- たむかい学習教室
- 7月10日
- 読了時間: 7分
正四面体の高さと体積 高校数学
１学期の期末考査が終わり、高校生は学期末の模試に向けて対策を進めています。
高校数学では正弦定理と余弦定理の応用として、四面体の高さと体積を求める問題があります。外接円の半径や三角形の面積公式なども利用します。
問題
１辺の長さが３の正四面体ＯＡＢＣがあり、辺ＯＣ上にＯＤ＝１となる点Ｄを、辺ＯＢ上にＯＥ＝3/4となる点Ｅをとる。
1）△ＡＢＣの外接円の半径を求めよ。また、点Ｏから平面ＡＢＣに垂線を引き、平面ＡＢＣとの交点をＨとする。線分ＯＨの長さを求めよ。
2）四面体ＯＡＥＤの体積を求めよ。
3）cos∠ＡＥＤの値を求めよ。また、点Ｏから平面ＡＥＤに引いた垂線の長さを求めよ。
1）
△ＡＢＣの外接円の半径
∠ＢＡＣ＝60°、対辺ＢＣ＝３
正弦定理
２Ｒ＝ＢＣ/sinＡ より
２Ｒ＝３/sin60°
２Ｒ＝３÷（√３/２）
Ｒ＝３×（２/√３）×（１/２）
＝３/√３
＝√３
線分ＯＨ
△ＯＡＨで、∠ＯＨＡ＝90°だから
三平方の定理より
ＯＨ²＝ＯＡ²－ＡＨ²
Ｒ＝√３より、ＡＨ＝√３
ＯＡ＝３だから
ＯＨ²＝９－３＝６
ＯＨ＝√６（ＯＨ＞０）
よって、
△ＡＢＣの外接円の半径 √３
線分ＯＨ √６
2）
錐の頂点をＡとすると
正四面体の底面は△ＯＢＣ
四面体ＯＡＥＤの底面は、△ＯＢＣと同じ面にある△ＯＥＤ
よって、
２つの四面体の高さは同じ
したがって、
底面の△ＯＢＣ：△ＯＥＤの面積比が、２つの四面体の体積比と同じになる。
△ＯＢＣの面積
ＯＢ＝ＯＣ＝３、∠ＢＯＣ＝60°だから
Ｓ＝（1/2）・３・３sin60°
＝（1/2）・３・３・（√3/2）
＝９√３/４
△ＯＥＤの面積
ＯＤ＝１、ＯＥ＝3/4、∠ＥＯＤ＝60°だから
Ｓ＝（1/2）・１・3/4・（√3/2）
＝３√３/16
△ＯＢＣ：△ＯＥＤ
＝９√３/４：３√３/16
＝36√３：３√３
＝12：１
正四面体ＯＡＢＣの体積
底面△ＡＢＣ＝△ＯＢＣ＝９√３/４
高さＯＨ＝√６
Ｖ₁＝（1/3）・（９√３/４）・√６
＝９√２/４
四面体ＯＡＥＤの体積をＶ₂とすると
Ｖ₁：Ｖ₂＝12：１
９√３/４：Ｖ₂＝12：１
Ｖ₂＝（９√２/４）×（1/12）
＝３√２/16
よって、求める体積は
３√２/16
3）cos∠ＡＥＤの値を求めよ。また、点Ｏから平面ＡＥＤに引いた垂線の長さを求めよ。
cos∠ＡＥＤの値
👉cos∠ＡＥＤを求めるために、△ＡＤＥの３辺の長さをそれぞれ求める。
△ＣＡＤにおいて
ＣＡ＝３
ＣＤ＝ＯＣ－ＯＤ＝３－１＝２
∠ＡＣＤ＝60° だから
余弦定理より
ＡＤ²
＝３²＋２²－２・３・２cos60°
＝９＋４－２・３・２・（1/2）
＝13－６＝７
ＡＤ＝√７（ＡＤ＞０）
△ＢＡＥにおいて
ＢＡ＝３
ＢＥ
＝ＯＢ－ＯＥ＝３－（3/4）＝9/4
∠ＡＢＥ＝60° だから
余弦定理より
ＡＥ²
＝３²＋（9/4）²－２・３・（9/4）cos60°
＝９＋（81/16）－２・３・（9/4）・（1/2）
＝（225/16）－（108/16）
＝117/16
ＡＥ＝３√13/４（ＡＥ＞０）
△ＯＤＥにおいて
ＯＤ＝１、ＯＥ＝3/4
∠ＤＯＥ＝60°だから
余弦定理より
ＤＥ²
＝１²＋（3/4）²－２・１・（3/4）cos60°
＝１＋（9/16）－２・１・（3/4）・（1/2）
＝（25/16）－（12/16）
＝13/16
ＤＥ＝√13/４（ＤＥ＞０）
△ＡＥＤにおいて
cos∠ＡＥＤ
＝（ＡＥ²＋ＤＥ²－ＡＤ²）/２・ＡＥ・ＤＥ
＝｛（3√13/4）²＋（√13/4）²－（√7）²｝/２・（3√13/4）・（√13/4）
＝（117＋13－112）/78
＝18/78
＝3/13
よって、
cos∠ＡＥＤ＝3/13
点Ｏから平面ＡＥＤに引いた垂線の長さ
👉底面となる△ＡＥＤの面積と四面体ＯＡＥＤの体積（3√2/16）から、高さについての方程式をつくる。
sin²∠ＡＥＤ＝１－cos²∠ＡＥＤより
sin²∠ＡＥＤ＝１－（9/169）
＝160/169
０°＜∠ＡＥＤ＜180°より
sin∠ＡＥＤ＝4√10/13
△ＡＥＤにおいて
ＡＥ＝3√13/4、ＤＥ＝√13/4だから
面積は
Ｓ＝（1/2）ＡＥ・ＤＥsin∠ＡＥＤ
＝（1/2）・（3√13/4）・（√13/4）・（4√10/13）
＝3√10/8
求める高さをｈとする
（1/3）×（3√10/8）×ｈ＝3√2/16
（√10/8）ｈ＝3√2/16
（2√10）ｈ＝3√2
ｈ＝3√5/10
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