順列の練習問題 高校数学

高校数学の「順列」では、異なるものをランダムに並べる場合の数を「Ｐ」の式を使って求めます。異なるものからいくつか選ぶときは「nＰr」、異なるものをすべて選ぶときは「！階乗」を使います。

問題

次のものの総数を求めよ。

1）５個の文字ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅからなる異なる３個を選んで１列に並べるときの並べ方

2）ｔｒｉａｎｇｌｅの８文字すべてを１列に並べるときの並べ方

1）

異なる５個から３個をランダムに並べる

₅Ｐ₃

＝５×４×３

＝60 通り

2）

異なる８個から８個をランダムに並べる

₈Ｐ₈

＝８！

＝８×７×６×５×４×３×２×１

＝40320 通り

問題

次の問いに答えよ。

1）25人の生徒の中から、兼任は認めないで、議長、副議長、書記を１人選ぶとき、選び方は何通りあるか。

2）番号のついた７つの座席に５人が座る方法は何通りあるか。

1）

25人から3人をランダムに並べる

25Ｐ₃

＝25×24×23

＝13800 通り

2）

１番～７番の座席から５個を選んで、その５個をランダムに並べることと同じ。

₇Ｐ₅

＝７×６×５×４×３

＝2520 通り

※座り方

１人目　７通り　👉残席６

２人目　６通り　👉残席５

３人目　５通り　👉残席４

４人目　４通り　👉残席３

５人目　３通り　👉残席２

積の法則「～かつ...」だから

７通り×６×５×４×３

＝2520 通り

問題

次の問いに答えよ。

1）異なる８個の玉を机の上で円形に並べるとき、並べ方は何通りあるか。

2）９か国の首相が円卓会議を行う。着席の方法は何通りあるか。

1）

１個を固定、残り７個をランダムに並べる

（８－１）！

＝７・６・５・４・３・２・１

＝5040 通り

2）

１か国を固定、残り８か国をランダムに並べる

（９－１）！

＝８・７・６・５・４・３・２・１

＝40320 通り

問題

次の問いに答えよ。

1）４種類の数字１，２，３，４を重複を許して並べて、３桁の整数を作るとき、何個の整数が作れるか。

2）５人が１回じゃんけんをするとき、手の出し方は何通りあるか。

1）

百の位　４通り

十の位　４通り

一の位　４通り

３つの位それぞれに４通り

４・４・４

＝４³

＝64 個

※積の法則「～かつ...」

2）

Ａさん　３通り

Ｂさん　３通り

Ｃさん　３通り

Ｄさん　３通り

Ｅさん　３通り

５人それぞれに３通り

３・３・３・３・３

＝３⁵

＝243 通り

問題

大人３人と子ども５人が１列に並ぶとき、次のような並び方は何通りあるか。

1）大人３人が続いて並ぶ。

2）両端が子どもである。

3）少なくとも一端に大人がくる。

4）大人３人が続いて並び、子ども５人も続いて並ぶ。

5）どの大人も隣り合わない。

1）大人３人が続いて並ぶ。

大人　　Ａ、Ｂ、Ｃ

子ども　①、②、③、④、⑤

Ａ，Ｂ，Ｃをカタマリ（△）で表すと

△　①　②　③　④　⑤

①　△　②　③　④　⑤

①　②　△　③　④　⑤

①　②　③　△　④　⑤

①　②　③　④　△　⑤

①　②　③　④　⑤　△

・カタマリが６か所に入る

・子ども５人がランダムに並ぶ

・カタマリの中で大人３人がランダムに並ぶ

以上から

６×５！×３！

＝６・５・４・３・２・１・３・２・１

＝4320 通り

2）両端が子どもである。

子ども５人のうち２人が、両端にランダムに並ぶ

👉₅Ｐ₂

残り３人と大人３人が中でランダムに並ぶ

👉６！

₅Ｐ₂×６！

＝５・４・６・５・４・３・２・１

＝14400 通り

3）少なくとも一端に大人がくる。

全ての並び方から、両端に子どもがくる並び方を引く。

全ての並び方

８！＝40320 通り

両端に子どもがくる

2）より、14400 通り

よって、

40320－14400

＝25920 通り

4）大人３人が続いて並び、子ども５人も続いて並ぶ。

ＡＢＣ①②③④⑤

①②③④⑤ＡＢＣ

前半が大人、後半が子ども

前半が子ども、後半が大人

👉２通り

大人の中で３人がランダムに並ぶ

👉３！

子ども中で５人がランダムに並ぶ

👉５！

２×３！×５！

＝２・３・２・１・５・４・３・２・１

＝1440 通り

5）どの大人も隣り合わない。

□子□子□子□子□子□

子どもを５か所に並べると、大人が入るすき間は６か所

６か所に、大人３人がランダムに並ぶ

👉₆Ｐ₃

子ども５人がランダムに並ぶ

👉５！

₆Ｐ₃×５！

＝６・５・４・５・４・３・２・１

＝14400 通り

問題

ＳＨＩＫＥＮの６文字をすべて使ってできる順列を、ＥＨＩＫＮＳを１番目として、辞書式に並べるとき、次の問いに答えよ。

1）140番目の文字列を求めよ。

2）ＳＨＩＫＥＮは何番目の文字列か。

1）

ＥＨＩＫＮＳ　１番目

Ｅ□□□□□

残り５個がランダムに並ぶ

👉５！＝120 通り

ＨＥＩＫＮＳ　121番目

Ｈ□□□□□

残り５個がランダムに並ぶ

👉５！＝120 通り

ＨＥ□□□□

残り４個がランダムに並ぶ

👉４！＝24通り

ＨＥから始まるのは121番目から144番目

ＨＥＩ□□□

残り３個がランダムに並ぶ

👉３！＝６通り

ＨＥＩから始まるのは121番目から126番目

ＨＥＫ□□□

👉３！＝６通り

ＨＥＫから始まるのは127番目から132番目

ＨＥＮ□□□

👉３！＝６通り

ＨＥＮから始まるのは133番目から138番目

139番目　ＨＥＳＩＫＮ

140番目　ＨＥＳＩＮＫ

2）

Ｓ以外の５文字が頭になる個数

Ｅ□□□□□　５！＝120個

他のＨ，Ｉ，Ｋ，Ｎも同じ

120×５＝600 個

よって、

6011番目からＳが頭文字になる

ＳＥ□□□□　のとき

残り４個がランダムに並ぶ

👉４！＝24通り

ＳＥから始まるのは601番目から624番目

ＳＨから始まるのは、625番目から

ＳＨＥ□□□　のとき

残り３個がランダムに並ぶ

👉３！＝６通り

ＳＨＥから始まるのは625番目から630番目

ＳＨＩから始まるのは、631番目から

ＳＨＩＥ□□　のとき

残り２個がランダムに並ぶ

👉２！＝２通り

ＳＨＩＥから始まるのは631番目から632番目

ＳＨＩＫから始まるのは、633番目から

よって、

633番目　ＳＨＩＫＥＮ

634番目　ＳＨＩＫＮＥ・・・だから

633番目

問題

５個の数字１，２，３，４，５のうちの異なる３個を並べて、３桁の整数を作るとき、次のような整数は何個作れるか。

1）５の倍数

2）奇数

3）偶数

4）300より大きい数

1）

一の位が必ず「５」

残り４個のうち２個をランダムに並べる

₄Ｐ₂

＝４・３

＝12 個

2）

一の位が「１」「３」「５」

「１」のとき

残り４個のうち２個をランダムに並べる

👉₄Ｐ₂

「３」「５」のときと合わせて３通り

₄Ｐ₂×３

＝12×３

＝36 個

3）

一の位が「２」「４」

「２」のとき

残り４個のうち２個をランダムに並べる

👉₄Ｐ₂

「４」のときと合わせて２通り

₄Ｐ₂×２

＝12×２

＝24 個

4）

百の位が「３」「４」「５」

「３」のとき

残り４個のうち２個をランダムに並べる

👉₄Ｐ₂

「４」「５」のときと合わせて３通り

₄Ｐ₂×３

＝12×３

＝36 個

問題

６個の数字０，１，２，３，４，５のうちの異なる５個を並べて、５桁の整数を作るとき、次のような整数は何個作れるか。

1）５桁の整数

2）５桁の奇数

3）５桁の偶数

1）

万の位は

「１」「２」「３」「４」「５」

「１」のとき

残り５個のうち４個をランダムに並べる

👉₅Ｐ₄

「２」「３」「４」「５」のときと合わせて５通り

₅Ｐ₄×５

＝５・４・３・２・１・５

＝600 個

2）

一の位は「１」「３」「５」　３通り

万の位は

「０」と一の位で選んだ数以外の４通り

千・百・十の位は

残り４個のうち３個をランダムに並べる

👉₄Ｐ₃

よって、

３×４×₄Ｐ₃

＝３・４・４・３・２

＝288 個

3）

５桁の整数－５桁の奇数で求める

600－288

＝312 個

問題

５個の数字０，１，２，３，４のうちの異なる３個を並べて、３桁の整数を作る。

1）３の倍数は何個作れるか。

2）小さい方から順に並べると、42番目の数は何か。

1）

３の倍数

👉３つの位の数を足すと３の倍数になる

足すと３の倍数になる組合わせ

０＋１＋２＝３

０＋２＋４＝６

１＋２＋３＝６

２＋３＋４＝９

「０」「１」「２」を並べるとき

百の位は「１」「２」

「１」のとき

残りの２つを十と一の位にランダムに並べる

👉₂Ｐ₂

「２」のときも同じ

👉₂Ｐ₂×２　①

「０」「２」「４」を並べるとき

百の位は「２」「４」

「２」のとき

残りの２つを十と一の位にランダムに並べる

👉₂Ｐ₂

「４」のときも同じ

👉₂Ｐ₂×２　②

「１」「２」「３」を並べるとき

異なる３個をランダムに並べる

👉３！　③

「２」「３」「４」を並べるとき

異なる３個をランダムに並べる

👉３！　④

①＋②＋③＋④より

₂Ｐ₂×２＋₂Ｐ₂×２＋３！＋３！

＝４＋４＋６＋６

＝20 個

2）

百の位は、４通り

百の位が「１」のとき

残り４個から２個をランダムに並べる

👉₄Ｐ₂＝12 個

百の位が「２」のときも12個

百の位が「３」のときも12個

よって、

37番目から百の位が「４」

37番目　401

38番目　402

39番目　403

404は作れない（異なる３個）

40番目　410

411は作れない（異なる３個）

41番目　412

42番目　413

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八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学

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八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中

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塾生の声

苦手が自信に。

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　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。

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英語と数学は

これからもこの塾で！

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　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。

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2026.6.2 順列の練習問題 高校数学

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