集合順列組合せ

たむかい学習教室
5 日前
読了時間: 11分

集合順列組合せ

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

期末考査が終わり、１学期も終盤に入っています。高校生は、１学期の学習内容について補習を進めています。数学Ａでは、「集合」の学習から始まり、「順列 nＰr」や「組合せ nＣr」の場合の数について学習しました。

集合

問題

次の集合について、Ａ⊂Ｂであることを示せ。

Ａ＝｛４ｍ－１| ｍは整数｝

Ｂ＝｛２ｎ＋１| ｎは整数｝

〔証明〕

ｘ∈Ａとすると、ｘ＝４ｍ－１と表せる

ｘ＝２×２ｍ－１

　＝２（２ｍ－１）＋２－１

　＝２（２ｍ－１）＋１

２ｍ－１は整数なので、ｘ∈Ｂである

※

Ａ　２（２ｍ－１）＋１

Ｂ　２ｎ＋１

同じ「２×○＋１」の形にすると、

Ａでは、

○の２ｍ－１は奇数だから、Ａの要素は「奇数だけ２倍して＋１」

Ｂでは、

○のｎはすべての整数だから、Ｂの要素は「すべての整数を２倍して＋１」

以上のことが言える。

よって、ＡはＢに含まれるから、Ａ⊂Ｂ

問題

100以下の自然数のうち、次のような数は何個あるか。

1）３の倍数

2）４の倍数

3）３の倍数かつ４の倍数

4）３の倍数または４の倍数

３の倍数全体の集合をＡ、４の倍数全体の集合をＢとする。

1）

100÷3＝33.3...

1から33までの数に、3をかけた数となる。

Ａ＝｛3・1, 3・2, 3・3, ... ,3・33｝

ｎ（Ａ）＝33

よって、33個

2）

100÷4＝25

1から25までの数に、4をかけた数となる。

Ｂ＝｛4・1, 4・2, 4・3, ... ,4・25｝

ｎ（Ｂ）＝25

よって、25個

3）

ＡとＢどちらにも含まれる（Ａ∩Ｂ）から、12の倍数全体の集合。

100÷12＝8.33...

1から8までの数に、12をかけた数となる。

Ａ∩Ｂ＝｛12・1, 12・2, 12・3, ... , 12・8｝

ｎ（Ａ∩Ｂ）＝8

よって、８個

4）

ＡかＢのどちらかに含まれるが、重複する12の倍数を除いた集合。

ｎ（Ａ∪Ｂ）

＝ｎ（Ａ）＋ｎ（Ｂ）－ｎ（Ａ∩Ｂ）

＝33＋25－8

＝50

よって、50個

問題

１桁の自然数を全体集合Ｕとし、その２つの部分集合Ａ、Ｂについて、Ａ⁻∩Ｂ＝｛3, 9｝、Ａ∩Ｂ⁻＝｛2, 4, 8｝、Ａ⁻∩Ｂ⁻｛1, 5, 7｝が成り立つとき、集合Ａ、Ｂを求めよ。

Ｕ＝｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝

　　　　　━━━

Ａ⁻∩Ｂ⁻＝Ａ∪Ｂ

Ａ⁻∩Ｂ⁻＝｛1, 5, 7｝より、

Ａ∪Ｂ＝｛2, 3, 4, 6, 8, 9｝　①

Ａ⁻∩Ｂ＝｛3, 9｝より、

Ａは1,2,4,5,6,7,8を含むが、①より、

Ａ＝｛2, 4, 6, 8｝

Ａ∩Ｂ⁻＝｛2, 4, 8｝より、

Ｂは1,3,5,6,7,9を含むが、①より、

Ｂ＝｛3, 6, 9｝

順列

問題

母音ａ、ｉ、ｕ、ｅ、ｏと子音ｋ、ｓ、ｔの８個を１列に並べるとき、次のような並べ方は何通りあるか。

1）両端が母音である。

2）母音５個が続いて並ぶ。

1）

左端の母音　5通り

右端の母音　4通り（左端を除いた残り）

残り６文字の順列の総数（異なるものを全て並べる順列）

６！＝720通り

積の法則より、

5×4×720

＝14400通り

2）

母音５文字を１個と考える（⑤とする）

⑤ ｋｓｔ

異なる４個の順列の総数　４！

母音５個の中での順列の総数　５！

積の法則より、

４！×５！

＝24×120

＝2880通り

👉和の法則・積の法則

重複順列

問題

次の問いに答えよ。

1）３個の数字１，２，３を重複を許して使ってできる４桁の数は何個あるか。

2）１枚の硬貨を７回投げるとき、表と裏の出方は何通りあるか。

3）１個のさいころを３回投げるとき、目の出方は何通りあるか。

4）５人を１号室、２号室のどちらかの部屋に入れる方法は何通りあるか。ただし、空きの部屋があってもよいものとする。

5）集合｛1,2,3,4,5,6,7,8｝の部分集合は何個あるか。

重複順列　ｎのｒ乗

異なるｎ個のものから、重複を許してｒ個取り出して並べた順列の総数

1）

千の位　３通り

百の位　３通り

十の位　３通り

一の位　３通り

積の法則より、

３⁴＝81　81個

2）

１回目　２通り

２回目　２通り

・

７回目　２通り

積の法則より、

２⁷＝128　128通り

3）

１回目　６通り

２回目　６通り

３回目　６通り

積の法則より、

６³＝216　216通り

4）

１人目　２通り

２人目　２通り

３人目　２通り

４人目　２通り

５人目　２通り

※５人全員が同室に入る場合に、片方が空き部屋になる。

積の法則より、

２⁵＝32　32通り

5）

｛1｝について、

属するか、属さないかの２通り

他の数字にも同じことがいえるので、

２⁸＝256　256個

円順列

問題

議長、書記各１人、委員６人の計８人が円形のテーブルに着席するとき、次のような並び方は何通りあるか。

1）議長、書記が真正面に向かい合う。

2）議長、書記が隣り合わない。

1）

委員３人ずつをひとまとめにする（Ａ、Ｂ）

議長、書記、Ａ、Ｂ

議長の右手にＡ、左手にＢ

　　　議長

　　　 ↓

Ａ　　　　　　Ｂ

　　　書記

議長の右手にＢ、左手にＡ

　　　議長

　　　 ↓

Ｂ　　　　　　Ａ

　　　書記

議長と書記を入れかえる

議長の右手にＢ、左手にＡ

　　　書記

Ａ　　　　　　Ｂ

　　　 ↑

　　　議長

議長の右手にＡ、左手にＢ

　　　書記

Ｂ　　　　　　Ａ

　　　 ↑

　　　議長

議長と書記を入れかえても同じ配置になる

残り委員６人の並び方を求める

異なるｎ個すべてを並べる順列の総数　ｎ！

６！

＝6・5・4・3・2・1

＝720通り

2）

（すべての並び方）－（議長と書記が隣り合う場合）

異なるｎ個の円順列の総数は（ｎ－１）！

すべての並び方は、

（８－１）！＝７！

議長と書記が隣り合う場合

議長と書記をひとまとめにすると、

議長から見て書記が右にいる場合

（７－１）！＝６！

○　 ○

○　　　 ○

○　 ○

　 議　書

議長から見て書記が左にいる場合

（７－１）！＝６！

○　 ○

○　　　 ○

○　 ○

　 書　議

以上から

７！－６！×２

６！×７－６！×２

６！（７－２）

＝720×5

＝3600通り

問題

色の異なる７個の玉を糸でつないでブレスレットをつくる方法は何通りあるか。

裏返すと同じ配列になる数珠順列

（ｎ－１）！／２

（７－１）！／２

＝720／2

＝360通り

組合せ

問題

次の問いに答えよ。

1）10色の色鉛筆から３色の色鉛筆を選ぶとき、選び方は何通りあるか。

2）９種類の選択教科から４教科選ぶとき、選び方は何通りあるか。

3）14人のクラスから委員を２人選ぶ方法は何通りあるか。

4）正八角形の頂点を結んでできる三角形は何個できるか。

5）バスケットボールのチームが６チームある。どの２チームも互いに試合ができるようにすると、全部で何試合になるか。

組合せ　nＣr

異なるｎ個のものから異なるｒ個を選ぶ組合せの総数

1）

異なる10色から異なる３色を選ぶ

10Ｃ₃

＝10・9・8 / 3・2・1

＝120　120通り

2）

異なる９教科から異なる４教科を選ぶ

₉Ｃ₄

＝9・8・7・6 / 4・3・2・1

＝126　126通り

3）

異なる14人から異なる2人を選ぶ

14Ｃ₂

＝14・13 / 2・1

＝91　91通り

4）

異なる８つの点から異なる３つの点を選ぶ

₈Ｃ₃

＝8・7・6 / 3・2・1

＝56　56通り

異なる頂点を３つ選ぶと、三角形が１つできる。

逆に、３つの中で同じ点を選ぶと三角形はできない。

5）

異なる６チームから異なる２チームを選ぶ

₆Ｃ₂

＝6・5 / 2・1

＝15　15通り

異なる２チームを選ぶと、１試合成立する。

逆に、同じチームを２つ選ぶと試合は成立しない。

問題

大人８人、子ども４人の計12人から５人を選ぶとき、次のような選び方は何通りあるか。

1）すべての選び方

2）大人３人、子ども２人を選ぶ。

1）

計12人から５人選ぶ

12Ｃ₅

＝11・9・8

＝792　792通り

2）

大人８人から３人選ぶ

₈Ｃ₃

＝8・7

＝56通り

子ども４人から２人選ぶ

₄Ｃ₂

＝2・3

＝6通り

積の法則より、

56×6＝336　336通り

問題

Ａチーム６人、Ｂチーム４人の中から４人のメンバーを選ぶとき、次のような選び方は何通りあるか。

1）すべての選び方

2）Ａチーム、Ｂチームともに２人ずつ選ぶ

3）Ｂチームから少なくとも１人選ばれる

4）特定の２人ａ、ｂがともに選ばれる

5）特定の２人ａ、ｂについて、ａが選ばれるがｂは選ばれない

1）

計10人から４人を選ぶ

10Ｃ₄

＝10・3・7

＝210　210通り

2）

Ａチーム６人から２人選ぶ

₆Ｃ₂

＝3・5

＝15通り

Ｂチーム４人から２人選ぶ

₄Ｃ₂

＝2・3

＝6通り

積の法則より、

15×6＝90　90通り

3）

（全体）－（Ｂから選ばれない場合）

※全体－A全員が選ばれる

10Ｃ₄－₆Ｃ₄

＝10Ｃ₄－₆Ｃ₂

＝210－15

＝195　195通り

別解

Ｂチームから４人

₄Ｃ₄＝1

Ｂから３人、Ａから１人

₄Ｃ₃×₆Ｃ₁＝24

Ｂから２人、Ａから２人

₄Ｃ₂×₆Ｃ₂＝90

Ｂから１人、Ａから３人

₄Ｃ₁×₆Ｃ₃＝80

和の法則より、

＝1＋24＋90＋80

＝195　195通り

4）

特定のａ、ｂ以外に２人選ぶ必要がある

残り８人から２人選ぶ

₈Ｃ₂＝28　28通り

5）

特定のａ以外に、ｂを除いて３人選ぶ必要がある

ｂを除いた８人から３人選ぶ

₈Ｃ₃＝56　56通り

問題

下の図のような道のある町で、ＰからＱまで遠回りをしないで行くのに、次の場合の道順の総数を求めよ。

1）Ｒを通って行く。

2）✖印の箇所は通らないで行く。

3）Ｒを通り、✖印の箇所は通らないで行く。

1）

ＰからＲまで

縦に合計２、横に合計２移動する組合せ

₄Ｃ₂

＝4・3 / 2・1

＝６通り

ＲからＱまで

縦に合計３、横に合計４移動する組合せ

₇Ｃ₃

＝7・6・5 / 3・2・1

＝35通り

積の法則より、

６×35＝210　210通り

2）

（全ての行き方）－（ｘを通る行き方）で求める

ＰからＱまですべての行き方

縦に合計５、横に合計６移動する組合せ

11Ｃ₅

＝11・10・9・8・7 / 5・4・3・2・1

＝462通り

ｘを通る行き方

①

Ｐからｘの左側の点（交差点）まで

縦に合計２、横に合計３

₅Ｃ₂

＝5・4 / 2・1

＝10通り

②

ｘの左側から右側の点まで　1通り

③

ｘの右側の点からＱまで

縦に合計３、横に合計２

₅Ｃ₂＝10通り

ｘを通るのは、①かつ②かつ③の行き方だから

10×1×10＝100通り

以上から、

462－100＝362　362通り

3）

（Ｒを通るすべての行き方）－（Ｒを通りｘを通る行き方）で求める

1）より、Ｒを通るすべての行き方は、210通り

Ｒを通りｘを通る行き方

①

ＰからＲまで

₄Ｃ₂＝６通り

②

Ｒからｘの右側の点まで　1通り

③

ｘの右側の点からＱまで

₅Ｃ₂＝10通り

Ｒを通りｘを通るのは、①かつ②かつ③の行き方だから

6×1×10＝60通り

以上から、

210－60＝150　150通り

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