文字式による説明

たむかい学習教室
6月11日
読了時間: 10分

文字式による説明

　当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

　中２・中３数学では、文字式の基本計算の学習が終わり、生徒たちは応用に取り組んでいます。文字式を使いながら問題文について説明（証明）する学習があります。

　高校入試では、文字式による説明問題が毎年のように出題されており、情報を整理し筋立てる力（論理思考力）が求められます。応用の学習にじっくり時間をかけて取り組めるよう、文字式の基本計算は早めに習得しておくことが必要になります。　

文字式による説明（中２）

問題

２けたの自然数に、その数の十の位の数と一の位の数の和を２倍した数をたすと、３の倍数になる。２けたの自然数の十の位の数をｘ、一の位の数をｙとして、この理由について説明しなさい。

☆読解のポイント

　１つ１つの情報を分けて考えます

①２けたの自然数

→自然数は、プラス（正）の整数

　例えば「２３」という数は

　１０×２＋１×３（十の位が２、一の位が３）という式でできている

　十の位をｘ、一の位をｙとするから、

　１０×ｘ＋１×ｙ

＝１０ｘ＋ｙ

②十の位の数

→「２３」であれば、「２」のこと

　問題では「ｘ」

③一の位の数

→「２３」であれば、「３」のこと

　問題では「ｙ」

④位の数の和

→「２３」であれば、「２＋３」のこと

　問題では「ｘ＋ｙ」

　これを２倍した数は、２（ｘ＋ｙ）

①～④から、問題文にそって式を作ると

（１０ｘ＋ｙ）＋２（ｘ＋ｙ）

展開すると

＝１０ｘ＋ｙ＋２ｘ＋２ｙ

＝１２ｘ＋３ｙ

「３の倍数になる」とあるから、

＝３（４ｘ＋ｙ）

「３×（　　）」のように、３の倍数になることが分かるように式を変形する。

解答例

２けたの自然数は、１０ｘ＋ｙと表される。

この２けたの自然数に、十の位の数と一の位の数の和を２倍した数をたすと、

（１０ｘ＋ｙ）＋２（ｘ＋ｙ）

＝１０ｘ＋ｙ＋２ｘ＋２ｙ

＝１２ｘ＋３ｙ

＝３（４ｘ＋ｙ）

４ｘ＋ｙは整数だから、３（４ｘ＋ｙ）は３の倍数である。

よって、

２けたの自然数に、その数の十の位の数と一の位の数の和を２倍した数をたすと、３の倍数になる。

※

３の倍数になることを説明するには、「４ｘ＋ｙは整数」のことわりが必要になります。

ｘは「１～９」の整数、ｙは「０～９」の整数だから、（　）の中は必ず整数になる。

→（整数）に３をかけると、必ず３の倍数になる。逆に、（　）の中が分数や小数では３の倍数にならない。

問題

1221や8338、4444のように、千の位と一の位の数が等しく、百の位と十の位の数が等しい４けたの整数は、11の倍数であることを、式を使って説明しなさい。

〔説明〕

４けたの整数の千の位と一の位の数をａ、百の位と十の位の数をｂとする。

この整数は、1000ａ＋100ｂ＋10ｂ＋ａと表される。

1000ａ＋100ｂ＋10ｂ＋ａ

＝1001ａ＋110ｂ

＝11（91ａ＋10ｂ）

91ａ＋10ｂは整数だから、11（91ａ＋10ｂ）は11の倍数である。

よって、千の位と一の位の数が等しく、百の位と十の位の数が等しい４けたの整数は、11の倍数になる。

問題

下の説明について、５（２ｎ＋５）という式から、連続する５つの奇数の和の性質について、どんなことがわかるか、２つ答えなさい。

解答１つ目

５（２ｎ＋５）＝５×（２ｎ＋５）より、

２ｎ＋５は整数だから、５（２ｎ＋５）は５の倍数になる。

解答２つ目

５（２ｎ＋５）＝（２ｎ＋５）×５より、

５（２ｎ＋５）は連続する５つの奇数の真ん中の数の５倍になる。

問題

下の図のように、自然数を１から順に８個ずつ各行に並べる。図のように、４つの数を凸で囲む。

凸で囲む４つの数を、次のようにａ、ｂ、ｃ、ｄとするとき、

①ａ、ｄを、それぞれｃを使って表しなさい。

②ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄは４の倍数になる。このわけを説明しなさい。

①

ａはｃより８小さい数だから

ａ＝ｃ－８

ｄはｃより１大きい数だから

ｄ＝ｃ＋１

②の解答

ｂはｃより１小さい数だから

ｂ＝ｃ－１

それぞれを代入すると、

ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ

＝（ｃ－８）＋（ｃ－１）＋ｃ＋（ｃ＋１）

＝４ｃ－８

＝４（ｃ－２）

ｃ－２は整数だから、４（ｃ－２）は４の倍数である。

問題

底辺が４ａcm、高さがｂcmの三角形Ｐと、底辺が２ａcm、高さが４ｂcmの三角形Ｑがある。このとき、次の問いに答えなさい。

1）三角形Ｐと三角形Ｑの面積を、ａ、ｂを使って、それぞれ表しなさい。

2）三角形Ｑの面積は、三角形Ｐの面積の何倍ですか。

1）

三角形Ｐの面積

４ａ×ｂ×１／２

＝２ａｂ（cm²）

三角形Ｑの面積

２ａ×４ｂ×１／２

＝４ａｂ（cm²）

2）

Ｑの面積÷Ｐの面積

４ａｂ÷２ａｂ

＝２倍

規則性の問題

問題

１辺１cmの正方形のタイルをぴったりと重ならないように組み合わせ、つくった図形について考える。

1）図1は、１辺１cmの正方形のタイルを３枚組み合わせた図形である。図１の図形を横一列に並べて大きい図形をつくる。図２は、図１の図形を３個並べてできた図形である。下の表は、図１の図形を並べた個数と、できた図形の周の長さについてまとめたものの一部である。あとのア～ウに答えなさい。

ア

表の「あ」・「い」にあてはまる数を求めなさい。

イ

図１の図形をｎ個並べてできた図形の周の長さを、ｎを用いた最も簡単な式で表しなさい。ただし、ｎは自然数とする。

ウ

周の長さが176cmである図形は、図１の図形を何個並べてできた図形か、求めなさい。

ア

図形が１個増えるごとに、周の長さは６cmずつ大きくなる。

３個のとき、周の長さは20cm。

３個増えると、３×６cm＝18cm大きくなるから、

あ＝20＋18＝38cm

９個増えると、９×６cm＝54cm大きくなるから、

い＝20＋54＝74cm

イ

周の長さの増え方は一定だから、一次関数の式で求める。

周の長さをｙcmとする

ｎ個　０　１　２　３・・

ｙcm　２　８　14　20・・

変化の割合（傾き）は６、切片は２だから、

ｙ＝６ｎ＋２

よって、６ｎ＋２

※表から、切片は（０，２）

ウ

イの式より、ｙ＝176だから、

６ｎ＋２＝176

６ｎ＝174

ｎ＝29　29個

2）図３は、１辺１cmの正方形のタイルを８枚ぴったりと組み合わせた図形である。図３の図形を横一列に並べて大きい図形をつくる。図４は、図３の図形を３個並べてできた図形であり、この図形の面積は24cm²、周の長さは30cmである。図３の図形を何個か並べてできた図形の面積が144cm²であるとき、その図形の周の長さを求めなさい。

面積をｚcm²とする

８枚１組の個数と面積の関係は、

ｎ個　０　１　２　３・・

ｚcm² ０　８　16　24・・

比例の関係だから、ｚ＝８ｎ

ｚ＝144のとき、

８ｎ＝144　ｎ＝18だから、

８枚１組の個数が、18個のときの周の長さを求める。

周の長さをｙ’cmとする

８枚１組の個数と長さの関係は、

ｎ個　０　１　２　３・・

ｙ’cm ６　14　22　30・・

変化の割合（傾き）は８、切片は６だから、

ｙ’＝８ｎ＋６

ｎ＝18のときだから、

８×18＋６＝150

よって、150cm

文字式による説明（中３）

問題

２つの続いた奇数の平方の差は８の倍数である。整数ｎを使って、小さい方の奇数を２ｎ＋１と表すとき、次の各問いに答えなさい。

1）大きい方の奇数を、ｎを使って表しなさい。

2）小さい方の奇数の平方を、ｎを使って表しなさい。

3）２つの奇数の平方の差を、ｎを使って表しなさい。

4）3）の式が８の倍数であることを証明しなさい。

1）

小さい方の奇数より２大きい

２ｎ＋３

2）

平方は、２乗した数のこと

（２ｎ＋１）²

＝４ｎ²＋４ｎ＋１

3）

大きい方から小さい方を引く

（２ｎ＋３）²－（２ｎ＋１）²

＝４ｎ²＋12ｎ＋９－（４ｎ²＋４ｎ＋１）

＝４ｎ²＋12ｎ＋９－４ｎ²－４ｎ－１

＝８ｎ＋８

4）

８ｎ＋８＝８（ｎ＋１）

ｎ＋１は整数だから、８（ｎ＋１）は８の倍数である。

※８×（整数）ならば、必ず８の倍数になる。

問題

奇数と奇数の積は、奇数であることを証明しなさい。

〔証明〕

整数ｍ、ｎを使って、２つの奇数を２ｍ＋１、２ｎ＋１と表す。

この２つの奇数の積は、

（２ｍ＋１）（２ｎ＋１）

＝４ｍｎ＋２ｍ＋２ｎ＋１

＝２（２ｍｎ＋ｍ＋ｎ）＋１

２ｍｎ＋ｍ＋ｎは整数だから、２（２ｍｎ＋ｍ＋ｎ）＋１は奇数である。

よって、奇数と奇数の積は、奇数である。

※

２×（整数）は偶数

２×（整数）に＋１すれば奇数になる（偶数のとなりは奇数）

「２ｍｎ＋ｍ＋ｎは整数」のことわりを入れることで、必ず奇数になることが証明される。（分数や小数では奇数にならない）

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