数の規則性高校入試対策②

たむかい学習教室
2月23日
読了時間: 9分

数の規則性高校入試対策②

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試では数の規則性に関する出題があります。長文形式が多く、短時間のうちに必要な情報を抜き出して整理する力が求められます。「筋立て」が重要なため、解き方を人に説明する学習も効果的です。

2025年八戸学院光星高入試

問題

図１のように、縦ｍ行、横ｎ列の表をつくり、１からｍｎまでの自然数を左上のマス目から時計回りにうずまき状に書き入れていく。例えば、縦３行、横６列の表の場合は図２のようになり、縦５行、横４列の表の場合は図３のようになる。あとの問いに答えなさい。ただし、ｍ、ｎは３以上の自然数とする。

1）縦３行、横６列の表において、最大の数18は２行目の５列目にある。縦４行、横６列の表において、最大の数24は何行目の何列目にあるか、求めなさい。

１２３４５６

16 17 18 19 20 ７

15 24 23 22 21 ８

14 13 12 11 10 ９

よって、３行目の２列目

2）次の表は、縦５行、横ｎ列の表において、ｎの値と２行目の２列目の数の関係を調べたものである。次のア、イに答えなさい。

ア　ｎ＝６のときの２行目の２列目の数をかきなさい。

イ　２行目の２列目の数が99のとき、ｎの値を求めなさい。

ア

規則的に２ずつ増えるので

17＋２＝19

イ

２行目２列目の数をｙとすると

ｎとｙの関係は一次関数である。

ｎの増加量　４－３＝１

ｙの増加量　15－13＝２

変化の割合　２／１＝２

切片の値をｂとする

ｙ＝２ｎ＋ｂ

ｎ＝３のとき、ｙ＝13だから

13＝２×３＋ｂ

ｂ＝７　※

よって、

２行目２列目の数は、２ｎ＋７と表せる。

２ｎ＋７＝99より

２ｎ＝92

よって、ｎ＝46

※

ｎ　０　１　２　３　４

ｙ　７　９　11　13　15

ｎ＝０のときｙ＝７👉切片７

3）縦ｍ行、横ｎ列の表について、次のア、イに答えなさい。

ア　２行目の２列目の数をｍ、ｎを使った式で表しなさい。ただし、答えにかっこがある場合は、かっこをはずし、同類項をまとめた多項式で答えること。

イ　ｎの値がｍの値の２倍より６小さく、２行目の２列目の数が45であるとき、この表における最大の数を求めなさい。

ア

１行目にはｎ個の数、

ｎ列目には（ｍ－１）個の数が並ぶ。

よって、

最後の数は、ｎ＋（ｍ－１）

ｍ行目には（ｎ－１）個の数が並ぶから

最後の数は、

ｎ＋（ｍ－１）＋（ｎ－１）

１列目には（ｍ－２）個の数が並ぶから

最後の数は、

ｎ＋（ｍ－１）＋（ｎ－１）＋（ｍ－２）

２行目の２列目にある数は、１列目１行目から１つ右隣の数だから

ｎ＋（ｍ－１）＋（ｎ－１）＋（ｍ－２）＋１

式を展開すると

２ｍ＋２ｎ－３

イ

ｎの値がｍの値の２倍より６小さいから

ｎ＝２ｍ－６　①

２行目の２列目の数が45だから

２ｍ＋２ｎ－３＝45　②

①を②に代入

２ｍ＋２（２ｍ－６）－３＝45

ｍ＝10

①に代入

ｎ＝２×10－６＝14

最大の数はｍｎだから

10×14＝140

2026年八戸工大二高

問題

下の図のように、１から10の数が書かれたカードを、次の手順にしたがって並べていく。

＜手順＞

・1段目は1枚、2段目は3枚、３段目は5枚、・・・という規則で並べるものとする。

・カードに書かれた数が１，２，３，・・・，10，１，２，３，・・・，10，・・・となるように繰り返し並べる。

・1段目は１の数が書かれたカードとし、2段目以降は左端から右端へ並べ、右端に並べたら、次の段の左端から並べるものとする。

このとき、あとの問いに答えなさい。　

1）１段目から６段目の右端までのカードは全部で何枚あるか答えなさい。

2）段の右端に６の数が書かれたカードが並ぶ場合を考えると、１回目に並ぶのは４段目である。３回目に並ぶのは何段目か答えなさい。　

3）カードに書かれた１から10の数のうち、段の右端に並ばない数をすべて答えなさい。

1）

１段目まで　計１枚　１²枚

２段目まで　計４枚　２²枚

３段目まで　計９枚　３²枚

４段目まで　計16枚　４²枚

５段目まで　計25枚　５²枚

よって、

ｎ段目までの合計枚数はｎ²

ｎ＝６のときだから

６²＝36枚

2）

カードは10枚周期で繰り返される

右端に６がくるのは、その段までの合計枚数を10で割ったときの余りが６のとき

１段目まで　１²＝１枚

２段目まで　２²＝４枚

３段目まで　３²＝９枚

４段目まで　４²＝16枚（余り６）

👉１回目

５段目まで　５²＝25枚（余り５）

６段目まで　６²＝36枚（余り６）

👉２回目

７段目まで　７²＝49枚（余り９）

８段目まで　８²＝64枚（余り４）

９段目まで　９²＝81枚（余り１）

10段目まで　10²＝100枚（余り０）

余りの数または合計枚数の一の位が右端の数になる（余り０は10のカード）

よって、

11²＝121、12²＝144、13²＝169、14²＝196だから

14段目

3）

2）より

右端には「１，４，５，６，９，10」のみがくるから

２，３，７，８

2026年八戸学院光星高

問題

次の【灯台の光り方の特徴】を見て、あとの問いに答えなさい。

【灯台の光り方の特徴】

灯台Ａ

５秒間点灯した後、３秒間消灯することをくり返す。

灯台Ｂ

６秒間点灯した後、６秒間消灯することをくり返す。

灯台ＡとＢは、午後７時に同時に点灯し始める。

1）灯台Ａと灯台Ｂが、午後７時に同時に点灯し始めたとき、次に同時に点灯し始めるのは何秒後か求めなさい。

2）午後７時から４分間で、灯台Ａと灯台Ｂの両方が同時に点灯している時間は、合計で何秒間になるか求めなさい。

3）灯台Ａと灯台Ｂがちょうど同時に点灯し始めたときから観察を始める。このとき、次のア、イに答えなさい。

ア　灯台Ａが１回目に消灯するのは、観察を始めてから５秒後である。灯台Ａがｎ回目に消灯するのは、観察を始めてから何秒後か。ｎを使った式で表しなさい。

イ　灯台Ｂがｎ回目に消灯したときに観察をやめた。灯台Ａが（ｎ＋１）回目に消灯したのが観察をやめる29秒前であったとき、観察していた時間は何秒間だったか。

1）

灯台Ａは、

５秒間点灯し、３秒間消灯するから

点灯し始めて次に点灯するまで８秒間

灯台Ｂは、

６秒間点灯し、６秒間消灯するから

点灯し始めて次に点灯するまで12秒間

よって、

８と12の最小公倍数のときになるから

24秒後

2）

24秒間で同時に点灯している時間は

０～５秒の５秒間

12～13秒の１秒間

16～18秒の２秒間

で、計８秒間

24秒で１サイクルだから

４分（240秒）÷24で10サイクル

１サイクルの中に同時点灯の時間は８秒間だから

８×10＝80秒間

※25秒後から48秒後も１秒後～24秒後と同じサイクル

3）ア

回数ｎと消灯する時間ｙ秒後の関係は

ｎ回目　１　２　３

ｙ秒後　５　13　21

ｎが１増えるごとに、ｙは８増えるから

ｎとｙは一次関数である。

ｎの増加量　２－１＝１

ｙの増加量　13－５＝８

変化の割合　８／１＝８

切片の値をｂとする

ｙ＝８ｎ＋ｂ

ｎ＝１、ｙ＝５を代入

５＝８×１＋ｂ　ｂ＝－３

よって、

８ｎ－３（秒後）

※

ｎ回目　０　１　２　３

ｙ秒後　－３５　13　21

3）イ

灯台Ｂ

回数ｎと消灯する時間ｙ秒後の関係は

ｎ回目　１　２　３

ｙ秒後　６　18　24

ｎが１増えるごとに、ｙは12増えるから

変化の割合は、12/1＝12

切片の値をｃとする

ｙ＝12ｎ＋ｃ

ｘ＝１、ｙ＝６を代入

６＝12×１＋ｃ　ｃ＝－６

よって、

灯台Ｂがｎ回目に消灯するのは

12ｎ－６（秒後）

したがって、観察をやめる29秒前は

12ｎ－６－29

＝12ｎ－35（秒後）

灯台Ａが消灯した時間は

８（ｎ＋１）－３

＝８ｎ＋５（秒後）

よって、

12ｎ－35＝８ｎ＋５

ｎ＝10

観察時間はｎ＝10のときのＢの消灯時間だから

12ｎ－６

＝12×10－６

＝114秒間

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塾生の声

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（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

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（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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