順列高校数学

たむかい学習教室
6月16日
読了時間: 12分

更新日：6月21日

順列高校数学

　当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

　高校数学では、場合の数の単元に入っています。順列は、「異なるｎ個のものからｒ個を選んで並べる」ことで、その場合の数は、「nＰr」や「！（階乗）」を使って求めます。※Ｐ：Permutation

順列の総数

異なるｎ個のものから、異なるｒ個を取り出して並べる

nＰr（ただし、ｒ≦ｎ）

nＰr

＝ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）...（ｎ－ｒ＋１）

異なるｎ個のものすべてを並べる

nＰn＝ｎ！（ｎの階乗）

ｎ！

＝ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）...・３・２・１

円順列

異なるｎ個のものの円順列（円形に並べる）

nＰn

━━ ＝（ｎ－１）！

ｎ

重複順列

異なるｎ種類のものから重複を許してｒ個取り出して並べる

ｎのｒ乗

問題

次のものの総数を求めよ。

1）５個の文字ａ,ｂ,ｃ,ｄ,ｅから異なる３個を選んで、１列に並べるときの並べ方

2）ｔｒｉａｎｇｌｅの８文字すべてを１列に並べるときの並べ方

1）

₅Ｐ₃

＝5・4・3

＝60　60通り

2）

₈Ｐ₈

＝８！

＝8・7・6・5・4・3・2・1

＝40320　40320通り

問題

1）25人の生徒の中から、兼任は認めないで、議長、副議長、書記を各１人選ぶとき、選び方は何通りあるか。

2）番号のついた７つの座席に５人が座る方法は何通りあるか。

1）

25Ｐ₃

＝25・24・23

＝13800　13800通り

2）

₇Ｐ₅

＝7・6・5・4・3

＝2520　2520通り

問題

1）異なる８個の玉を机の上で円形に並べるとき、並べ方は何通りあるか。

2）９か国の首相が円卓会議を行う。着席の方法は何通りあるか。

1）

（８－１）！

＝７！

＝5040　5040通り

2）

（９－１）！

＝８！

＝40320　40320通り

問題

1）４種類の数字１，２，３，４を重複を許して並べて、３桁の整数を作るとき、何個の整数が作れるか。

2）５人が１回じゃんけんをするとき、手の出し方は何通りあるか。

1）

４³

＝64　64個

2）

３⁵

＝243　243通り

問題

大人３人と子ども５人が１列に並ぶとき、次のような並び方は何通りあるか。

1）大人が３人続いて並ぶ

2）両端が子どもである

3）少なくとも一端に大人がくる

4）大人３人が続いて並び、子ども５人も続いて並ぶ

5）どの大人も隣り合わない

1）

大人３人をひとまとめにする（③）

③子子子子子

子③子子子子

子子③子子子 ...

並び方は、６！通り

大人３人の中では、

ＡＢＣ

ＡＣＢ

ＢＡＣ ...

並び方は、３！通り

積の法則より、

６！×３！

＝（6・5・4・3・2・1）×（3・2・1）

＝720×6

＝4320　4320通り

2）

子ども５人から２人を選ぶから

₅Ｐ₂ 通り

間の６人の並び方は、６！通り

積の法則より、

₅Ｐ₂×６！

＝（5・4）×720

＝14400　14400通り

3）

大人が少なくとも一端

→両端が子どもではない

→（全体）－（両端が子ども）

８人すべての並び方は、８！通り

両端に子どもがくる並び方は、₅Ｐ₂通り

間６人の並び方は、６！通り

８！－₅Ｐ₂×６！

＝40320－20×720

＝25920　25920通り

4）

大人３人の中での並び方は、３！通り

同じく子ども５人の中では、５！通り

３！×５！

＝6×120

＝720

大人が左側で子どもが右側、その逆の場合もあるから、

720×２

＝1440　1440通り

5）

子どもを◆とすると、大人が◌の６か所に入る場合が考えられる。

◌◆◌◆◌◆◌◆◌◆◌

◌６か所のうち、３か所に大人が入る並び方は、₆Ｐ₃通り

◆５か所に入る子どもの並び方は、５！通り

₆Ｐ₃×５！

＝（6・5・4）×120

＝120²

＝14400　14400通り

問題

ＳＨＩＫＥＮの６文字をすべて使ってできる順列を、ＥＨＩＫＮＳを１番目として、辞書式に並べるとき、次の問いに答えよ。

1）140番目の文字列を求めよ。

2）ＳＨＩＫＥＮは何番目の文字列か。

1）

ＥＨＩＫＮＳ

Ｅ〇〇〇〇〇の並び方は、５！＝120通り

121番目からは、ＨＥ〇〇〇〇

ただし、４！＝24通りで140を超えるので、ＨＥＩ〇〇〇から考える。

ＨＥＩ〇〇〇の並び方は、３！＝６通り

127番目からは、ＨＥＫ〇〇〇

ＨＥＫ〇〇〇の並び方は、６通り

133番目からは、ＨＥＮ〇〇〇

ＨＥＮ〇〇〇の並び方は、６通り

139番目は、ＨＥＳＩＫＮ

よって、140番目はＨＥＳＩＮＫ

2）

ＳＨＩＫＥＮより前にある順列

Ｅ〇〇〇〇〇

Ｈ〇〇〇〇〇

Ｉ〇〇〇〇〇

Ｋ〇〇〇〇〇

Ｎ〇〇〇〇〇

５！×５

＝120×５

＝600通り

ＳＥ〇〇〇〇　４！通り

ＳＨＥ〇〇〇　３！

ＳＨＩＥ〇〇　２！

この次が、ＳＨＩＫＥＮだから

600＋４！＋３！＋２！＋１

＝600＋24＋６＋２＋１

＝633　633番目

問題

５個の数字１，２，３，４，５のうちの異なる３個を並べて、３桁の整数を作るとき、次のような整数は何個作れるか。

1）５の倍数

2）奇数

3）偶数

4）300より大きい数

1）

一の位に５がくるのは１通り

他の４個から２個取り出すので、₄Ｐ₂通り

１×₄Ｐ₂

＝１×４・３

＝12　12個

2）

一の位に１，３，５がくるから３通り

他の４個から２個取り出すので、₄Ｐ₂通り

３×₄Ｐ₂

＝３×12

＝36　36個

3）

一の位に２，４がくるから２通り

他の４個から２個取り出すので、₄Ｐ₂通り

２×₄Ｐ₂

＝２×12

＝24　24個

4）

百の位に３，４，５がくるから３通り

他の４個から２個取り出すので、₄Ｐ₂通り

３×₄Ｐ₂

＝３×12

＝36　36個

問題

６個の数字０，１，２，３，４，５のうちの異なる５個を並べて、５桁の整数を作るとき、次のような整数は何個作れるか。

1）５桁の整数

2）５桁の奇数

3）５桁の偶数

1）

一万の位に１～５がくるから５通り

他の５個から４個取り出すので、₅Ｐ₄通り

５×₅Ｐ₄

＝５×120

＝600個　600個

2）

一の位は１，３，５がくるから３通り

一万の位は、０と一の位で選んだ数以外だから４通り

間の位は、残った４個から３個を取り出すので、₄Ｐ₃通り

３×４×₄Ｐ₃

＝12×24

＝288　288個

3）

全体の個数－奇数だから

600－288

＝312　312個

問題

５個の数字０，１，２，３，４のうちの異なる３個を並べて、３桁の整数を作る。

1）３の倍数は何個作れるか

2）小さい方から順に並べると、42番目の数は何か。

1）

３つの位の数の和が３の倍数になる

０と１と２　①

０と２と４　②

１と２と３　③

２と３と４　④

①の場合

百の位にくる数は１と２の２通り

残りの２個から２個取り出すので、２！通り

２×２！＝４通り

②の場合

①と同じ求め方だから、４通り

③の場合

百の位にくる数は１と２と３の３通り

残りの２個から２個取り出すので、２！通り

３×２！＝６通り

④の場合

③と同じ求め方だから、６通り

よって、

４×２＋６×２＝20　20個

2）

「１〇〇」の場合

百の位の１以外の４個から２個選ぶから、

₄Ｐ₂＝12 個

「２〇〇」と「３〇〇」の場合も12個ずつだから、

百の位が１～３の場合では、計36個

37番目が、４０１だから、

４０２　38番目

４０３　39番目

４１０　40番目

４１２　41番目

４１３　42番目

問題

大人３人と子ども３人が輪の形に並ぶとき、次のような並び方は何通りあるか。

1）大人と子どもが交互に並ぶ

2）特定の子どもＡ、Ｂが隣り合う

1）

大人を基準にする

大人３人の並び方は、円順列の総数より、

（３－１）！＝２！通り

間３か所に子どもが入る場合は、３！通り

よって、

２！×３！

＝２×６

＝12通り

2）

子どもＡ・Ｂをひとまとめにする（②）

②■■■■

この組み合わせの並び方は、

（５－１）！＝４！通り

②の中の並び方は、２！通り

よって、

４！×２！

＝24×2

＝48　48通り

問題

議長、書記各１人、委員６人の計８人が円形のテーブルに着席するとき、次のような並び方は何通りあるか。

1）議長、書記が真正面に向かい合う

2）議長、書記が隣り合わない

1）

議長と書記が真正面に座る

その並び方は、（２－１）！＝１通り

残り６席に座る並び方は、６！通り

１×６！

＝720　720通り

2）

（全体）－（議長・書記が隣り合う）

８人の並び方は、（８－１）！＝７！通り

議長・書記をひとまとめにする（②）

②■■■■■■

この組み合わせの並び方は、

（７－１）！＝６！通り

②の中の並び方は、２！通り

よって、隣り合う場合は６！×２！通り

以上から

７！－６！×２！

＝5040－720×２

＝5040－1440

＝3600　3600通り

問題

正四面体の４つの面に、赤、青、黄、緑の４色を１面ずつ塗るとする。異なる塗り方は何通りあるか。

底面を赤に固定する（１通り）

他の３色は、円順列の総和より、

（３－１）！＝２！

１×２！

＝２　２通り

※４面全て同じ形なので、面を１つ固定すればよい。

問題

６人の中から選ばれた４人が円形状に並ぶとき、何通りの並び方があるか。

６人から４人を選ぶから、並べ方は、

₆Ｐ₄＝６・５・４・３＝360通り

ABCDを選ぶ場合

ABCD　BCDA　CDAB　DABC

のように、回転して同じ並びになるものが４通り

360／４

＝90　90通り

問題

色の異なる７個の玉を糸でつないでブレスレットをつくる方法は何通りあるか。

異なる７個を円形に並べると、

（７－１）！＝６！通り

裏返しても同じものが２個ずつできるから、

６！／２

＝720／２

＝360　360通り

問題

２種類の符号〇、●をいくつか１列に並べて記号を作る。

1）並べる符号が全部で４個のとき、何通りの記号ができるか。

2）並べる符号が１個以上４個以下のとき、何通りの記号ができるか。

3）100通りの記号を作るためには、〇、●を最小限何個まで並べる必要があるか。 1）

左端　〇か●　２通り

左から２つ目　〇か●　２通り

左から３つ目　〇か●　２通り

右端　〇か●　２通り

すべての組み合わせは、

２×２×２×２＝２⁴＝16

16通り

2）

符号が１個　

〇か●　２通り　

符号が２個

１つ目　２つ目

〇か●→〇か●

２通り×２通り

符号が３個

１つ目　２つ目　３つ目

〇か●→〇か●→〇か●

２通り×２通り×２通り

符号が４個

１つ目　２つ目　３つ目　４つ目

〇か●→〇か●→〇か●→〇か●

２通り×２通り×２通り×２通り

２¹＋２²＋２³＋２⁴

＝30　30通り

3）

符号が５個　２⁵＝32通り

２¹＋２²＋２³＋２⁴＋２⁵＝62通り

符号が６個　２⁶＝64通り

２¹＋２²＋２³＋２⁴＋２⁵＋２⁶＝126通り

よって、６個

問題

５個の数字０，１，２，３，４を使ってできる次のような自然数は何個あるか。ただし、同じ数字を重複して使ってよいものとする。

1）３桁

2）３桁以下

3）123より小さい

1）

百の位

１,２,３,４　いずれか４通り

十の位

０,１,２,３,４　いずれか５通り

一の位

０,１,２,３,４　いずれか５通り

４×５×５

＝100　100個

2）

２桁の場合

十の位

１,２,３,４　いずれか４通り

一の位

０,１,２,３,４　いずれか５通り

４×５＝20個

１桁の場合

１,２,３,４　いずれか４通りで４個

よって、

100＋20＋４

＝124　124個

3）

「１２□」になるのは、120,121,122の３個

「１１□」は、５個

「１０□」は、５個

2）より、１桁と２桁の数は24個

よって、

３＋５＋５＋24

＝37　37個

問題

５個の文字の集合Ｕ＝｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ｝の部分集合の総数を求めよ。

異なる５個から

ａが部分集合に「含まれる」か「含まれない」　２通り

そのそれぞれについて

ｂが部分集合に「含まれる」か「含まれない」　２通り

そのそれぞれについて

ｃが部分集合に「含まれる」か「含まれない」　２通り

そのそれぞれについて

ｄが部分集合に「含まれる」か「含まれない」　２通り

そのそれぞれについて

ｅが部分集合に「含まれる」か「含まれない」　２通り

積の法則より、

２⁵＝32　32個

問題

1）10人がＡ、Ｂの２部屋に入る方法は、何通りあるか。ただし、全員が１つの部屋に入ってもよい。

2）10人が２つの組Ａ、Ｂに分かれる方法は何通りあるか。

3）10人が２つの組に分かれる方法は何通りあるか。

1）

10人それぞれＡかＢの２通りの選び方があるから、

２の10乗＝1024

1024通り

2）

ＡかＢのどちらかが０人の場合は、２通り

それを除いた数になるから、

1024－２

＝1022　1022通り

3）

ＡとＢの区別をつけないから

1022÷２！

＝511　511通り

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