- たむかい学習教室
- 5月5日
- 読了時間: 9分
文章から方程式をつくる
方程式の文章題は、問題によって複数の解き方が存在します。一つの正解にたどり着くだけでなく、あえて別の立式やアプローチを試してみることで、「なぜこの式になるのか」という本質的な理解につながります。
問題
１個70円のみかんと１個120円のりんごを合わせて15個買うと、代金の合計は1400円であった。買ったみかんの個数を求めなさい。
みかんをｘ個とすると、
りんごは（15－ｘ）個
みかんの代金は、
70×ｘ
＝70ｘ円
りんごの代金は、
120×（15－ｘ）
＝120（15－ｘ）円
合計1400円だから
70ｘ＋120（15－ｘ）＝1400
両辺÷10
７ｘ＋12（15－ｘ）＝140
７ｘ＋180－12ｘ＝140
ｘ＝８
よって、８個
※別解
連立方程式で解く
みかんをｘ個、りんごをｙ個とする
合わせて15個だから
ｘ＋ｙ＝15 ①
みかんの代金は、70ｘ円
りんごの代金は、120ｙ円
合わせて1400円だから
70ｘ＋120ｙ＝1400 ②
②÷10
７ｘ＋12ｙ＝140 ②’
②’－①×７
７ｘ＋12ｙ＝140
－）７ｘ＋７ｙ＝105
５ｙ＝35
ｙ＝７
①に代入
ｘ＋７＝15 ｘ＝８
よって、８個
問題
コーヒー牛乳を400mLつくる。コーヒーと牛乳を３：２の割合で混ぜるとき、牛乳は何mL必要ですか。
牛乳をｘmLとすると、
コーヒーは（400－ｘ）mL
（400－ｘ）：ｘ＝３：２
３ｘ＝800－２ｘ
５ｘ＝800
ｘ＝160
よって、160mL
問題
ｘについての方程式５ｘ＋ａ＝９＋２ｘの解が４であるとき、ａの値を求めなさい。
解が４だから、ｘ＝４を代入
５×４＋ａ＝９＋２×４
20＋ａ＝17
ａ＝－３
問題
色紙を何人かの生徒に配る。１人に６枚ずつ配ると５枚余り、１人８枚ずつ配ると９枚足りない。このとき、生徒の人数を求めなさい。
生徒をｘ人とする
１人に６枚ずつ配る場合
配った数は６ｘ枚、５枚余るから
全体で（６ｘ＋５）枚 ①
１人に８枚ずつ配る場合
配った数は８ｘ枚、９枚足りないから
全体で（８ｘ－９）枚 ②
①＝②だから
６ｘ＋５＝８ｘ－９
ｘ＝７
よって、７人
※別解
割り切れる場合から立式する
色紙をｘ枚とする
全体から５枚引くと６枚ずつ配り切れる
生徒全体の人数は
（ｘ－５）÷６
＝（ｘ－５）/６ 人 ①
全体に９枚足すと８枚ずつ配り切れる
生徒全体の人数は
（ｘ＋９）÷８
＝（ｘ＋９）/８ 人 ②
①＝②だから
（ｘ－５）/６＝（ｘ＋９）/８
両辺×24
４ｘ－20＝３ｘ＋27
ｘ＝47 色紙全体は47枚
生徒全体の人数は
①にｘ＝47を代入
（47－５）/６＝７
②にｘ＝47を代入
（47＋９）/８＝７
よって、７人
問題
あるトンネルに、自動車Ａが秒速12mで入り始めた。５秒後に反対側から自動車Ｂが秒速15mで入り始めた。その後、２台の自動車は、トンネルのちょうど真ん中で出会った。このトンネルの長さは何mですか。ただし、２台の自動車の速さはトンネル内ではそれぞれ一定であるとする。
Ａが進んだ時間をｘ秒とすると、
Ｂが進んだ時間は（ｘ－５）秒
Ａは、秒速12mでｘ秒進むから
進んだ道のりは
12×ｘ
＝12ｘ m
Ｂは、秒速15mで（ｘ－５）秒進むから
進んだ道のりは
15×（ｘ－５）
＝15（ｘ－５） m
ＡとＢの道のりは等しいから
12ｘ＝15（ｘ－５）
両辺÷３
４ｘ＝５ｘ－25
ｘ＝25
よって、Ａが進んだ道のりは
12×25＝300m
トンネルの長さはこの２倍だから
300×２＝600m
※別解
トンネルの長さをｘmとする
ＡとＢが進んだ道のりは、ともにｘ/２ m
Ａが真ん中に来るまでの時間は
（ｘ/２）÷12
＝ｘ/24 秒
Ｂが真ん中に来るまでの時間は
（ｘ/２）÷15
＝ｘ/30 秒
ＡはＢより５秒多く進んだから
（ｘ/24）＝（ｘ/30）＋５
両辺×120
５ｘ＝４ｘ＋600
ｘ＝600
よって、600m
問題
チョコレートが何個かと、それを入れるための箱が何個かある。１個の箱にチョコレートを30個ずつ入れたところ、すべての箱にチョコレートを入れてもチョコレートは22個余った。そこで、１個の箱にチョコレートを35個ずつ入れていったところ、最後の箱はチョコレートが32個になった。このとき、箱の個数を求めなさい。
箱をｘ個とする
チョコを30個ずつ入れた場合
入れたチョコは30ｘ個、22個余るから
全体で（30ｘ＋22）個 ①
チョコを35個ずつ入れた場合
35個入りの箱は（ｘ－１）箱だから
35個入りのチョコだけで35（ｘ－１）個
最後の１箱は、32個入りだから
全体で35（ｘ－１）＋32 個 ②
①＝②だから
30ｘ＋22＝35（ｘ－１）＋32
30ｘ＋22＝35ｘ－35＋32
－５ｘ＝－25
ｘ＝５
よって、５個
※別解
割り切れる場合から立式する
チョコをｘ個とする
全体から22個引くと30個ずつ入り切る
箱の個数は
（ｘ－22）÷30
＝（ｘ－22）/30 箱 ①
全体から32個引くと35個ずつ入り切る
余った１箱を足す
箱の個数は
｛（ｘ－32）÷35｝＋１
＝｛（ｘ－32）/35｝＋１ 箱 ②
①＝②だから
（ｘ－22）/30＝｛（ｘ－32）/35｝＋１
両辺×210
７ｘ－154＝６ｘ－192＋210
ｘ＝172 チョコは全部で172個
箱の個数は
①にｘ＝172を代入
（172－22）÷30＝５
②にｘ＝172を代入
｛（172－32）/35｝＋１＝５
よって、５個
問題
先月は、アルミ缶とスチール缶を合わせて70kg回収した。今月は、先月にくらべ、アルミ缶が10％増え、スチール缶が10％減り、合わせて73kg回収した。先月のアルミ缶とスチール缶の回収量を、それぞれ求めなさい。
先月のアルミをｘkg、スチールをｙkgとする
合わせて70kgだから
ｘ＋ｙ＝70 ①
今月のアルミは
ｘ×｛（100/100）＋（10/100）｝
＝（110/100）ｘ kg
今月のスチールは
ｙ×｛（100/100）－（10/100）｝
＝（90/100）ｙ kg
合わせて73kgだから
（110/100）ｘ＋（90/100）ｙ＝73 ②
②×100
110ｘ＋90ｙ＝7300
両辺÷10
11ｘ＋９ｙ＝730 ②’
②’－①×９
11ｘ＋９ｙ＝730
－）９ｘ＋９ｙ＝630
２ｘ＝100
ｘ＝50
①に代入
50＋ｙ＝70
ｙ＝20
先月をｘkg、ｙkgとしたから
アルミ缶：50kg スチール缶：20kg
※別解
ｘ＋ｙ＝70 ①
アルミの先月からの増加分は
ｘ×（10/100）
＝（10/100）ｘ kg
スチールの先月からの減少分は
ｙ×（－10/100）
＝（－10/100）ｙ kg
合わせて、73－30＝３kg増えたから
（10/100）ｘ＋（－10/100）ｙ＝３ ②
両辺×10
ｘ－ｙ＝30 ②’
①－②’
ｘ＋ｙ＝70
－）ｘ－ｙ＝30
２ｙ＝40
ｙ＝20
①に代入
ｘ＋20＝70
ｘ＝50
よって、
アルミ缶：50kg スチール缶：20kg
問題
１つの内角の大きさが150°である正多角形は正何角形ですか。
求める角の個数をｎとする
１つの内角の大きさが150°だから
正ｎ角形の内角の和は、
150°×ｎ＝150ｎ ①
多角形の内角の和の公式より
180（ｎ－２） ②
①＝②だから
150ｎ＝180（ｎ－２）
両辺÷30
５ｎ＝６ｎ－12
ｎ＝12
よって、正十二角形
※別解
１つの内角に隣り合う外角は
180°－150°＝30°
多角形の外角の和は、30°×ｎ＝30ｎ
多角形の外角の和は必ず360°だから
30ｎ＝360
ｎ＝12
よって、正十二角形
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