- たむかい学習教室
- 5月5日
- 読了時間: 8分
文章から方程式をつくる②
方程式の文章題は、問題によって複数の解き方が存在します。一つの正解にたどり着くだけでなく、あえて別の立式やアプローチを試してみることで、「なぜこの式になるのか」という本質的な理解につながります。
1次方程式
問題
いくつかの箱の中に、球を６個ずつ入れると、球が20個残った。そこで、球を７個ずつ入れると、８つの箱が余り、１つの箱だけには３個の球が入った。箱は全部で何個あるか、求めなさい。
箱の数をｘとする
６個ずつ入れる場合
ｘ箱に入れた球の数は６ｘ個
20個残ったから
球全体の数は、（６ｘ＋20）個
７個ずつ入れる場合
７個ずつ入っていない箱が９箱あるから
７個ずつ入った箱の球の数は
７（ｘ－９）個
３個残っているから
球全体の数は、｛７（ｘ－９）＋３｝個
よって、
６ｘ＋20＝７（ｘ－９）＋３
６ｘ＋20＝７ｘ－63＋３
ｘ＝80
よって、80箱
問題
Ａさんの家からＢさんの家までの道のりは２kmで、その途中にある図書館で２人は一緒に勉強することにした。Ａさんは午前10時に自分の家を出て時速12kmで走り、Ｂさんは午前10時5分に自分の家を出て時速４kmで歩くと、同時に図書館に着いた。Ａさんの家から図書館までの道のりと、Ｂさんの家から図書館までの道のりを、方程式をつくって求めなさい。
２人の図書館までの道のりを、
Ａをｘkm、Ｂを（２－ｘ）kmとする
Ａはｘkmを時速12kmで進むから
かかる時間は
ｘ÷12
＝ｘ/12 時間
Ｂは（２－ｘ）kmを時速４kmで進むから
かかる時間は
（２－ｘ）÷４
＝（２－ｘ）/４ 時間
ＡはＢの５分前＝5/60時間前に出たから
（ｘ/12）－｛（２－ｘ）/４｝＝1/12
ｘ－３（２－ｘ）＝１
ｘ－６＋３ｘ＝１
４ｘ＝７ ｘ＝7/4
よって、Ｂの道のりは
２－（7/4）＝1/4
以上から
Ａ：7/4 km Ｂ：1/4 km
※別解
２人の図書館までにかかる時間を、
Ａをｘ分とすると
ＢはＡの５分後に出るから、（ｘ－５）分
Ａは時速12kmでｘ分＝ｘ/60 時間進むから
Ａが走った道のりは
12×（ｘ/60）
＝ｘ/５ km
Ｂは時速４kmで
（ｘ－５）分＝（ｘ－５）/60 時間進むから
Ｂが歩いた道のりは
４×｛（ｘ－５）/60｝
＝（ｘ－５）/15 km
合わせて２kmだから
（ｘ/５）＋｛（ｘ－５）/15｝＝２
３ｘ＋ｘ－５＝30
４ｘ＝35 ｘ＝35/4
よって、
Ａが走った道のりは
ｘ/５
＝（35/4）×（1/5）＝7/4
Ｂが走った道のりは
（ｘ－５）/15
＝｛（35/4）－５｝×（1/15）
＝1/4
以上から
Ａ：7/4 km Ｂ：1/4 km
規則性の問題
問題
下の図のように、１辺２cmの正方形の紙を、右と上に１cmずつずらしながら重ねた。このときにできる図形を太い線で囲む。正方形の紙を25枚重ねたときにできる、太い線で囲まれた図形の面積を求めなさい。また、面積が211cm²になるときの紙の枚数を求めなさい。
１枚のとき
２×２＝４cm²
２枚のとき
（２×２）×２－（１×１）
＝７cm²
３枚のとき
（２×２）×３－（１×１）×２
＝10cm²
よって、25枚のときは
（２×２）×25－（１×１）×24
＝100－24＝76cm²
ｎ枚のときの面積は
（２×２）×ｎ－（１×１）×（ｎ－１）
＝４ｎ－ｎ＋１
＝３ｎ＋１
よって、
３ｎ＋１＝211
３ｎ＝210
ｎ＝70だから、70枚
連立方程式
問題
２けたの正の整数がある。この整数の一の位の数を８倍し、十の位の数を加えると29になる。また、一の位の数と十の位の数を入れかえた整数は、もとの整数より18小さい。このとき、もとの整数を求めなさい。
もとの数の
十の位の数をｘ、一の位の数をｙとする
ｘ＋８ｙ＝29 ①
もとの数は、
10×ｘ＋1×ｙ
＝10ｘ＋ｙ
位を入れかえた数は、
10×ｙ＋1×ｘ
＝10ｙ＋ｘ
10ｙ＋ｘ＝10ｘ＋ｙ－18 ②
②より
－９ｘ＋９ｙ＝－18
両辺÷（－９）
ｘ－ｙ＝２ ②’
①－②’
ｘ＋８ｙ＝29
－）ｘ－ ｙ＝２
９ｙ＝27
ｙ＝３
②’に代入
ｘ－３＝２ ｘ＝５
もとの数を10ｘ＋ｙとしたから
10×５＋３＝53
よって、53
2次方程式
問題
縦20m、横35mの長方形の土地がある。この土地に、下の図のように縦と横に同じ幅ｘmの道をつくり、道を除いた４つの部分（斜線部分）を花だんにする。花だんの面積の和を450m²とするとき、ｘの値を求めなさい。
花だんの縦の長さは、（20－ｘ）m
横の長さは、（35－ｘ）m
よって、
（20－ｘ）（35－ｘ）＝450
（ｘ－20）（ｘ－35）＝450
ｘ²－55ｘ＋700－450＝０
ｘ²－55ｘ＋250＝０
（ｘ－５）（ｘ－50）＝０
０＜ｘ＜20より
ｘ＝５
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