関数高校入試対策21

たむかい学習教室
2月26日
読了時間: 7分

関数高校入試対策21

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

県立高入試間近になりました。本県では関数のグラフの出題が毎年あります。グラフの中にできる図形の面積や辺の長さを利用する出題が多く、軸と垂直または平行な直線を見出すこともポイントになります。

問題

図１で、①は関数ｙ＝ａｘ－12のグラフである。点Ａは①上の点で、座標が（９，６）である。点Ｂは、点Ａを、ｘ軸を対称の軸として対称移動した点である。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。

1）ａの値を求めなさい。

2）点Ｂの座標を求めなさい。

1）

ｙ＝ａｘ－12は（９，６）を通るから

６＝９ａ－12

ａ＝２

2）

Ａ（９，６）とｘ軸で対称だから

ｙ座標が異符号になる

よって、（９，－６）

図２は、図１に△ＡＢＣと△ＡＣＤをかき加えたものである。点Ｃは①とｙ軸との交点である。また、点Ｄはｘ軸上の点で、ｘ座標が負である。あとの問いに答えなさい。

3）点Ｃを通り、△ＡＢＣの面積を２等分する直線の傾きを求めなさい。

4）△ＡＣＤの面積が105cm²であるとき、点Ｄのｘ座標を求めなさい。

3）

線分ＡＢの中点を通ると

底辺と高さの等しい三角形ができる

点Ｃはｙ＝２ｘ－12の切片だから

求める直線の切片も－12

点ＡとＢはｘ軸で対称だから

中点の座標は、（９，０）

求める直線の傾きをｂとする

ｙ＝ｂｘ－12

（９，０）を通るから

０＝ｂ×９－12

ｂ＝4/3

よって、4/3

4）

直線①とｘ軸との交点をＥとする

△ＡＤＥ＋△ＣＤＥ＝105として求める

Ｄ（ｔ，０）とおく

Ｅは①上にありｙ＝０だから

０＝２ｘ－12　ｘ＝６

２つの三角形の底辺をＤＥとする

ＤＥ＝６－ｔ cm（ｘの値の差）

△ＡＤＥの高さは、Ａがｙ＝６だから

６－０＝６cm（ｘ軸がｙ＝０、ｙの値の差）

△ＡＤＥの面積は、

（1/2）×（６－ｔ）×６

＝18－３ｔ cm²

△ＣＤＥの高さは、Ｃがｙ＝－12だから

０－（－12）＝12

△ＣＤＥの面積は、

（1/2）×（６－ｔ）×12

＝36－６ｔ cm²

よって、

（18－３ｔ）＋（36－６ｔ）＝105

－９ｔ＝51

ｔ＝－17/3

よって、－17/3

問題

下の図で、①は関数ｙ＝（1/3）ｘ²、②は関数ｙ＝（－1/2）ｘ²のグラフである。２点Ａ、Ｂは②上の点でｘ座標がそれぞれ－４、２である。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。

1）①の関数ｙ＝（1/3）ｘ²について、ｘの変域が－３≦ｘ≦１のとき、ｙの変域を求めなさい。

2）直線ＡＢの式を求めなさい。

1）

グラフは上開き（下に凸）だから

ｘの絶対値が大きい方がｙは最大

ｘ＝－３のとき

ｙ＝（1/3）×（－３）²＝３

ｘ＝０のとき、ｙ＝０で最小

よって、０≦ｙ≦３

2）

Ａは②上にあり、ｘ＝－４だから

ｙ＝（－1/2）×（－４）²＝－８

Ｂは②上にあり、ｘ＝２だから

ｙ＝（－1/2）×２²＝－２

（－４，－８）と（２，－２）を通るから

ｘの増加量　２－（－４）＝６

ｙの増加量　－２－（－８）＝６

傾き　６/６＝１

切片の値をｂとする

ｙ＝ｘ＋ｂ

（２，－２）を通るから

－２＝２＋ｂ　ｂ＝－４

よって、ｙ＝ｘ－４

①上にｘ座標が正である点Ｐをとる。また、点Ｐを通り、ｘ軸と平行な直線をひいたとき、ｙ軸との交点をＣとする。点Ｐのｘ座標をｔとしたとき、あとの問いに答えなさい。

3）点Ｐのｙ座標をｔを用いて表しなさい。

4）ＯＣ＋ＣＰ＝18cmであるとき、点Ｐの座標を求めなさい。

3）

Ｐは①上にあり、ｘ＝ｔだから

ｙ＝（1/3）ｔ²

よって、（1/3）ｔ²

4）

Ｃのｙ座標は、Ｐと同じ（1/3）ｔ²

ＯＣ＝（1/3）ｔ²－０

　　＝（1/3）ｔ²

ＣＰ＝ｔ－０＝ｔ

よって、

（1/3）ｔ²＋ｔ＝18

ｔ²＋３ｔ－54＝０

（ｔ＋９）（ｔ－６）＝０

ｔ＞０より

ｔ＝６

Ｐ（ｔ、（1/3）ｔ²）としたから

（６，12）

問題

下の図のように、関数ｙ＝（1/2）ｘ²のグラフ上に２点Ａ、Ｂがあり、ｘ座標はそれぞれ－２、３である。また、座標平面上に点Ｃ（－１，－４）をとる。ＡＢ＝ＣＤ、ＡＣ＝ＢＤとなるように点Ｄをとるとき、あとの問いに答えなさい。

1）直線ＡＢの傾きを求めなさい。

2）点Ｄの座標を求めなさい。

3）ｙ軸上に点Ｐ（０，ｐ）をとる。△ＡＢＰの面積が四角形ＡＣＤＢの面積の半分となるとき、ｐの値を求めなさい。ただし、ｐ＜０とする。

1）

点Ａは

ｙ＝（1/2）ｘ²上にあり、ｘ＝－２だから

ｙ＝（1/2）×（－２）²＝２

点Ｂは

ｙ＝（1/2）ｘ²上にあり、ｘ＝３だから

ｙ＝（1/2）×３²＝9/2

（－２，２）と（３，9/2）を通るから

ｘの増加量　３－（－２）＝５

ｙの増加量　（9/2）－２＝5/2

よって、直線の傾きは、

5/2÷５＝1/2

2）

ＡＢ＝ＣＤ、ＡＣ＝ＢＤより

２組の対辺が等しいから

四角形ＡＣＤＢは平行四辺形である

ＡＢ//ＣＤだから

直線ＣＤの傾きは、1/2

切片の値をｂとする

ｙ＝（1/2）ｘ＋ｂ

Ｃ（－１，－４）を通るから

－４＝（1/2）×（－１）＋ｂ

ｂ＝－7/2

よって、直線ＣＤの式は、

ｙ＝（1/2）ｘ－（7/2）　①

直線ＡＣの傾きは、

（－２，２）と（－１，－４）を通るから

ｘの増加量　－１－（－２）＝１

ｙの増加量　－４－２＝－６

－６÷１＝－６

よって、直線ＢＤの傾きは、－６

切片の値をｃとする

ｙ＝－６ｘ＋ｃ

Ｂ（３，9/2）を通るから

9/2＝－６×３＋ｃ

ｃ＝45/2

よって、直線ＢＤの式は、

ｙ＝－６ｘ＋（45/2）　②

①、②の連立方程式より

（1/2）ｘ－（7/2）＝－６ｘ＋（45/2）

ｘ－７＝－12ｘ＋45

13ｘ＝52　ｘ＝４

①に代入

ｙ＝（1/2）×４－（7/2）＝－3/2

よって、求める座標は、

（４，－3/2）

3）

直線ＣＤとｙ軸との交点をＥとする

ＡＢ//ＣＤより

△ＡＢＥ＝△ＡＢＣ

△ＡＢＣ＝（1/2）▱ＡＢＣＤだから

△ＡＢＥ＝（1/2）▱ＡＢＣＤ

点Ｅの座標がＰとなるから

ｙ＝（1/2）ｘ－（7/2）の切片より

（０，－7/2）

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