空間図形体積と表面積

たむかい学習教室
2月25日
読了時間: 7分

空間図形体積と表面積

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

空間図形には柱や錐があり、錐の体積は柱の1/3、表面積は底面積と側面積の和になります。また、球の体積は（4/3）πr³、表面積は４πr²で求めます。

問題

下の図は、円錐とその展開図である。あとの問いに答えなさい。

1）線分ＡＢの長さを求めなさい。

2）円Ｏの円周の長さを求めなさい。

3）Ａ⌒Ｂの長さを求めなさい。

1）

半円の半径は、円錐の母線の長さだから

ＡＢ＝８×２＝16cm

2）

底面の半径は４cm

円周の長さを求める公式より

２π×４＝８πcm

3）

円Ｏの周の長さと同じだから、８πcm

問題

次の立体の底面積、側面積、表面積を求めなさい。ただし、円周率はπとする。

1）

底面積

円の面積の公式より

π×３²＝９πcm²

側面積

側面は長方形になる

縦は円柱の高さ、横は底面の円周に等しい。

円周の長さの公式より

２π×３＝６πcm

よって、

５×６π＝30πcm²

表面積

底面積２つ分と側面積の和だから

９π×２＋30π＝48πcm²

2）

正四角錐だから

底面は１辺４cmの正方形

底面積は、４²＝16cm²

側面は底辺４cm、高さ６cmの二等辺三角形が４つ

側面積は、

（1/2）×４×６×４＝48cm²

よって、表面積は、

16＋48＝64cm²

問題

下の半球の表面積を求めなさい。ただし、円周率はπとする。

球の表面積の半分と半径２cmの円の面積の和になる

球の表面積の公式より

４π×２²×（1/2）＝８πcm²

円の面積の公式より

π×２²＝４πcm²

よって、

８π＋４π＝12πcm²

問題

1）次の立体の体積を求めなさい。

2）体積が324πcm³で、底面の半径が９cmの円錐がある。この円錐の高さを求めなさい。

1）

錐の体積の公式より

（1/3）×（1/2）×６×５×８

＝40cm³

2）

求める高さをｘcmとする

（1/3）×π×９²×ｘ＝324π

27πｘ＝324π

ｘ＝12

よって、12cm

問題

下の図のように、１辺が４cmの立方体の一部を切り取ってできた立体の体積を求めなさい。

切り取ってできた立体は三角錐

底面を直角二等辺三角形とすると、

立方体の辺が高さになる。

よって、

（1/3）×（1/2）×４²×４

＝32/3cm³

問題

下の図のような∠Ｂ＝∠Ｃ＝90°の台形ＡＢＣＤがある。辺ＤＣを軸として回転させてできる立体の体積を求めなさい。

円柱の上半分は円錐でくり抜かれた立体

高さ４cmの円柱の体積から、

高さ２cmの円錐の体積をひいて求める。

π×３²×４－（1/3）×π×３²×２

＝36π－６π

＝30πcm³

問題

下の図は、円柱の展開図である。これについて、あとの問いに答えなさい。

1）側面積を求めなさい。

2）底面積（底面１つ分）を求めなさい。

3）表面積を求めなさい。

1）

側面は長方形

横は底面の円周の長さと同じだから

２π×４＝８πcm

よって、側面積は

８×８π＝64πcm²

2）

π×４²＝16πcm²

3）

側面積と底面積２つ分の和だから

64π＋16π×２＝96πcm²

問題

底面の半径が６cm、母線が18cmの円錐について、あとの問いに答えなさい。

1）側面になるおうぎ形の中心角を求めなさい。

2）側面積を求めなさい。

3）表面積を求めなさい。

1）

母線の長さと底面の半径が分かっているとき

中心角＝360°×（半径／母線）

で求めることができる。

360°×（6/18）＝120°

※別解

おうぎ形は半径18cmの円の一部

円周の長さは、２π×18＝36πcm

おうぎ形の弧の長さは、底面の円周と同じだから

２π×６＝12πcm

よって、

おうぎ形は、半径18cmの円全体の12π/36π＝1/3にあたる部分になる。

中心角も360°の1/3になるから

360°×（1/3）＝120°

2）

おうぎ形の半径と弧の長さが分かっているとき

面積＝（1/2）×半径×弧の長さ

で求めることができる。

（1/2）×18×12π＝108πcm²

※別解

半径18cmの円全体の1/3の面積だから

π×18²×（1/3）＝108πcm²

3）

底面積は、π×６²＝36πcm²だから

108π＋36π＝144πcm²

問題

下の図は円錐の展開図であり、側面となるおうぎ形ＯＡＢは半径がＯＡ＝６cmで、中心角が∠ＡＯＢ＝120°である。この円錐の表面積を求めなさい。

側面積は、

π×６²×（120°/360°）＝12πcm²

おうぎ形の弧の長さは、

２π×６×（1/3）＝４πcm

底面の円周も４πcmだから半径は、

４π÷２π＝２cm

よって、底面積は、

π×２²＝４πcm²

よって、表面積は、

12π＋４π＝16πcm²

問題

下の図のように、底面の半径が３cmの円錐を、頂点Ｏを固定して転がしたところ、ちょうど３回転してもとの位置にもどった。このとき、この円錐の表面積を求めなさい。

底面の円周３つ分が円Ｏの円周の長さになる

底面の円周３つ分の長さは、

２π×３×３＝18πcm

よって、円Ｏの半径は、

18π÷２π＝９cm

円錐の母線の長さになるから

円錐の側面積は、

（1/2）×９×２π×３＝27πcm²

底面積は、

π×３²＝９πcm²

よって、表面積は、

27π＋９π＝36πcm²

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