- たむかい学習教室
- 7月21日
- 読了時間: 9分
連立方程式 速さに関する問題
当塾では。６月から「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。
連立方程式の「速さ」に関する問題では、「道のりの合計」と「時間の合計」で式をつくります。また、一次関数の学習にも速さに関する問題があり、連立方程式を利用する場合があります。
問題
Ａ町から14kmはなれたＢ町まで行くのに、Ａ町から峠までは時速３km、峠からＢ町までは時速５kmで歩き、全体で４時間かかった。Ａ町から峠まで、峠からＢ町までの道のりをそれぞれ求めなさい。
解き方１
文末にある通り
「道のり」をｘkm、ｙkmにする
Ａ町～峠をｘkm、峠～Ｂ町をｙkmとする
合わせて14kmだから
ｘ＋ｙ＝14 ①
ｘkmを時速３kmで進むから
Ａ町～峠にかかる時間は
ｘ÷３＝ｘ/３（時間）
ｙkmを時速５kmで進むから
峠～Ｂ町にかかる時間は
ｙ÷５＝ｙ/５（時間）
合わせて４時間だから
（ｘ/３）＋（ｙ/５）＝４ ②
②×15
５ｘ＋３ｙ＝60 ②’
①×５－②’
５ｘ＋５ｙ＝70
５ｘ＋３ｙ＝60
２ｙ＝10 ｙ＝５
①に代入
ｘ＋５＝14 ｘ＝９
よって、
Ａ町から峠まで ９km
峠からＢ町まで ５km
解き方２
「時間」をｘ時間、ｙ時間にする
Ａ町～峠をｘ時間、峠～Ｂ町をｙ時間とする
合わせて４時間だから
ｘ＋ｙ＝４ ①
時速３kmでｘ時間進むから
Ａ町～峠の道のりは
３×ｘ＝３ｘ（km）
時速５kmでｙ時間進むから
峠～Ｂ町の道のりは
５×ｙ＝５ｙ（km）
合わせて14kmだから
３ｘ＋５ｙ＝14 ②
②－①×３
３ｘ＋５ｙ＝14
３ｘ＋３ｙ＝12
２ｙ＝２ ｙ＝１
①に代入
ｘ＋１＝４ ｘ＝３
Ａ町～峠の道のりは
３ｘ＝３×３＝９km
峠～Ｂ町の道のりは
５ｙ＝５×１＝５km
★連立の速さの問題では、「道のりの合計」と「時間の合計」で式をつくる。
※速さを直接足すことはできない
問題
Ａさんは自宅から1.8kmはなれた駅まで行くのに、はじめは毎分70mの速さで歩き、途中から毎分150mの速さで走ったところ、全体で20分かかった。歩いた時間と走った時間をそれぞれ求めなさい。
解き方１
歩いた時間をｘ分、走った時間をｙ分とする
合わせて20分だから
ｘ＋ｙ＝20 ①
毎分70mでｘ分歩くから、その距離は
70×ｘ＝70ｘ（m）
毎分150mでｙ分走るから、その距離は
150×ｙ＝150ｙ（m）
合わせて1.8km＝1800mだから
70ｘ＋150ｙ＝1800 ②
②÷10
７ｘ＋15ｙ＝180 ②’
②’－①×７
７ｘ＋15ｙ＝180
７ｘ＋７ｙ＝140
８ｙ＝40 ｙ＝５
①に代入
ｘ＋５＝20 ｘ＝15
よって、
歩いた時間 15分
走った時間 ５分
解き方２
歩いた距離をｘm、走った距離をｙmとする
合わせて1800mだから
ｘ＋ｙ＝1800 ①
ｘmを毎分70mで歩くから、かかる時間は
ｘ÷70＝ｘ/70（分）
ｙmを毎分150mで走るから、かかる時間は
ｙ÷150＝ｙ/150（分）
合わせて20分だから
（ｘ/70）＋（ｙ/150）＝20 ②
②×1050
15ｘ＋７ｙ＝21000 ②’
②’－①×７
15ｘ＋７ｙ＝21000
７ｘ＋７ｙ＝12600
８ｘ＝8400 ｘ＝1050
①に代入
1050＋ｙ＝1800 ｙ＝750
歩いた時間は
ｘ/70＝1050/70＝15分
走った時間は
ｙ/150＝750/150＝５分
解き方３（連立を使わない）
毎分70mで20分歩き続けるとする
その距離は、70×20＝1400m
実際の距離との差は、
1800－1400m＝400m
これは走りに切り替えたことで生まれた差
速さで考えると
1分ごとに進む距離は150－70＝80m増える
よって、
不足の400mを埋めるために走ればよい時間は、
400÷80＝５分
歩く時間は、20－５＝15分
問題
ある池の周りに１周６kmの道がある。この道を、Ａさんは自転車でＢさんは徒歩で、同じところを出発して反対の方向にまわる。２人が同時に出発すると、ＡさんとＢさんは20分後に出会う。また、ＡさんがＢさんより24分おくれて出発すると、Ａさんは出発してから16分後にＢさんと出会う。Ａさん、Ｂさんそれぞれの速さは毎分何mか求めなさい。
Ａの速さを毎分ｘm、Ｂの速さを毎分ｙmとする
同時に出発のとき
Ａ、Ｂともに20分進むから
Ａが進む距離 ｘ×20＝20ｘ（m）
Ｂが進む距離 ｙ×20＝20ｙ（m）
合わせて６km＝6000mだから
20ｘ＋20ｙ＝6000 ①
時間差で出発のとき
Ａが進んだ時間 16分
Ｂが進んだ時間 16＋24＝40分
Ａが進む距離 ｘ×16＝16ｘ（m）
Ｂが進む距離 ｙ×40＝40ｙ（m）
合わせて6000mだから
16ｘ＋40ｙ＝6000 ②
①÷20
ｘ＋ｙ＝300 ①’
②÷８
２ｘ＋５ｙ＝750 ②’
②’－①’×２
２ｘ＋５ｙ＝750
２ｘ＋２ｙ＝600
３ｙ＝150 ｙ＝50
①’に代入
ｘ＋50＝300 ｘ＝250
よって、
Ａさん 毎分250m
Ｂさん 毎分50m
問題
ある日、ミクさんは、10時ちょうどに自宅を出て1200m先の花屋に、自転車に乗って毎分200mの速さで向かった。自宅を出てから800mの地点で友人に出会ったため、自転車を降りて友人と一緒に毎分80mの速さで５分間歩いたところ、花屋に到着した。友人と別れて花屋で数分間の買い物を終えた後、ふたたび自転車に乗って自宅まで毎分300mの速さで戻った。
下のグラフは、ミクさんが自宅から花屋まで移動し、買い物を終えるまでのようすについて、10時ちょうどに自宅を出てからの時間（分）と自宅からの距離（m）との関係を表したものである。あとの問いに答えなさい。
問題
1）次のア～ウにあてはまる数を求めなさい。
・ミクさんが友人に出会ったのはミクさんが自宅を出て〔ア〕分後である。
・ミクさんが花屋で買い物をした時間は〔イ〕分間である。
・ミクさんが自宅に戻った時刻は10時〔ウ〕分である。
2）ミクさんが自宅を出てからの時間をｘ分、自宅からの距離をｙmとするとき、ミクさんが花屋を出てから自宅に到着するまでについて、ｙをｘの式で表しなさい。
3）ミクさんの兄のコウさんは、ミクさんと同じ道を走って花屋に向かった。コウさんが10時10分に自宅を出て毎分150mの速さで走って花屋に向かったとすると、コウさんとミクさんがすれ違うのは自宅から何mの地点か、求めなさい。
1）ア
800mの道のりを毎分200mで進むから
800÷200＝４ ４分後
1）イ
同じ1200mの地点にいるのは
10時９分から10時15分まで
15－９＝６ ６分間
1）ウ
グラフから10時19分
2）
花屋を出たのは（15，1200）のとき
自宅に着いたのは（19，０）のとき
ｘの増加量 19－15＝４
ｙの増加量 ０－1200＝－1200
変化の割合 －1200＝４＝－300
ｙ＝－300ｘ＋ｂとする
（19，０）を通るから
０＝－5700＋ｂ ｂ＝5700
よって、
ｙ＝－300ｘ＋5700
※ｙ－ｑ＝ａ（ｘ－ｐ）を利用する
変化の割合 －300
（19，０）を通るから
ｙ－０＝－300（ｘ－19）
ｙ＝－300ｘ＋5700
👉ｂを使わずにスマートに求めることができる
3）
コウさんの直線の式
速さは毎分150mだから
ｙ＝150ｘ＋ｃとする
（10，０）を通るから
０＝1500＋ｃ ｃ＝－1500
よって、
ｙ＝150ｘ－1500 ①
ｙ＝－300ｘ＋5700との交点だから
150ｘ－1500＝－300ｘ＋5700
450ｘ＝7200
ｘ＝16
ｘ＝16を①に代入
ｙ＝2400－1500＝900
よって、900mの地点
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塾生の声
苦手が自信に。
受験で大きく伸びました！
この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。
数学を克服して
テストの得点は右肩上がり！
私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。
やり方が分かり
勉強の習慣がついた！
分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。
英語に自信がつき
入試で大幅アップ！
勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。
英語と数学は
これからもこの塾で！
苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。
この塾で本当に良かった！
通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！
理数への意識が変わり
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2026.7.21 連立方程式 速さに関する問題