- たむかい学習教室
- 7月27日
- 読了時間: 14分
方程式文章題 練習問題
夏休みに入りました。当塾では「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。
１学期の中学生は「方程式」の学習があり、その復習を行っています。特に文章題では、式を立てるために必要な情報を整理する力が求められます。
一次方程式
問題
重さが異なる３個のおもりＡ、Ｂ、Ｃと重さが120ｇのおもりＤがある。Ａ、Ｂ、Ｃの３個のおもりの重さは、Ａ、Ｂ、Ｃの順に50ｇずつ重くなっている。また、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの重さの合計は540ｇである。このとき、Ｃの重さを求めなさい。
Ｃの重さをｘｇとする
Ｂの重さ ｘ－50 ｇ
Ａの重さ ｘ－100 ｇ
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝540だから
（ｘ－100）＋（ｘ－50）＋ｘ＋120＝540
３ｘ－30＝540
３ｘ＝570 ｘ＝190
よって、190ｇ
問題
あきこさんは、1.8km離れた駅に向けて家を出発した。それから14分後に、お父さんは自転車で家を出発し、同じ道を通って駅に向かった。あきこさんは分速60m、お父さんは分速200mでそれぞれ一定の速さで進むとすると、お父さんが家を出発してから何分後に追いつくか、求めなさい。
父が家から出発した後をｘ分とする
分速200mで進んだ距離は
200×ｘ＝200ｘ m
あきこさんは出発後、（ｘ＋14）分進んでいる
分速60mで進んだ距離は
60×（ｘ＋14）
＝60（ｘ＋14）m
２人の進んだ距離は同じだから
200ｘ＝60（ｘ＋14）
10ｘ＝３ｘ＋42
７ｘ＝42 ｘ＝６
よって、６分後
問題
あるシャツを下の表のように販売する店がある。
このシャツを特別期間に３枚買う場合は、通常２枚買う場合よりも300円安くなるという。シャツ１枚の定価はいくらか、求めなさい。
シャツ１枚の定価をｘ円とする
通常時
２ｘ－500 円
特別期間
３ｘ×（100－40）/100
＝３ｘ×（3/5）
＝（9/5）ｘ 円
よって、
（9/5）ｘ＝（２ｘ－500）－300
（9/5）ｘ＝２ｘ－800
９ｘ＝10ｘ－4000
ｘ＝4000
よって、4000円
連立方程式
問題
２つの自然数の和が210で、一方の数は他方の数の３倍より10大きい。この２つの自然数を求めなさい。
一方の数をｘ、他方の数をｙとする
２数の和は210だから
ｘ＋ｙ＝210 ①
ｘはｙの３倍より10大きいから
ｘ＝３ｙ＋10 ②
①に代入
３ｙ＋10＋ｙ＝210
４ｙ＝200 ｙ＝50
②に代入
ｘ＝150＋10＝160
よって、
50、160
※別解（１元１次方程式）
一方の数をｘとする
他方は、３ｘ＋10
２数の和は210だから
ｘ＋（３ｘ＋10）＝210
４ｘ＝200 ｘ＝50
他方は、３×50＋10＝160
よって、
50、160
問題
現在、お父さんの年齢は、弟の年齢の３倍より２歳上で、13年後には、お父さんの年齢は弟の年齢の２倍になる。現在の弟とお父さんの年齢をそれぞれ求めなさい。
現在の父をｘ歳、弟をｙ歳とする
ｘはｙの３倍より２つ上だから
ｘ＝３ｙ＋２ ①
13年後
父：ｘ＋13 弟：ｙ＋13
（ｘ＋13）は（ｙ＋13）の２倍だから
ｘ＋13＝２（ｙ＋13）
ｘ＝２ｙ＋13 ②
①、②より
３ｙ＋２＝２ｙ＋13
ｙ＝11
①に代入して
ｘ＝33＋２＝35
よって、
弟 11歳
父 35歳
※別解（１元１次方程式）
現在の弟をｘ歳とする
現在の父は３ｘ＋２歳
13年後の弟 ｘ＋13歳
13年後の父
３ｘ＋２＋13＝３ｘ＋15歳
（３ｘ＋15）は（ｘ＋13）の２倍だから
３ｘ＋15＝２（ｘ＋13）
３ｘ＋15＝２ｘ＋26
ｘ＝11
現在の父は、33＋２＝35
よって、
弟 11歳
父 35歳
問題
Ａ地からＢ地を通って５kmはなれたＣ地まで行くのに、Ａ～Ｂ間を時速４kmで歩き、Ｂ～Ｃ間を時速８kmで走って、全体では１時間かかった。Ａ～Ｂ間とＢ～Ｃ間の道のりをそれぞれ求めなさい。
Ａ～Ｂ間をｘkm、Ｂ～Ｃ間をｙkmとする
合わせて５kmだから
ｘ＋ｙ＝５ ①
ｘkmを時速４kmで進んだ時間は
ｘ÷４＝ｘ/４ 時間
ｙkmを時速８kmで進んだ時間は
ｙ÷８＝ｙ/８ 時間
合わせて１時間だから
（ｘ/４）＋（ｙ/８）＝１
×８
２ｘ＋ｙ＝８ ②
②－①
２ｘ＋ｙ＝８
ｘ＋ｙ＝５
ｘ＝３
①に代入して ｙ＝２
よって、
Ａ～Ｂ間 ３km
Ｂ～Ｃ間 ２km
※別解（１元１次方程式）
Ａ～Ｂ間をｘkmとする
Ｂ～Ｃ間 （５－ｘ）km
ｘkmを時速４kmで進んだ時間は
ｘ/４ 時間
（５－ｘ）kmを時速８kmで進んだ時間は
（５－ｘ）/８ 時間
合わせて１時間だから
（ｘ/４）＋｛（５－ｘ）/８ ｝＝１
２ｘ＋５－ｘ＝８
ｘ＝３
Ｂ～Ｃ間は、５－３＝２
よって、
Ａ～Ｂ間 ３km
Ｂ～Ｃ間 ２km
問題
ある中学校の１年生と２年生は合わせて350人だった。このうち、１年生の８％と２年生の６％が自転車通学をしていて、その人数は25人になる。１年生と２年生の人数をそれぞれ求めなさい。
１年生をｘ人、２年生をｙ人とする
合わせて350人だから
ｘ＋ｙ＝350 ①
１年生ｘ人の８％は
ｘ×（8/100）＝（8/100）ｘ人
２年生ｙ人の６％は
ｙ×（6/100）＝（6/100）ｙ人
合わせて25人だから
（8/100）ｘ＋（6/100）ｙ＝25
×100
８ｘ＋６ｙ＝2500
÷２
４ｘ＋３ｙ＝1250 ②
②－①×３
４ｘ＋３ｙ＝1250
３ｘ＋３ｙ＝1050
ｘ＝200
①に代入して ｙ＝150
よって、
１年生 200人
２年生 150人
※別解（１元１次方程式）
１年生ｘ人、２年生（350－ｘ）人
（8/100）ｘ＋（6/100）（350－ｘ）＝25
８ｘ＋2100－６ｘ＝2500
２ｘ＝400 ｘ＝200
２年生は、350－200＝150
よって、
１年生 200人
２年生 150人
問題
900mの道のりを、はじめは分速80mで歩き、途中からは分速200mで走ったところ、全体で９分かかった。歩いた道のりと走った道のりをそれぞれ求めなさい。
歩いた道のりｘm、走った道のりｙmとする
合わせて900mだから
ｘ＋ｙ＝900 ①
ｘmを分速80mで進んだ時間は
ｘ÷80＝ｘ/80 分
ｙmを分速200mで進んだ時間は
ｙ÷200＝ｙ/200 分
合わせて９分だから
（ｘ/80）＋（ｙ/200）＝９
×400
５ｘ＋２ｙ＝3600 ②
②－①×２
５ｘ＋２ｙ＝3600
２ｘ＋２ｙ＝1800
３ｘ＝1800 ｘ＝600
①に代入して ｙ＝300
よって、
歩いた道のり 600m
走った道のり 300m
※１元１次方程式
歩いた道のりｘm、走った道のり（900－ｘ）m
歩いた時間 ｘ/80 分
走った時間 （900－ｘ）/200 分
合わせて９分だから
（ｘ/80）＋｛（900－ｘ）/200｝＝９
５ｘ＋２（900－ｘ）＝3600
５ｘ＋1800－２ｘ＝3600
３ｘ＝1800 ｘ＝600
走った道のりは、900－600＝300
よって、
歩いた道のり 600m
走った道のり 300m
問題
水そうＡのメダカの数は、オスとメス合わせて25匹で、水そうＢは水そうＡより、オスが10％多く、メスが20％多く、全体で４匹多い。水そうＡのオスの数、メスの数をそれぞれ求めなさい。
Ａのオスｘ匹、メスｙ匹とする
合わせて25匹だから
ｘ＋ｙ＝25 ①
ＢのＡより多い数
オス （10/100）ｘ 匹
メス （20/100）ｙ 匹
合わせて４匹多いから
（10/100）ｘ＋（20/100）ｙ＝４
×100
10ｘ＋20ｙ＝400
÷10
ｘ＋２ｙ＝40 ②
②－①
ｘ＋２ｙ＝40
ｘ＋ ｙ＝25
ｙ＝15
①に代入して ｘ＝10
よって、
オス 10匹
メス 15匹
※１元１次方程式
Ａのオスｘ匹、メス（25－ｘ）匹
ＢのＡより多い数
オス （10/100）ｘ 匹
メス （20/100）（25－ｘ） 匹
合わせて４匹だから
（10/100）ｘ＋（20/100）（25－ｘ）＝４
10ｘ＋500－20ｘ＝400
ｘ＝10
メスは、25－10＝15
よって、
オス 10匹
メス 15匹
問題
家から1200mはなれた駅まで行くのに、はじめは分速50mで歩き、途中からは分速200mで走ったら、18分かかって駅に着いた。歩いた時間、走った時間をそれぞれ求めなさい。
歩いた時間ｘ分、走った時間ｙ分とする
合わせて18分だから
ｘ＋ｙ＝18 ①
分速50mでｘ分進んだ距離は
50×ｘ＝50ｘ m
分速200mでｙ分進んだ距離は
200×ｙ＝200ｙ m
合わせて1200mだから
50ｘ＋200ｙ＝1200
÷50
ｘ＋４ｙ＝24 ②
②－①
ｘ＋４ｙ＝24
ｘ＋ ｙ＝18
３ｙ＝６ ｙ＝２
①に代入して ｘ＝16
よって、
歩いた時間 16分
走った時間 ２分
※１元１次方程式
歩いた時間ｘ分、走った時間（18－ｘ）分
歩いた距離 50ｘ m
走った距離 200（18－ｘ） m
合わせて1200mだから
50ｘ＋200（18－ｘ）＝1200
ｘ＋72－４ｘ＝24
３ｘ＝48 ｘ＝16
走った時間は、18－16＝２
よって、
歩いた時間 16分
走った時間 ２分
問題
陽子さんの住む町の面積は630km²であり、Ａ地区とＢ地区の２つの地区に分かれている。陽子さんが町の森林について調べたところ、Ａ地区の面積の70％、Ｂ地区の面積の90％が森林であり、町全体の森林面積は519km²だった。このとき、Ａ地区の森林面積は何km²か求めなさい。
Ａ全体の面積ｘkm²、Ｂ全体の面積ｙkm²とする
合わせて630km²だから
ｘ＋ｙ＝630 ①
森林の面積
Ａ
ｘkm²の70％だから、（70/100）ｘkm²
Ｂ
ｙkm²の90％だから、（90/100）ｙkm²
合わせて519km²だから
（70/100）ｘ＋（90/100）ｙ＝519
×100
70ｘ＋90ｙ＝51900
÷10
７ｘ＋９ｙ＝5190
②－①×７
７ｘ＋９ｙ＝5190
７ｘ＋７ｙ＝4410
２ｙ＝780 ｙ＝390
①に代入して ｘ＝240
Ａの森林面積だから
（70/100）×240＝168
よって、168km²
※１元１次方程式
Ａ全体ｘkm²、Ｂ全体（630－ｘ）km²
Ａの森林ではない面積
（30/100）ｘkm²
Ｂの森林ではない面積
（10/100）（630－ｘ）km²
合わせて630－519＝111km²だから
（30/100）ｘ＋（10/100）（630－ｘ）＝111
30ｘ＋6300－10ｘ＝11100
20ｘ＝4800 ｘ＝240
Ａの森林面積だから
（70/100）×240＝168
よって、168km²
問題
ある店が、大売出し用に鉛筆とボールペンを合わせて800本仕入れた。大売出しの初日に、鉛筆は20％、ボールペンは30％売れたため、残りの本数は合わせて590本になった。仕入れた鉛筆とボールペンの本数をそれぞれ求めなさい。
仕入れた鉛筆ｘ本、ボールペンｙ本とする
合わせて800本だから
ｘ＋ｙ＝800 ①
鉛筆の売れた本数
（20/100）ｘ本
ボールペンの売れた本数
（30/100）ｙ本
合わせて800－590＝210本売れたから
（20/100）ｘ＋（30/100）ｙ＝210
×100
20ｘ＋30ｙ＝21000
÷10
２ｘ＋３ｙ＝2100 ②
②－①×２
２ｘ＋３ｙ＝2100
２ｘ＋２ｙ＝1600
ｙ＝500
①に代入して ｘ＝300
よって、
鉛筆 300本
ボールペン 500本
※残りの本数で立式する場合
（80/100）ｘ＋（70/100）ｙ＝590
80ｘ＋70ｙ＝59000
８ｘ＋７ｙ＝5900 ②
②－①×７
８ｘ＋７ｙ＝5900
７ｘ＋７ｙ＝5600
ｘ＝300
①に代入して ｙ＝500
よって、
鉛筆 300本
ボールペン 500本
問題
ペットボトルに入っていた800mLのジュースを、Ａ、Ｂ、Ｃの３つの容器に分けたところ、ＡとＢのジュースの量は等しく、Ｃのジュースの量だけが異なっていた。次にＡに入れた量の60％をＢに、Ａの残りを全部Ｃに移したら、ＢとＣのジュースの量が同じになった。最初にＢとＣの容器に入れたジュースの量をそれぞれ求めなさい。
最初のＢをｘmL、ＣをｙmLとする
ＡはＢと同じｘmL
合わせて800mLだから
２ｘ＋ｙ＝800 ①
Ａの60％をＢに移すと
ｘ＋（60/100）ｘ
＝（160/100）ｘmL
Ａの残り40%をＣに移すと
ｙ＋（40/100）ｘmL
移した後は量が同じになるから
（160/100）ｘ＝ｙ＋（40/100）ｘ
×100
160ｘ＝100ｙ＋40ｘ
120ｘ－100ｙ＝０
÷20
６ｘ－５ｙ＝０ ②
②－①×３
６ｘ－５ｙ＝０
６ｘ＋３ｙ＝2400
８ｙ＝2400 ｙ＝300
①に代入して
２ｘ＋300＝800
２ｘ＝500 ｘ＝250
よって、
Ｂ 250mL
Ｃ 300mL
問題
ある工場では、製品Ａ、Ｂを製造している。先月の製造数は、製品ＡとＢ合わせて750個であった。今月は、先月に比べ、製品Ａの製造数が20％、製品Ｂの製造数が10％増えたため、合わせて105個増えた。先月の製品Ａ、Ｂの製造数をそれぞれ求めなさい。
先月のＡをｘ個、Ｂをｙ個とする
合わせて750個だから
ｘ＋ｙ＝750 ①
先月より増えた分の個数
Ａ （20/100）ｘ 個
Ｂ （10/100）ｙ 個
合わせて105個だから
（20/100）ｘ＋（10/100）ｙ＝105
×100
20ｘ＋10ｙ＝10500
÷10
２ｘ＋ｙ＝1050 ②
②－①
２ｘ＋ｙ＝1050
ｘ＋ｙ＝ 750
ｘ＝300
①に代入して ｙ＝450
よって、
Ａ 300個
Ｂ 450個
問題
ある店では、昨日は菓子Ａと菓子Ｂを合わせて900個つくった。今日は昨日と比べて菓子Ａは20％増え、菓子Ｂは５％減ったので、つくった個数は合わせて990個になった。今日つくられた菓子Ａと菓子Ｂの個数をそれぞれ求めなさい。
昨日のＡをｘ個、Ｂをｙ個とする
合わせて900個だから
ｘ＋ｙ＝900 ①
Ａの昨日より増えた分の個数
（20/100）ｘ 個
Ｂの昨日より減った分の個数
－（5/100）ｙ 個
合わせて990－900＝90個だから
（20/100）ｘ－（5/100）ｙ＝90
×100
20ｘ－５ｙ＝9000
÷５
４ｘ－ｙ＝1800 ②
①＋②
ｘ＋ｙ＝900
４ｘ－ｙ＝1800
５ｘ＝2700 ｘ＝540
①に代入して ｙ＝360
今日つくられたＡ
昨日より増えた分の個数は
（20/100）×540＝108
よって、今日のＡの個数は
540＋108＝648
今日つくられたＢ
昨日より減った分の個数は
－（5/100）×360＝－18
よって、今日のＢの個数は
360－18＝342
したがって、
Ａ 648個
Ｂ 342個
問題
下の図は、ある中学校の１・２年生全員が１つの質問に「賛成」か「反対」のどちらかで答えた結果をまとめたものである。
「賛成」と答えた人数は、１年生が２年生よりも４人多かった。この中学校の１年生と２年生の生徒数を、それぞれ求めなさい。
１年生全体ｘ人、２年生全体をｙ人とする
図１より
１・２年生全体の72％だから
（72/100）（ｘ＋ｙ）人
図２より
１年生だけでは80％だから
（80/100）ｘ人
２年生だけでは65％だから
（65/100）ｙ人
よって、
（80/100）ｘ＋（65/100）ｙ＝（72/100）（ｘ＋ｙ）
×100
80ｘ＋65ｙ＝72ｘ＋72ｙ
８ｘ－７ｙ＝０ ①
１年生が２年生よりも４人多いから
（80/100）ｘ＝（65/100）ｙ＋４
80ｘ＝65ｙ＋400
÷５
16ｘ－13ｙ＝80 ②
①×２－②
16ｘ－14ｙ＝０
16ｘ－13ｙ＝80
ｙ＝80
①に代入して
８ｘ－560＝０
８ｘ＝560 ｘ＝70
よって、
１年生 70人
２年生 80人
問題
あるボランティアグループの人数は、去年は小学生と中学生合わせて50人だった。今年は、小学生が10％増え、中学生が20％減ったので、全体で４人減った。ボランティアグループの去年の小学生、中学生の人数をそれぞれ求めなさい。
去年の小学生ｘ人、中学生ｙ人とする
合わせて50人だから
ｘ＋ｙ＝50 ①
小学生の増加分
（10/100）ｘ人
中学生の増加分
－（20/100）ｙ人
合わせて－４人だから
（10/100）ｘ－（20/100）ｙ＝－４
×100
10ｘ－20ｙ＝－400
÷10
ｘ－２ｙ＝－40
①－②
ｘ＋ ｙ＝50
ｘ－２ｙ＝－40
３ｙ＝90 ｙ＝30
①に代入して ｘ＝20
よって、
小学生 20人
中学生 30人
2023年・青森県立高校入試
連立方程式と一次関数
1）〔あ〕
りんごとなし合わせて50個だから
りんごをａ個とすると
なしは、50－ａ個
1）〔い〕
りんごａ個、なしｂ個とすると
合わせて50個だから
ａ＋ｂ＝50
120円をａ個で、120ａ円
150円をｂ個で、150ｂ円
箱代40円
合わせて6700円だから
120ａ＋150ｂ＋40＝6700
よって、
ａ＋ｂ＝50
120ａ＋150ｂ＋40＝6700
2）〔う〕
りんご（ｘ＋18）個、なし（ｙ＋18）個とするから
120（ｘ＋18）＋150（ｙ＋18）＋40＝6700
2）〔え〕
４ｘ＋５ｙ＝60 より
５ｙ＝－４ｘ＋60
ｙ＝（－4/5）ｘ＋12
ｘ、ｙが正の整数となる組み合わせは
ｘが０または５の倍数になるとき
ｘ＝０のとき、ｙ＝12
ｘ＝５のとき、ｙ＝８
ｘ＝10のとき、ｙ＝４
ｘ＝15のとき、ｙ＝０
ｘ＝20以上では、ｙは負になるから不適
よって、
（０，12）（５，８）（10，４）（15，０）
2）〔え〕〔お〕
りんごとなしの合計が50個より多くなるのは
（15，０）のとき
ｘ＋18より、15＋18＝33個
ｙ＋18より、０＋18＝18個
よって、
りんご 33個
なし 18個
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塾生の声
苦手が自信に。
受験で大きく伸びました！
この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。
数学を克服して
テストの得点は右肩上がり！
私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。
やり方が分かり
勉強の習慣がついた！
分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。
英語に自信がつき
入試で大幅アップ！
勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。
英語と数学は
これからもこの塾で！
苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。
この塾で本当に良かった！
通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！
理数への意識が変わり
自分から進んで勉強しています！
入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。
目標の中学受験
苦手を克服して志望校合格！
中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。
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