- たむかい学習教室
- 6月7日
- 読了時間: 8分
角度の計算
中学数学の角度の計算では、多角形の内角と外角の和、三角形の外角、平行線の同位角と錯角など、さまざまな性質をもとに角度を計算します。二等辺三角形や平行四辺形などの図形の性質も利用します。
問題
下の図で、∠ｘの大きさは何度ですか。
多角形の外角の和は360°
∠ｘの外角の大きさは
360°－（80°＋70°＋40°＋65°＋55°）
＝360°－310°
＝50°
よって、
∠ｘ＝180°－50°＝130°
問題
下の図は、直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨであり、辺ＣＧ上に点Ｐをとったものである。∠ＣＡＰ＝25°、∠ＥＰＧ＝78°のとき、∠ＡＰＥの大きさは何度ですか。
△ＡＣＰで
∠ＡＰＣ
＝180°－∠ＣＡＰ－∠ＡＣＰ
＝180°－25°－90°
＝65°
∠ＡＰＥ
＝180°－∠ＡＰＣ－∠ＥＰＧ
＝180°－65°－78°
＝37°
問題
下の図のひし形ＡＢＣＤで、∠ｘの大きさは何度ですか。
ＡＣとＢＤの交点をＰとする
対角線は垂直に交わるから
∠ＤＰＣ＝90°
∠ＤＣＰ
＝180°－∠ＤＰＣ－∠ＣＤＰ
＝180°－90°－40°
＝50°
△ＤＣＡはＤＡ＝ＤＣの二等辺三角形
底角は等しいから
∠ｘ＝∠ＤＣＰ
よって、∠ｘ＝50°
問題
下の図で、∠ｘの大きさを求めなさい。
△ＤＥＦと△ＤＡＣの外角は等しいから
ｘ＋60°＝∠ＤＡＣ＋∠ＤＣＡ
∠ＤＡＣ＋∠ＤＣＡ
＝180°－（40°＋33°＋25°）
＝180°－98°
＝82°
よって、
ｘ＋60°＝82°
ｘ＝22°
問題
下の図で、四角形ＡＢＣＤはひし形、四角形ＡＥＦＤは正方形である。∠ＣＦＥの大きさを求めなさい。
ＡＢＣＤはひし形だから
ＤＡ＝ＤＣ ①
ＡＥＦＤは正方形だから
ＤＡ＝ＤＦ ②
①、②より
ＤＣ＝ＤＦ
よって、△ＤＣＦは二等辺三角形
ひし形の対角は等しいから
∠ＡＤＣ＝∠Ｂ＝48°
∠ＣＤＦ
＝∠ＡＤＦ－∠ＡＤＣ
＝90°－48°
＝42°
二等辺三角形の底角は等しいから
∠ＤＦＣ＝（180°－42°）÷２＝69°
∠ＣＦＥ
＝∠ＤＦＥ－ＤＦＣ
＝90°－69°
＝21°
問題
下の図のように、長方形の紙ＡＢＣＤを、頂点Ｄが辺ＢＣ上の点Ｅにくるように折り曲げたときの折り目をＦＧとする。∠ＤＦＧ＝ａ°とするとき、次の角の大きさを、ａを使って表しなさい。
1）∠ＢＥＦ
2）∠ＣＥＧ
1）∠ＢＥＦ
ＡＢＣＤは長方形だから
ＡＤ//ＢＣ
平行線の錯角だから
∠ＢＥＦ＝∠ＤＦＥ ①
△ＦＤＧ≡△ＦＥＧだから
∠ＤＦＧ＝∠ＥＦＧ＝ａ°
よって、
∠ＤＦＥ
＝∠ＤＦＧ＋∠ＥＦＧ＝２ａ°
①より
∠ＢＥＦ＝２ａ°
2）∠ＣＥＧ
△ＦＤＧ≡△ＦＥＧだから
∠ＦＥＧ＝∠Ｄ＝90°
∠ＣＥＧ
＝180°－（∠ＢＥＦ＋∠ＦＥＧ）
＝180°－（２ａ°＋90°）
＝180°－２ａ°－90°
＝90°－２ａ°
問題
次の問いに答えなさい。
1）ひとつの内角が160°である正多角形は、正何角形か求めなさい。
2）内角の和が2700°になる多角形を求めなさい。
3）40角形の対角線の本数を求めなさい。
1）
正ｎ角形の内角の数はｎ個
ひとつが160°だから
内角の和は、160°×ｎ＝160ｎ°
ｎ角形の内角の和の公式より
180（ｎ－２）＝160ｎ
両辺÷20
９（ｎ－２）＝８ｎ
９ｎ－18＝８ｎ
ｎ＝18
よって、正十八角形
2）
ｎ角形の内角の和の公式より
180（ｎ－２）＝2700
両辺÷180
ｎ－２＝15
ｎ＝17
よって、十七角形
3）
ｎ角形の対角線の本数の公式より
ｎ（ｎ－３）
━━━━━━
２
40（40－３）
＝━━━━━━
２
＝20×37
＝740
よって、740本
ｎ（ｎ－３）
━━━━━━
２
（ｎ－３）
👉１つの頂点とその両隣の頂点の計３点には対角線が引けない
ｎ（ｎ－３）
👉ｎ個の頂点から引くことができる対角線の本数 ※ただし、同じ対角線を往復して数えた本数
ｎ（ｎ－３）÷２
👉ｎ（ｎ－３）は、同じ対角線を往復して数えた本数だから、同じ対角線は１本分として２で割って数える。
問題
下の図の五角形ＡＢＣＤＥは正五角形である。∠ｘの大きさを求めなさい。
正五角形の辺はそれぞれ等しい
△ＢＡＣはＢＡ＝ＢＣの二等辺三角形
∠Ｂ＝180×（５－２）÷５
＝108°
底角それぞれの大きさは
（180°－108°）÷２＝36°
よって、
∠ＢＡＣ＝36°
△ＢＡＣ≡△ＥＡＤだから
∠ＥＡＤ＝36°
よって、
∠ｘ＝108°－36°×２
＝36°
問題
下の図のように、長方形の紙を線分ＡＢを折り目として折り返したとき、色をつけた角の大きさを求めなさい。
折り返した図形だから
∠ＡＢＣ＝80°
ＡＤ//ＢＣより
∠ＡＢＣ＋∠ＤＡＢ＝180°だから
∠ＤＡＢ＝100°
折り返した図形だから
∠ＦＡＢ＝∠ＤＡＢ＝100°
平行線の錯角だから
∠ＥＡＢ＝∠ＡＢＣ＝80°
∠ＦＡＥ
＝∠ＦＡＢ－∠ＥＡＢ
＝100°－80°
＝20°
折り返した図形だから
∠Ｆ＝∠Ｃ＝90°
△ＡＥＦにおいて
∠ＡＥＦ
＝180°－∠ＦＡＥ－∠Ｆ
＝180°－20°－90°
＝70°
問題
下の図のように、点Ｏを中心とする円に、△ＡＢＣと△ＤＢＣが内接している。また、点ＯはＣＤ上にある。∠ＡＣＤ＝25°のとき、∠ｘの大きさを求めなさい。
直径ＤＣに対する円周角だから
∠ＤＢＣ＝90°
弧ＡＤに対する円周角だから
∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ＝25°
∠ｘ＝∠ＤＢＣ－∠ＡＢＤ
＝90°－25°
＝65°
別解
線分ＯＡを引く
△ＯＡＣは、ＯＡ＝ＯＣの二等辺三角形
∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ＝25°だから
∠ＡＯＣ
＝180°－25°×２
＝130°
∠ＡＢＣは弧ＡＣに対する円周角だから
∠ＡＢＣ＝（1/2）∠ＡＯＣ
※中心角の半分の大きさ
よって、
∠ＡＢＣ
＝（1/2）×130°
＝65°
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