＝（３±√21）/２
よって、共有点をもつ
ｘ＝（３＋√21）/２のとき
ｙ＝｛（３＋√21）/２｝＋６
＝（15＋√21）/２
ｘ＝（３－√21）/２のとき
ｙ＝｛（３－√21）/２｝＋６
＝（15－√21）/２
共有点
（（３＋√21）/２，（15＋√21）/２）
（（３－√21）/２，（15－√21）/２）
5）
ｙ＝ｘ²－４ｘ、ｙ＝２ｘ－９
ｘ²－４ｘ＝２ｘ－９
ｘ²－６ｘ＋９＝０
（ｘ－３）²＝０ ｘ＝３
よって、共有点をもつ
ｙ＝２・３－９＝－３
共有点（３，－３）
6）
ｙ＝－ｘ²＋４ｘ－３、ｙ＝２ｘ
－ｘ²＋４ｘ－３＝２ｘ
ｘ²－２ｘ＋３＝０
Ｄ/４＝１－３＝－２
Ｄ＜０だから、共有点をもたない
問題
1）放物線ｙ＝ｘ²＋３ｘ＋ａと直線ｙ＝ｘ＋４が接するとき、定数ａの値を求めよ。
2）２次関数ｙ＝－ｘ²のグラフと直線ｙ＝－２ｘ＋ｋの共有点の個数を調べよ。ただし、ｋは定数とする。
1）
ｘ²＋３ｘ＋ａ＝ｘ＋４
ｘ²＋２ｘ＋ａ－４＝０
Ｄ/４＝１－ａ＋４
＝５－ａ
Ｄ＝０より ５－ａ＝０
ａ＝５
2）
－ｘ²＝－２ｘ＋ｋ
ｘ²－２ｘ＋ｋ＝０
Ｄ/４＝１－ｋ
Ｄ＞０より １－ｋ＞０
ｋ＜１のとき ２個
Ｄ＝０より １－ｋ＝０
ｋ＝１のとき １個
Ｄ＜０より １－ｋ＜０
ｋ＞１のとき ０個
問題
1）関数ｙ＝ｘ²＋ａｘ＋ａのグラフが直線ｙ＝ｘ＋１と接するように、定数ａの値を定めよ。また、そのときの接点の座標を求めよ。
2）ｋは定数とする。関数ｙ＝ｘ²－２ｋｘのグラフと直線ｙ＝２ｘ－ｋ²の共有点の個数を調べよ。
1）
ｘ²＋ａｘ＋ａ＝ｘ＋１
ｘ²＋（ａ－１）ｘ＋ａ－１＝０
Ｄ＝（ａ－１）²－４（ａ－１）
＝ａ²－２ａ＋１－４ａ＋４
＝ａ²－６ａ＋５
Ｄ＝０より
（ａ－１）（ａ－５）＝０
ａ＝１，５
重解の公式より
ｘ＝－（ａ－１）/２
ａ＝１のとき、ｘ＝０
ａ＝５のとき、ｘ＝－２
ｘ＝０のとき、ｙ＝１
ｘ＝－２のとき、ｙ＝－１
よって、
ａ＝１のとき 接点（０，１）
ａ＝５のとき 接点（－２，－１）
2）
ｘ²－２ｋｘ＝２ｘ－ｋ²
ｘ²－２（ｋ＋１）ｘ＋ｋ²＝０
Ｄ/４＝（ｋ＋１）²－ｋ²
＝ｋ²＋２ｋ＋１－ｋ²
＝２ｋ＋１
Ｄ＞０より ２ｋ＋１＞０
ｋ＞－1/2のとき ２個
Ｄ＝０より ２ｋ＋１＝０
ｋ＝－1/2のとき １個
Ｄ＜０より ２ｋ＋１＜０
ｋ＜－1/2のとき ０個
問題
次の２つの放物線は共有点をもつか。もつときは、その座標を求めよ。
1）
ｙ＝ｘ²
ｙ＝－ｘ²＋２ｘ＋12
2）
ｙ＝ｘ²－ｘ＋１
ｙ＝２ｘ²－５ｘ＋６
3）
ｙ＝ｘ²－ｘ
ｙ＝－ｘ²＋３ｘ－２
4）
ｙ＝２ｘ²
ｙ＝ｘ²＋２ｘ＋３
5）
ｙ＝ｘ²－ｘ
ｙ＝－ｘ²－３ｘ－２
6）
ｙ＝２ｘ²－２ｘ
ｙ＝ｘ²－４ｘ－１
1）
ｙ＝ｘ²、ｙ＝－ｘ²＋２ｘ＋12
ｘ²＝－ｘ²＋２ｘ＋12
２ｘ²－２ｘ－12＝０
ｘ²－ｘ－６＝０
（ｘ－３）（ｘ＋２）＝０
ｘ＝３，－２
よって、共有点をもつ
ｘ＝３のとき ｙ＝９
ｘ＝－２のとき ｙ＝４
共有点（３，９）（－２，４）
2）
ｙ＝ｘ²－ｘ＋１、ｙ＝２ｘ²－５ｘ＋６
２ｘ²－５ｘ＋６＝ｘ²－ｘ＋１
ｘ²－４ｘ＋５＝０
Ｄ/４＝４－５＝－１
Ｄ＜０だから、共有点をもたない
3）
ｙ＝ｘ²－ｘ、ｙ＝－ｘ²＋３ｘ－２
ｘ²－ｘ＝－ｘ²＋３ｘ－２
２ｘ²－４ｘ＋２＝０
ｘ²－２ｘ＋１＝０
（ｘ－１）²＝０ ｘ＝１
よって、共有点をもつ
ｘ＝１のとき ｙ＝１²－１＝０
共有点（１，０）
4）
ｙ＝２ｘ²、ｙ＝ｘ²＋２ｘ＋３
２ｘ²＝ｘ²＋２ｘ＋３
ｘ²－２ｘ－３＝０
（ｘ－３）（ｘ＋１）＝０
ｘ＝３，－１
よって、共有点をもつ
ｘ＝３のとき ｙ＝２・３²＝18
ｘ＝－１のとき ｙ＝２・（－１）²＝２
共有点（３，18）（－１，２）
5）
ｙ＝ｘ²－ｘ、ｙ＝－ｘ²－３ｘ－２
ｘ²－ｘ＝－ｘ²－３ｘ－２
２ｘ²＋２ｘ＋２＝０
ｘ²＋ｘ＋１＝０
Ｄ＝１－４＝－３
Ｄ＜０だから、共有点をもたない
6）
ｙ＝２ｘ²－２ｘ、ｙ＝ｘ²－４ｘ－１
２ｘ²－２ｘ＝ｘ²－４ｘ－１
ｘ²＋２ｘ＋１＝０
（ｘ＋１）²＝０ ｘ＝－１
よって、共有点をもつ
ｘ＝－１のとき
ｙ＝２・（－１）²－２・（－１）＝４
共有点（－１，４）
問題
ａを自然数とし、２次関数ｙ＝ｘ²＋ａｘ＋ｂ・・①のグラフを考える。
1）ｂ＝１のとき、①のグラフがｘ軸と接するのはａ＝〔 〕のときである。
2）ｂ＝３のとき、①のグラフがｘ軸と異なる２点で交わるような自然数ａの中で、ａ＜９を満たすものは〔 〕個ある。
1）
①にｂ＝１を代入
ｙ＝ｘ²＋ａｘ＋１
ｙ＝０のときだから
ｘ²＋ａｘ＋１＝０
Ｄ＝ａ²－４
Ｄ＝０のときだから
ａ²－４＝０
ａは自然数だから
ａ＝２
2）
①にｂ＝３を代入
ｙ＝ｘ²＋ａｘ＋３
ｙ＝０より
ｘ²＋ａｘ＋３＝０
Ｄ＝ａ²－12
Ｄ＞０より
ａ²－12＞０
ａ＜－２√３、ａ＞２√３
ａ＜９より
２√３＜ａ＜９
3.5...＜ａ＜９
ａ＝４，５，６，７，８だから
５個
問題
ａは定数とする。関数ｙ＝ａｘ²＋４ｘ＋２のグラフが、ｘ軸と異なる２つの共有点をもつときのａの値の範囲は〔 〕であり、ｘ軸とただ１つの共有点をもつときのａの値は〔 〕である。
ｙ＝ａｘ²＋４ｘ＋２は２次関数だから
ａ≠０
ｙ＝０より
ａｘ²＋４ｘ＋２＝０
Ｄ/４＝４－２ａ
ｘ軸と異なる２つの共有点をもつときは
Ｄ＞０より
４－２ａ＞０ ａ＜２
ａ≠０ すなわちａ＜０、ａ＞０より
ａ＜０、０＜ａ＜２
ｘ軸とただ１つの共有点をもつときは
グラフが直線になるとき
すなわち ａ＝０のとき
また、
ａｘ²＋４ｘ＋２＝０
Ｄ＝０より
４－２ａ＝０
ａ＝２
よって、
ａ＝０，２
問題
ａを定数とし、２次関数ｙ＝ｘ²＋４ａｘ＋４ａ²＋７ａ－２のグラフをＣとする。
1）Ｃの頂点が直線ｙ＝－２ｘ－８上にあるとき、ａの値を求めよ。
2）Ｃがｘ軸と異なる２点Ａ、Ｂで交わるとき、ａの値の範囲を求めよ。
3）ａの値が2）で求めた範囲にあるとする。線分ＡＢの長さが２√22となるとき、ａの値を求めよ。
1）
ｙ＝ｘ²＋４ａｘ＋４ａ²＋７ａ－２
＝（ｘ＋２ａ）²－４ａ²＋４ａ²＋７ａ－２
＝（ｘ＋２ａ）²＋７ａ－２
頂点（－２ａ，７ａ－２）
ｙ＝－２ｘ－８上にあるから
７ａ－２＝－２・（－２ａ）－８
３ａ＝－６
ａ＝－２
2）
ｘ²＋４ａｘ＋４ａ²＋７ａ－２＝０
Ｄ/４＝４ａ²－４ａ²－７ａ＋２
＝－７ａ＋２
Ｄ＞０より
－７ａ＋２＞０
ａ＜2/7
3）
ｘ²＋４ａｘ＋４ａ²＋７ａ－２＝０
ｘ＝－２ａ±√（－７ａ＋２）
よって、
｛－２ａ＋√（－７ａ＋２）｝－｛－２ａ－√（－７ａ＋２）｝＝２√22
２√（－７ａ＋２）＝２√22
－７ａ＋２＝22
ａ＝－20/7
これは、ａ＜2/7を満たす
問題
1）放物線ｙ＝－ｘ²＋２（ｋ＋１）ｘ－ｋ²が直線ｙ＝４ｘ－２と共有点をもつような定数ｋの値の範囲を求めよ。
2）座標平面上に、１つの直線と２つの放物線
Ｌ：ｙ＝ａｘ＋ｂ
Ｃ₁：ｙ＝－２ｘ²
Ｃ₂：ｙ＝ｘ²－12ｘ＋33
がある。ＬとＣ₁およびＬとＣ₂が、それぞれ２個の共有点をもつとき、
〔ア〕ａ²－〔イ〕ａ－〔ウ〕＜ｂ＜〔エ〕ａ²が成り立つ。ただし、ａ＞０とする。
1）
－ｘ²＋２（ｋ＋１）ｘ－ｋ²＝４ｘ－２
ｘ²－２（ｋ＋１）ｘ＋４ｘ＋ｋ²－２＝０
ｘ²－２（ｋ－１）ｘ＋ｋ²－２＝０
Ｄ/４＝（ｋ－１）²－ｋ²＋２
＝ｋ²－２ｋ＋１－ｋ²＋２
＝－２ｋ＋３
Ｄ≧０より
－２ｋ＋３≧０
ｋ≦3/2
2）
ＬとＣ₁が２個の共有点をもつとき
ａｘ＋ｂ＝－２ｘ²
２ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０
Ｄ＝ａ²－８ｂ
Ｄ＞０より
ａ²－８ｂ＞０
ｂ＜（1/8）ａ² ①
ＬとＣ₂が２個の共有点をもつとき
ａｘ＋ｂ＝ｘ²－12ｘ＋33
－ｘ²＋（ａ＋12）ｘ＋ｂ－33＝０
ｘ²－（ａ＋12）ｘ－ｂ＋33
Ｄ＝（ａ＋12）²－４（－ｂ＋33）
＝ａ²＋24ａ＋144＋４ｂ－132
＝ａ²＋24ａ＋４ｂ＋12
Ｄ＞０より
ａ²＋24ａ＋４ｂ＋12＞０
４ｂ＞－ａ²－24ａ－12
ｂ＞（－1/4）ａ²－６ａ－３ ②
①、②より
（－1/4）ａ²－６ａ－３＜ｂ＜（1/8）ａ²
問題
２次関数ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃのグラフが、２点（－１，０）、（３，８）を通り、直線ｙ＝２ｘ＋６に接するとき、ａ、ｂ、ｃの値を求めよ。
（－１，０）を通るから
０＝ａ－ｂ＋ｃ
ａ－ｂ＋ｃ＝０ ①
（３，８）を通るから
８＝９ａ＋３ｂ＋ｃ
９ａ＋３ｂ＋ｃ＝８ ②
②－①
８ａ＋４ｂ＝８
４ｂ＝－８ａ＋８
ｂ＝－２ａ＋２ ③
③を①に代入
ａ＋２ａ－２＋ｃ＝０
ｃ＝－３ａ＋２ ④
③、④をｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃに代入
ｙ＝ａｘ²＋（－２ａ＋２）ｘ＋（－３ａ＋２）
ｙ＝２ｘ＋６に接するから
ａｘ²＋（－２ａ＋２）ｘ＋（－３ａ＋２）＝２ｘ＋６
ａｘ²－２ａｘ－３ａ－４＝０
Ｄ/４＝ａ²＋３ａ²＋４ａ
＝４ａ²＋４ａ
＝４ａ（ａ＋１）＝０
２次関数のグラフだからａ≠０より
ａ＝－１
③より ｂ＝４
④より ｃ＝５
よって、
ａ＝－１、ｂ＝４、ｃ＝５
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苦手が自信に。
受験で大きく伸びました！
この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。
数学を克服して
テストの得点は右肩上がり！
私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。
やり方が分かり
勉強の習慣がついた！
分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。
英語に自信がつき
入試で大幅アップ！
勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。
英語と数学は
これからもこの塾で！
苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。
この塾で本当に良かった！
通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！
理数への意識が変わり
自分から進んで勉強しています！
入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。
目標の中学受験
苦手を克服して志望校合格！
中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。
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2026.7.16 放物線と直線の共有点