関数高校入試対策23

たむかい学習教室
6 日前
読了時間: 8分

関数高校入試対策23

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

県立高入試間近となりました。本県では例年、関数の文章題の出題があります。長い文章から必要な情報を読み取って、それらを筋立てていく作業が必要になります。日ごろから文章をていねいに読み解く習慣も必要となります。

問題

太郎さんは家から4500m離れた映画館まで行くのに、家を出発して一定の速さで走り、途中の公園で５分間休憩した後、同じ速さで再び映画館まで走った。下の図は、家を出発してからｘ分後の家からの道のりをｙmとして、太郎さんが家を出発してから映画館に着くまでのｘとｙの関係を表したグラフである。これについて、あとの問いに答えなさい。

1）太郎さんが家から3240mの地点を通過したのは、家を出発してから何分後か、求めなさい。

2）太郎さんの妹は、太郎さんが家を出発するのと同時に映画館を出発し、太郎さんと同じ道を通って、家まで一定の速さで歩いた。太郎さんが映画館に着くのと同時に妹は公園の前を通過した。途中で２人はすれちがったが、それは家から何mの地点か、求めなさい。

1）

ｘ≧15のときの直線の式を求める

速さは家から公園までと同じだから

1800m÷10分＝分速180m

よって、直線の傾きは180

切片の値をｂとする

ｙ＝180ｘ＋ｂ

（15，1800）を通るから

1800＝180×15＋ｂ

ｂ＝－900

よって、ｙ＝180ｘ－900

ｙ＝3240のときだから

3240＝180ｘ－900

180ｘ＝4140

ｘ＝23

よって、23分後

2）

太郎さんが映画館に着いたのは

ｙ＝4500のときだから

ｙ＝180ｘ－900（ｘ≧15）より

4500＝180ｘ－900

ｘ＝30

よって、

妹は映画館を出発して30分後に公園の前を通る

妹の直線の式は、切片が4500

傾きをａとして

ｙ＝ａｘ＋4500

（30，1800）を通るから

1800＝30ａ＋4500

30ａ＝2700

ａ＝－90

よって、ｙ＝－90ｘ＋4500

兄のｙ＝180ｘ－900（ｘ≧15）との連立方程式より

180ｘ－900＝－90ｘ＋4500

270ｘ＝5400

ｘ＝20

兄の式に代入し

ｙ＝180×20－900＝2700

よって、2700m

問題

図１で、①は関数ｙ＝ａｘ²（ａ＞０）のグラフである。３点Ａ、Ｂ、Ｃは①上にあり、線分ＡＢはｘ軸に平行で、点Ａのｘ座標は９、点Ｃの座標は（－３，３）である。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。

1）ａの値を求めなさい。

2）直線ＡＣの式を求めなさい。ただし、式はかっこをはずしたもっとも簡単な形で表すこと。

3）△ＡＢＣの面積を求めなさい。

1）

ｙ＝ａｘ²は（－３，３）を通るから

３＝ａ×（－３）²

ａ＝1/3

2）

点Ａは、

ｙ＝（1/3）ｘ²上にあり、ｘ＝９だから

ｙ＝（1/3）×９²＝27

（９，27）と（－３，３）を通るから

ｘの増加量　９－（－３）＝12

ｙの増加量　27－３＝24

傾き　24/12＝２

切片の値をｂとする

ｙ＝２ｘ＋ｂ

（－３，３）を代入

３＝２×（－３）＋ｂ

ｂ＝９

よって、ｙ＝２ｘ＋９

3）

底辺をＡＢ、

高さを点ＣからＡＢへの垂線ＣＨとする。

ＡとＢのｘの絶対値は同じだから

点Ｂはｘ＝－９

よって、

ＡＢ

＝９－（－９）＝18cm（ｘの値の差）

ＣＨ

＝27－３＝24cm（ｙの値の差）

よって、△ＡＢＣの面積は

（1/2）×ＡＢ×ＣＨ

＝（1/2）×18×24

＝216cm²

4）図２は、図１の①上に２点Ｐ、Ｑ、ｘ軸上にＲ、Ｓをとって、四角形ＰＱＲＳをつくったものである。四角形ＰＱＲＳが正方形になるとき、点Ｐの座標を求めなさい。ただし、点Ｐのｘ座標は正であるものとする。

4）

点Ｐのｘ座標をｔとする

ｙ＝（1/3）ｘ²上にあるから

Ｐのｙ座標は、（1/3）ｔ²

よって、

ＰＳ＝（1/3）ｔ²－０＝（1/3）ｔ²

点ＱはＰとｙ軸について対称で、絶対値が同じだから

Ｑのｘ座標は－ｔ

よって、

ＰＱ＝ｔ－（－ｔ）＝２ｔ

ＰＳ＝ＰＱだから

（1/3）ｔ²＝２ｔ

ｔ²－６ｔ＝０

ｔ（ｔ－６）＝０

ｔ＞０より、ｔ＝６

Ｐ（ｔ，（1/3）ｔ²）としたから

（６，12）

問題

次の図で、放物線①、直線②、直線③の式は、それぞれｙ＝（1/2）ｘ²、ｙ＝（1/2）ｘ＋１、ｙ＝－ｘ＋４である。点Ａは放物線①と直線②と直線③の交点である。点Ｂは放物線①と直線②の交点の１つで、ｘ座標は－１である。点Ｃは放物線①と直線③の交点の１つで、ｘ座標は－４である。あとの（1）は最も簡単な式で、（2）は指示にしたがって答えなさい。

1）点Ｃを通る直線ℓによって、△ＣＢＡが２つの三角形に分かれ、それらの面積が等しくなるときの直線ℓの式を求めなさい。

2）放物線①上に点Ｐをとり、点Ｐを通りｘ軸に垂直な直線をmとし、直線mと直線②との交点をＱ、直線mと直線③との交点をＲとする。

次の（ア）、（イ）をともにみたす点Ｐのｘ座標をｔとし、方程式をつくって点Ｐの座標を求めなさい。

（ア）点Ｐのｙ座標は、点Ｑ、Ｒそれぞれのｙ座標より大きい。

（イ）ＰＱ＝２ＱＲ

1）

ＡＢの中点をＭとすると、

直線ＣＭが△ＣＢＡを二等分する。

※底辺がＡＭ＝ＭＢで等しく、高さが同じになる

点Ｃは、

ｙ＝－ｘ＋４上にあり、ｘ＝－４だから

ｙ＝－（－４）＋４＝８

点Ａは、

ｙ＝（1/2）ｘ＋１とｙ＝－ｘ＋４の交点だから

（1/2）ｘ＋１＝－ｘ＋４

ｘ＋２＝－２ｘ＋８

３ｘ＝６　ｘ＝２

ｙ＝－ｘ＋４に代入

ｙ＝－２＋４＝２

点Ｂは、

ｙ＝（1/2）ｘ²上にあり、ｘ＝－１だから

ｙ＝（1/2）×（－１）²＝1/2

ＡＢの中点は

ｘ座標　｛２＋（－１）｝÷２＝1/2

ｙ座標　｛２＋（1/2）｝÷２＝5/4

Ｃ（－４，８）とＭ（1/2，5/4）を通るから

ｘの増加量　（1/2）－（－４）＝9/2

ｙの増加量　（5/4）－８＝－27/4

傾き　（－27/4）÷（9/2）＝－3/2

切片の値をｂとする

ｙ＝（－3/2）ｘ＋ｂ

（－４，８）を通るから

８＝（－3/2）×（－４）＋ｂ

ｂ＝２

よって、ｙ＝（－3/2）ｘ＋２

2）

点Ｐのｙ座標は、ＱとＲのｙ座標より大きいから

Ｐはｘ＞２またはｘ＜－４にとる

ｘ＞２、すなわちｔ＞２のとき

点Ｐは、

ｙ＝（1/2）ｘ²上にあり、ｘ＝ｔだから

ｙ＝（1/2）ｔ²

点Ｑは、

ｙ＝（1/2）ｘ＋１上にあり、ｘ＝ｔだから

ｙ＝（1/2）ｔ＋１

点Ｒは、

ｙ＝－ｘ＋４上にあり、ｘ＝ｔだから

ｙ＝－ｔ＋４

よって、

ＰＱ＝（1/2）ｔ²－｛（1/2）ｔ＋１｝

　　＝（1/2）ｔ²－（1/2）ｔ－１

ＱＲ＝（1/2）ｔ＋１－（－ｔ＋４）

　　＝（3/2）ｔ－３

ＰＱ＝２ＱＲだから

（1/2）ｔ²－（1/2）ｔ－１＝２｛（3/2）ｔ－３｝

ｔ²－７ｔ＋10＝０

（ｔ－２）（ｔ－５）＝０

ｔ＞２より

ｔ＝５

Ｐ（ｔ，（1/2）ｔ²）としたから

（５，25/2）

ｘ＜－４、すなわちｔ＜－４のとき

ＰＱ＝（1/2）ｔ²－（1/2）ｔ－１

点Ｒのｙ座標がＱより大きいから

ＱＲ＝－ｔ＋４－｛（1/2）ｔ＋１｝

　　＝（－3/2）ｔ＋３

ＰＱ＝２ＱＲだから

（1/2）ｔ²－（1/2）ｔ－１＝２｛（－3/2）ｔ＋３｝

ｔ²＋５ｔ－14＝０

（ｔ＋７）（ｔ－２）＝０

ｔ＜－４より

ｔ＝－７

Ｐ（ｔ，（1/2）ｔ²）としたから

（－７，49/2）

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塾生の声

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