関数高校入試対策22

たむかい学習教室
2月27日
読了時間: 10分

関数高校入試対策22

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

県立高入試間近となりました。本県では例年、関数の文章題の出題があります。長い文章から必要な情報を読み取って、それらを筋立てていく作業が必要になります。日ごろから文章をていねいに読み解く習慣も必要となります。

問題

ＡＣ＝８cm、ＢＣ＝12cm、∠Ｃ＝90°の直角三角形ＡＢＣがあり、点Ｐは、頂点Ｂを出発して、辺ＢＣ、ＣＡ上を毎秒１cmの速さで頂点Ａまで進む。図１は、点Ｐが辺ＢＣ上を進んでいるようすを、図２は、点Ｐが辺ＣＡ上を進んでいるようすをそれぞれ示したものである。また、図３は、点Ｐが頂点Ｂを出発してからｘ秒後の△ＡＢＰの面積をｙcm²として、点Ｐが頂点Ｂを出発してから頂点Ａに着くまでのｘとｙの関係を表したグラフである。あとの問いに答えなさい。ただし、点Ｐが頂点Ｂを出発したときと頂点Ａに着いたときは、ｙ＝０とする。

1）図３のグラフ中の（ア）にあてはまる数を求めなさい。

2）図３について、12≦ｘ≦20のときのグラフの式を求めなさい。ただし、式はかっこをはずした最も簡単な形で表すこと。また、変域は示さなくてよい。

3）点Ｐが頂点Ｂを出発してから頂点Ａに着くまでの間に、△ＡＢＰの面積が36cm²になることが２回ある。△ＡＢＰの面積が２回目に36cm²になるのは、１回目に36cm²になってから何秒後か、求めなさい。

1）

点Ｐは毎分１cm進むから、

ｘ＝12のとき、点Ｃにいる。

△ＡＢＣの面積になるから

（1/2）×12×８＝48

2）

（12，48）と（20，０）を通るから

ｘの増加量　20－12＝８

ｙの増加量　０－48＝－48

傾き　－48/８＝－６

切片の値をｂとする

ｙ＝－６ｘ＋ｂ

ｘ＝20、ｙ＝０を代入

０＝－６×20＋ｂ

ｂ＝120

よって、ｙ＝－６ｘ＋120

3）

０≦ｘ≦12のとき

（０，０）と（12，48）を通るから

ｙ＝（48/12）ｘ

ｙ＝４ｘ

ｙ＝36のときだから

４ｘ＝36　ｘ＝９

よって、１回目は出発から９秒後

12≦ｘ≦20のとき

ｙ＝－６ｘ＋120

ｙ＝36のときだから

36＝－６ｘ＋120

ｘ＝14

よって、２回目は出発から14秒後

以上から

14－９＝５秒後

問題

図１のような、直方体の形をした高さ24cmの空の水そうがあり、給水管と排水管がついている。排水管を閉じたまま給水管を開き、水そうが満水になるまで一定の割合で水を入れたところ、８分後に満水になった。すぐに給水管を閉じ、排水管を開いて一定の割合で水を抜くと、水そうに水を入れ始めてから14分後に水そうは再び空になった。図２は、水そうに水を入れ始めてからｘ分後の、水そうの底面から水面までの高さをｙcmとして、ｘとｙの関係を表したグラフである。あとの問いに答えなさい。ただし、水そうは水平に固定されており、厚さは考えないものとする。

1）水そうに水を入れ始めてから５分後の、水そうの底面から水面までの高さを求めなさい。

2）排水管を開いてから水そうが再び空になるまでについて、ｙをｘの式で表しなさい。ただし、変域は書かなくてよい。

3）水そうに水を入れ始めてから再び空になるまでの間に、水そうの底面から水面までの高さが８cmになるときが２回ある。２回目に高さが８cmになるのは、１回目に高さが８cmになってから何分何秒後か、求めなさい。

1）

８分間で高さ24cmになるから

１分間では、

24÷８＝３cmの高さになる

よって、５分後は

３cm×５＝15cm

2）

（８，24）と（14，０）を通るから

ｘの増加量　14－８＝６

ｙの増加量　０－24＝－24

傾き　－24/６＝－４

切片の値をｂとする

ｙ＝－４ｘ＋ｂ

ｘ＝14、ｙ＝０を代入

０＝－４×14＋ｂ

ｂ＝56

よって、ｙ＝－４ｘ＋56

3）

０≦ｘ≦８のとき

（０，０）と（８，24）を通るから

ｙ＝（24/8）ｘ

ｙ＝３ｘ

ｙ＝８のときだから

３ｘ＝８　ｘ＝8/3

よって、１回目は8/3秒後

８≦ｘ≦14のとき

ｙ＝－４ｘ＋56

ｙ＝８のときだから

８＝－４ｘ＋56

ｘ＝12

よって、２回目は12秒後

以上から

12－（8/3）＝28/3

９分と1/3分だから

（1/3）×60秒＝20秒

よって、９分20秒後

問題

Ａさんは、10時ちょうどに家を出発し、途中で図書館に立ち寄ってから駅に向かった。Ａさんは図書館に到着するまで分速60mで進み、図書館にいた時間は５分間だった。右の図は、Ａさんが家を出発してからの時間をｘ分、進んだ道のりをｙmとして、ｘとｙの関係をグラフに表したものである。

1）Ａさんが図書館を出発した時刻を求めなさい。

2）Ａさんが図書館を出発して、駅に到着するまでのｘとｙの関係を表すグラフの式を求めなさい。

3）兄は、Ａさんが家を出発してから20分後に自転車で家を出発し、同じ道を分速240mで通り、Ａさんを追いかけた。兄がＡさんに追いついた時刻を求めなさい。

1）

図書館まで分速60mで進むから、

かかる時間は、600÷60＝10分

よって、10時10分

2）

図書館を出るのは、

10＋５＝15分で、10時15分

（15，600）と（30，1800）を通るから

ｘの増加量　30－15＝15

ｙの増加量　1800－600＝1200

傾き　1200/15＝80

切片の値をｂとする

ｙ＝80ｘ＋ｂ

ｘ＝15、ｙ＝600を代入

600＝80×15＋ｂ

ｂ＝－600

よって、ｙ＝80ｘ－600

3）

兄のグラフの式は、

傾き240で、（20，０）を通るから

ｙ＝240ｘ＋ｃ

０＝240×20＋ｃ

ｃ＝－4800

よって、ｙ＝240ｘ－4800

Ａさんのグラフとの交点のｘの値だから

２式の連立方程式より

240ｘ－4800＝80ｘ－600

160ｘ＝4200

ｘ＝105/4

26分と1/4分だから

（1/4）×60秒＝15秒

よって、10時26分15秒

問題

姉は、午前10時に家を出発して、家から1600m離れた公園まで分速80mで進み、すぐに折り返して、分速100mで行きと同じ道を通って家まで戻った。弟は、姉と同時に家を出発して、家から公園まで姉と同じ道を通って一定の速さで進み、すぐに折り返して、行きとは異なる一定の速さで行きと同じ道を通って家まで戻った。このとき、公園に着いたのは弟のほうが早かったが、家に戻ったのは姉のほうが早かった。あとの問いに答えなさい。

1）姉が家に戻ったのは、午前10時何分か、求めなさい。

2）弟が公園に着いたとき、姉は公園まで残り320mの地点にいた。また、姉は公園から家に戻る途中で弟を追いぬいたが、それは家から1000mの地点だった。このとき、あとの問いに答えなさい。

ア　弟が家から公園まで進んだときの速さは分速何mか、求めなさい。

イ　弟が家に戻ったのは、午前10時何分何秒か、求めなさい。

1）

家から公園まで

1600mを分速80mで進むから

かかる時間は、1600÷80＝20分

公園から家まで

1600mを分速100mで進むから

かかる時間は、1600÷100＝16分

合計　20＋16＝36分だから

10時36分

2）ア

姉の家から公園までの式は

分速80ｍで進むから、ｙ＝80ｘ

公園の320m手前は、1600－320＝1280m

ｙ＝1280のときの時刻は

1280＝80ｘ

ｘ＝16だから、10時16分

弟は1600mを16分で進んだから

1600÷16＝100

よって、分速100m

2）イ

姉の公園から家まで（20≦ｘ≦36）の式は

分速100mだから傾き－100、

（36，０）を通るから

０＝－100×36＋ｂ

ｂ＝3600

よって、ｙ＝－100ｘ＋3600

ｙ＝1000のときは

1000＝－100ｘ＋3600

ｘ＝26

よって、10時26分に弟を追い抜く

弟の公園から家まで（16≦ｘ≦？）の式は

（16，1600）と（26，1000）を通るから

ｘの増加量　26－16＝10

ｙの増加量　1000－1600＝－600

傾き　－600/10＝－60

切片の値をｃとする

ｙ＝－60ｘ＋ｃ

ｘ＝16、ｙ＝1600を代入

1600＝－60×16＋ｃ

ｃ＝2560

よって、ｙ＝－60ｘ＋2560

ｙ＝０のときの時刻だから

０＝－60ｘ＋2560

ｘ＝128/3

42分と2/3分だから

（2/3）×60秒＝40秒

よって、10時42分40秒

問題

ある電力会社の電気料金プランには、ＡプランとＢプランの２種類あり、下の表は、それぞれのプランの料金設定をまとめたものである。なお、１か月の電気料金は、使用した電力量に関係なく支払う一定の基本料金と、使用した電力量に応じて支払う電力量料金の合計であり、電力量の単位はkWh（キロワット時）である。

1）１か月間の使用した電力量がｘkWhのときの電気料金をｙ円とすると、２つのプランのｘとｙの関係は、右上のグラフのようになる。Ａプランで40＜ｘ≦100のときと、Ｂプランでｘ＞80のとき、それぞれｙをｘの式で表しなさい。

2）Ａプランの電気料金がＢプランより高くなるのは、１か月間の使用した電力量が何kWhをこえるときか、求めなさい。

1）

０≦ｘ≦40のとき

Ａは基本料金800円で、

1kWhにつき10円ずつ上がるから

ｙ＝10ｘ＋800

ｘ＝40のときは、

ｙ＝10×40＋800＝1200

40＜ｘ≦100のとき

1kWhにつき20円ずつ上がるから

切片の値をｂとして

ｙ＝20ｘ＋ｂ

（40，1200）を通るから

1200＝20×40＋ｂ

ｂ＝400

よって、ｙ＝20ｘ＋400

０≦ｘ≦80のとき

Ｂの基本料金1600円で、

1kWhにつき10円ずつ上がるから

ｙ＝10ｘ＋1600

ｘ＝80のときは、

ｙ＝10×80＋1600＝2400

ｘ＞80のとき

1kWhにつき20円ずつ上がるから

切片の値をｃとして

ｙ＝20ｘ＋ｃ

（80，2400）を通るから

2400＝20×80＋ｃ

ｃ＝800

よって、ｙ＝20ｘ＋800

2）

ｘ＞100の２つのグラフの交点のｘの値になる

ｘ＞100のとき、Ａは

100kWhを超える分から30円ずつ上がるから

切片の値をｄとして

ｙ＝30ｘ＋ｄ

Ａのグラフで、ｘ＝100のとき

ｙ＝20ｘ＋400より

ｙ＝20×100＋400＝2400

（100，2400）を通るから

2400＝30×100＋ｄ

ｄ＝－600

よって、ｙ＝30ｘ－600

ｙ＝20ｘ＋800との連立方程式より

30ｘ－600＝20ｘ＋800

10ｘ＝1400

ｘ＝140

よって、140kWh

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今年度塾生35名（2026年1月現在）

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

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３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

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苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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