相似高校入試対策10

たむかい学習教室
2月22日
読了時間: 7分

相似高校入試対策10

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試の相似の問題では、立体や円を利用した出題があります。相似な図形は互いに角度が等しいので、平行線の同位角や錯角、二等辺三角形の底角、同じ弧に対する円周角などに着目します。また、高さの等しい三角形を利用する出題もあります。

問題

下の図の四角形ＡＢＣＤは、平行四辺形である。辺ＡＢ、ＢＣの中点をそれぞれＥ、Ｆとし、点Ｅと点Ｆを結び、線分ＤＥと対角線ＡＣとの交点をＧとする。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＡＥＧと△ＣＤＧが相似になることを証明しなさい。

2）ＡＣ＝８cmのとき、線分ＥＦの長さを求めなさい。

3）平行四辺形ＡＢＣＤの面積が60cm²のとき、四角形ＢＣＧＥの面積は何cm²か、求めなさい。

1）

〔証明〕

△ＡＥＧと△ＣＤＧにおいて

ＡＥ//ＤＣより

平行線の錯角だから

∠ＡＥＧ＝∠ＣＤＧ　①

∠ＥＡＧ＝∠ＤＣＧ　②

①、②より

２組の角がそれぞれ等しいので

△ＡＥＧ∽△ＣＤＧ

2）

点Ｅ、Ｆは、辺ＡＢ、ＢＣの中点だから

中点連結定理より

ＥＦ＝（1/2）ＡＣ

よって、

ＥＦ＝（1/2）×８＝４cm

3）

△ＤＡＣ＝（1/2）▱ＡＢＣＤだから

△ＤＡＣ＝（1/2）×60＝30cm²

△ＡＥＧ∽△ＣＤＧより

ＡＥ：ＣＤ＝１：２だから

ＡＧ：ＣＧ＝１：２

△ＤＡＧと△ＤＣＧは高さが等しいから

底辺ＡＧと底辺ＣＧの比が面積比になる

よって、

△ＤＡＧ＝（1/3）×30＝10cm²

また、

ＥＧ：ＤＧ＝１：２

△ＥＡＧと△ＤＡＧは高さが等しいから

底辺ＥＧと底辺ＤＧの比が面積になる

よって

△ＥＡＧ：△ＤＡＧ＝１：２

△ＤＡＧ＝10cm²だから

△ＥＡＧ：10＝１：２

△ＥＡＧ＝５cm²

求める面積は、

△ＡＢＣ－△ＥＡＧで求められるから

△ＡＢＣ＝30cm²より

30－５＝25cm²

問題

図１は、∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ＝90°の三角錐ＡＢＣＤであり、点Ｅは、ＡＥ：ＥＢ＝３：２となる辺ＡＢ上の点である。あとの問いに答えなさい。

1）ＡＤ＝４cm、ＢＤ＝５cmのとき、辺ＡＢの長さを求めなさい。

2）図２は、図１の三角錐を、点Ｅを通り底面ＢＣＤに平行な平面で切り分けたときの小さい三角錐をＰ、もう一方の立体をＱとしたものである。このとき、三角錐Ｐの体積は立体Ｑの体積の何倍か、求めなさい。

1）

△ＡＢＤで∠ＡＤＢ＝90°だから

三平方の定理より

ＡＢ²＝ＡＤ²＋ＢＤ²

ＡＢ²＝４²＋５²＝41

ＡＢ＞０より

ＡＢ＝√41cm

2）

点Ｅを含む三角形と△ＢＣＤは平行だから

図１の三角錐とＰの三角錐は相似である。

ＡＥ：ＥＢ＝３：２より

ＡＥ：ＡＢ＝３：５

よって、

体積比は、３³：５³＝27：125

立体Ｑの体積比は、

125－27＝98だから

27÷98＝27/98倍

問題

下の図のように、正方形の紙ＡＢＣＤを、点Ａが辺ＢＣ上にくるように折った。線分ＥＦは折り目であり、点Ａ、Ｄが移った点をそれぞれＧ、Ｈとし、辺ＣＤと線分ＧＨとの交点をＩとする。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＥＢＧと△ＧＣＩが相似になることを証明しなさい。

2）ＡＢ＝18cm、ＥＢ＝８cm、ＢＧ＝６cmのとき、次のア、イに答えなさい。

ア

線分ＨＩの長さを求めなさい。

イ

四角形ＥＧＩＦの面積を求めなさい。

1）

〔証明〕

△ＥＢＧと△ＧＣＩにおいて

仮定より

∠ＥＢＧ＝∠ＧＣＩ　①

∠ＢＥＧ

＝180°－∠ＥＢＧ－∠ＢＧＥ　②

∠ＣＧＩ

＝180°－∠ＧＣＩ－∠ＢＧＥ　③

①、②、③より

∠ＢＥＧ＝∠ＣＧＩ　④

①、④より

２組の角がそれぞれ等しいので

△ＥＢＧ∽△ＧＣＩ

2）ア

△ＧＣＩと△ＦＨＩにおいて

∠ＦＨＩ＝∠ＢＡＤ＝90°

よって、

∠ＧＣＩ＝∠ＦＨＩ

対頂角は等しいから

∠ＣＩＧ＝∠ＨＩＦ

２組の角が等しいので

△ＧＣＩ∽△ＦＨＩ

△ＥＢＧ∽△ＧＣＩより

ＥＢ：ＥＧ＝ＧＣ：ＧＩ

ＥＧ＝ＡＥ＝18－８＝10cm、

ＧＣ＝18－６＝12cmだから

８：10＝12：ＧＩ

４：５＝12：ＧＩ

１：５＝３：ＧＩ

ＧＩ＝15cm

ＧＨ＝ＡＤ＝18ｃｍだから

ＨＩ＝18－15＝３cm

2）イ

△ＥＩＧ+△ＦＥＩとして求める。

△ＥＩＧの面積

∠ＥＧＩ＝90°、

ＧＩ＝15cm、ＥＧ＝10cmだから

（1/2）×15×10＝75cm²

△ＦＥＩの面積

ＣＩの長さは、

△ＥＢＧ∽△ＧＣＩより

ＥＢ：ＢＧ＝ＧＣ：ＣＩ

８：６＝12：ＣＩ

４：３＝12：ＣＩ

１：３＝３：ＣＩ

ＣＩ＝９cm

△ＧＣＩ∽△ＦＨＩより

ＧＩ：ＣＩ＝ＦＩ：ＨＩ

15：９＝ＦＩ：３

５：３＝ＦＩ：３

５：１＝ＦＩ：１

ＦＩ＝５cm

ＦＩを底辺とすると、高さは18cm

△ＦＥＩの面積は、

（1/2）×５×18＝45cm²

よって、

△ＥＩＧ+△ＦＥＩ

＝75＋45＝120cm²

四角形ＥＧＩＦの面積は、120cm²

2025 八戸工大一高入試

問題

下の図の四角形ＡＢＣＤは、半径５cmの円に内接しており、ＢＤは円の中心Ｏを通る。ＡＢ＝６cm、ＢＣ＝ＣＤ、ＡＣとＢＤの交点をＥとする。

1）ＡＤの長さを求めなさい。

2）∠ＢＡＣの大きさを求めなさい。

3）ＢＥ：ＥＤを最も簡単な整数の比で表しなさい。

4）△ＡＢＣの面積を求めなさい。

1）

直径ＢＤに対する円周角だから

∠ＢＡＤ＝90°

△ＡＢＤで三平方の定理より

ＡＤ²＝ＢＤ²－ＡＢ²

ＢＤ＝５×２＝10cmだから

ＡＤ²＝10²－６²＝64

ＡＤ＞０より

ＡＤ＝８cm

2）

ＢＣ＝ＣＤだから

∠ＣＤＢ＝∠ＣＢＤ

直径ＢＤに対する円周角だから

∠ＢＣＤ＝90°

△ＢＣＤにおいて

∠ＣＤＢ＝（180°－90°）÷２＝45°

Ｂ⌒Ｃに対する円周角だから

∠ＢＡＣ＝∠ＣＤＢ

よって、45°

3）

∠ＢＡＣ＝45°より

∠ＢＡＤ＝90°だから、∠ＤＡＣ＝45°

よって、

線分ＡＣは、∠ＢＡＤの二等分線である。

△ＡＢＤにおいて

角の二等分線の性質より

ＢＥ：ＥＤ＝ＡＢ：ＡＤだから

ＢＥ：ＥＤ＝６：８＝３：４

よって、３：４

4）

△ＡＢＤの面積は、

（1/2）×ＡＢ×ＡＤ

＝（1/2）×６×８＝24cm²

△ＡＢＥと△ＡＤＥにおいて

底辺比が面積比となるから

ＢＥ：ＥＤ＝３：４より

△ＡＢＥ：△ＡＤＥ＝３：４

よって、

△ＡＢＥの面積は、

△ＡＢＤ×（3/7）

＝24×（3/7）＝72/7cm²　①

△ＣＢＤにおいて

∠ＢＣＤ＝90°、ＢＣ＝ＣＤだから

直角二等辺三角形の辺の比より

ＢＣ＝ＣＤ＝５√２cm

△ＣＢＤの面積は、

（1/2）×ＢＣ×ＣＤ

＝（1/2）×（５√２）²＝25cm²

△ＣＢＥと△ＣＤＥにおいて

底辺比が面積比となるから

ＢＥ：ＥＤ＝３：４より

△ＣＢＥ：△ＣＤＥ＝３：４

よって、

△ＣＢＥの面積は、

△ＣＢＤ×（3/7）

＝25×（3/7）＝75/7cm²　②

よって、

求める面積は、①＋②より

（72/7）＋（75/7）＝21cm²

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塾生の声

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