高次方程式と虚数解

３次以上の高次方程式は、実数解または虚数解をもちます。虚数解は必ず２つ出てくる解で、ａ±ｂｉの共役な複素数、または±ｂｉの純虚数になります。これを利用した応用問題があります。

問題

Ｐ（ｘ）＝ｘ⁴－２ｘ³＋３ｘ²－２ｘ＋１とする。

1）ｘ＋（１/ｘ）＝ｔとおくとき、ｔの満たす２次方程式を求めよ。

2）Ｐ（ｘ）＝０の解を求めよ。

1）

Ｐ（０）≠０だから、ｘ＝０はＰ（ｘ）＝０の解ではない。

両辺をｘ²で割ると

ｘ²－２ｘ＋３－（２/ｘ）＋（１/ｘ²）＝０

｛ｘ²＋（１/ｘ²）｝－２｛ｘ＋（１/ｘ）｝＋３＝０

ｘ²＋（１/ｘ²）

＝｛（ｘ＋（１/ｘ）｝²－２・ｘ・（１/ｘ）

＝ｔ²－２　だから

（ｔ²－２）－２ｔ＋３＝０

よって、

ｔ²－２ｔ＋１＝０

2）

ｔ²－２ｔ＋１＝０より

（ｔ－１）²＝０

ｔ＝１

ｘ＋（１/ｘ）＝１だから

ｘ²＋１＝ｘ

ｘ²－ｘ＋１＝０

よって、

ｘ＝（１±√－３）/２

　＝（１±√３ｉ）/２

※2）別解

ｘ⁴－２ｘ³＋３ｘ²－２ｘ＋１

＝（ｘ⁴－２ｘ³＋ｘ²）＋２ｘ²－２ｘ＋１

＝（ｘ²－ｘ）²＋２（ｘ²－ｘ）＋１

＝Ａ²＋２Ａ＋１

＝（Ａ＋１）²

＝（ｘ²－ｘ＋１）²

Ｐ（ｘ）＝０より

（ｘ²－ｘ＋１）²＝０

ｘ²－ｘ＋１＝０

よって、

ｘ＝（１±√３ｉ）/２

問題

ｘ⁴－８ｘ³＋17ｘ²－８ｘ＋１＝０を解け。

ｘ≠０だから

両辺をｘ²で割ると

ｘ²－８ｘ＋17－（８/ｘ）＋（１/ｘ²）＝０

左辺

＝｛ｘ²＋（１/ｘ²）｝－８｛ｘ＋（１/ｘ）｝＋17

ｘ²＋（１/ｘ²）

＝｛（ｘ＋（１/ｘ）｝²－２・ｘ・（１/ｘ）

＝｛（ｘ＋（１/ｘ）｝²－２

左辺

＝｛（ｘ＋（１/ｘ）｝²－２－８｛ｘ＋（１/ｘ）｝＋17

＝｛（ｘ＋（１/ｘ）｝²－８｛ｘ＋（１/ｘ）｝＋15

ｘ＋（１/ｘ）＝ｔとおくと

ｔ²－８ｔ＋15＝０

（ｔ－３）（ｔ－５）＝０

ｔ＝３，５

ｔ＝３のとき

ｘ＋（１/ｘ）＝３

ｘ²－３ｘ＋１＝０

ｘ＝（３±√５）/２

ｔ＝５のとき

ｘ＋（１/ｘ）＝５

ｘ²－５ｘ＋１＝０

ｘ＝（５±√21）/２

よって、

ｘ＝（３±√５）/２、（５±√21）/２

問題

ｘ⁴＋８ｘ³＋20ｘ²＋16ｘ－12＝０を解け。

ｘ⁴＋８ｘ³＋20ｘ²＋16ｘ－12＝０

ｘ⁴＋８ｘ³＋16ｘ²＋４ｘ²＋16ｘ－12＝０

（ｘ²＋４ｘ）²＋４（ｘ²＋４ｘ）－12＝０

Ａ²＋４Ａ－12＝０

（Ａ＋６）（Ａ－２）＝０

（ｘ²＋４ｘ＋６）（ｘ²＋４ｘ－２）＝０

ｘ²＋４ｘ＋６＝０のとき

ｘ＝－２±√２ｉ

ｘ²＋４ｘ－２＝０のとき

ｘ＝－２±√６

よって、

ｘ＝－２±√２ｉ、－２±√６

問題

ｑ、ｒを実数として、多項式Ｐ（ｘ）＝ｘ³－２ｘ²＋ｑｘ＋２ｒを考える。３次方程式Ｐ（ｘ）＝０の解が－２と２つの自然数α、β（α＜β）であるとき、α、βとｑ、ｒを求めよ。

３次方程式の解と係数の関係より

和

α＋β－２＝２

α＋β＝４

積の和

αβ－２β－２α＝ｑ

αβ－２（α＋β）＝ｑ

積

－２αβ＝－２ｒ

αβ＝ｒ

α、βは自然数で、α＋β＝４、α＜βだから

α＝１、β＝３

よって、

αβ－２（α＋β）＝ｑ

３－２・４＝ｑ

ｑ＝－５

αβ＝ｒ

ｒ＝３

したがって、

α＝１、β＝３

ｑ＝－５、ｒ＝３

※別解

Ｐ（－２）＝０だから

－８－８－２ｑ＋２ｒ＝０

－16－２ｑ＋２ｒ＝０

－８－ｑ＋ｒ＝０

ｒ＝ｑ＋８

Ｐ（ｘ）

＝ｘ³－２ｘ²＋ｑｘ＋２（ｑ＋８）

Ｐ（－２）＝０だから（ｘ＋２）で割り切れる

１　－２　　ｑ　　２（ｑ＋８）　【－２

　　－２　　８　－２（ｑ＋８）

１　－４　ｑ＋８　　　　　０

（ｘ＋２）（ｘ²－４ｘ＋ｑ＋８）＝０

よって、

α、βは、ｘ²－４ｘ＋ｑ＋８＝０の解である。

１次の係数が－４で、α、βは自然数だから

解は、ｘ＝１、３

α＜βより

α＝１、β＝３

（ｘ－１）（ｘ－３）＝０

ｘ²－４ｘ＋３＝０より

ｑ＋８＝３　ｑ＝－５

ｒ＝ｑ＋８より

ｒ＝－５＋８＝３

したがって、

α＝１、β＝３

ｑ＝－５、ｒ＝３

問題

複素数１＋２ｉを解にもつ実数係数のｘの２次方程式で、ｘ²の係数が１であるものを求めよ。

ｘ＝１＋２ｉより

ｘ－１＝２ｉ

両辺を２乗して

ｘ²－２ｘ＋１＝－４

ｘ²－２ｘ＋５＝０

※別解１

共役な複素数１－２ｉも解にもつから

｛ｘ－（１＋２ｉ）｝｛ｘ－（１－２ｉ）｝＝０

ｘ²－２ｘ＋（１－４ｉ²）＝０

ｘ²－２ｘ＋５＝０

※別解２

求める方程式を

ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０とする

解と係数の関係より

（１＋２ｉ）＋（１－２ｉ）＝－ａ

２＝－ａ　ａ＝－２

（１＋２ｉ）（１－２ｉ）＝ｂ

１－４ｉ²＝ｂ

ｂ＝５

よって、

ｘ²－２ｘ＋５＝０

※別解３

求める方程式を

ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０とする

ｘ＝１＋２ｉを代入

（１＋２ｉ）²＋ａ（１＋２ｉ）＋ｂ＝０

１＋４ｉ＋４ｉ²＋ａ＋２ａｉ＋ｂ＝０

（ａ＋ｂ－３）＋（２ａ＋４）ｉ＝０

実部と虚部はともに０だから

ａ＋ｂ－３＝０　①

２ａ＋４＝０　②

②より

ａ＝－２

①に代入し

－２＋ｂ－３＝０

ｂ＝５

よって、

ｘ²－２ｘ＋５＝０

問題

ａ、ｂを実数とする。４次方程式ｘ⁴－ｘ³＋２ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０が１＋２ｉを解にもつとき、ａ、ｂの値を求めよ。

ｘ⁴－ｘ³＋２ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０

ｘ²（ｘ²－ｘ＋２）＋ａｘ＋ｂ＝０　①

ｘ＝１＋２ｉより

ｘ－１＝２ｉ

両辺を２乗して

ｘ²－２ｘ＋１＝－４

ｘ²＝２ｘ－５

①に代入

（２ｘ－５）（２ｘ－５－ｘ＋２）＋ａｘ＋ｂ＝０

（２ｘ－５）（ｘ－３）＋ａｘ＋ｂ＝０

２ｘ²－11ｘ＋15＋ａｘ＋ｂ＝０

ｘ²＝２ｘ－５を代入

４ｘ－10－11ｘ＋15＋ａｘ＋ｂ＝０

ａｘ－７ｘ＋ｂ＋５＝０

ｘ＝１＋２ｉを代入

ａ＋２ａｉ－７－14ｉ＋ｂ＋５＝０

（ａ＋ｂ－２）＋（２ａ－14）ｉ＝０

実部と虚部がともに０だから

ａ＋ｂ－２＝０　②

２ａ－14＝０　③

③より

ａ＝７

②に代入して

７＋ｂ－２＝０

ｂ＝－５

よって、

ａ＝７、ｂ＝－５

問題

ｐ、ｑは有理数とする。方程式ｘ³－４ｘ²＋ｐｘ＋ｑ＝０が１＋√３を解にもつとき

1）ｐ、ｑの値を求めよ。

2）他の２つの解を求めよ。

1）

ｘ＝１＋√３より

ｘ－１＝√３

両辺を２乗して

ｘ²－２ｘ＋１＝３

ｘ²＝２ｘ＋２　①

ｘ³－４ｘ²＋ｐｘ＋ｑ＝０より

ｘ²（ｘ－４）＋ｐｘ＋ｑ＝０

①を代入

（２ｘ＋２）（ｘ－４）＋ｐｘ＋ｑ＝０

２ｘ²－６ｘ－８＋ｐｘ＋ｑ＝０

①を代入

４ｘ＋４－６ｘ－８＋ｐｘ＋ｑ＝０

ｐｘ－２ｘ＋ｑ－４＝０

ｘ＝１＋√３を代入

ｐ＋√３ｐ－２－２√３＋ｑ－４＝０

（ｐ＋ｑ－６）＋（ｐ－２）√３＝０

ｐ、ｑは有理数で、√３は無理数だから

ｐ＋ｑ－６＝０　②

ｐ－２＝０　③

③より

ｐ＝２

②に代入して

２＋ｑ－６＝０

ｑ＝４

よって、

ｐ＝２、ｑ＝４

2）

ｐ＝２、ｑ＝４より

ｘ³－４ｘ²＋ｐｘ＋ｑ＝０

ｘ³－４ｘ²＋２ｘ＋４＝０

３つの解を、１±√３、ａとする

解と係数の関係より

和

（１＋√３）＋（１－√３）＋ａ＝４

ａ＝２

よって、

他の解　１－√３、２

問題

実数ｘ、ｙ、ｚは連立方程式

ｘ＋ｙ＋ｚ＝－１

ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝７

ｘ³＋ｙ³＋ｚ³＝－１

を満たしている。

1）ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ、ｘｙｚの値を求めよ。

2）この連立方程式の解の中で、ｘ＜ｙ＜ｚを満たすものを求めよ。

1）

ｘ＋ｙ＋ｚ＝－１　①

ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝７　②

ｘ³＋ｙ³＋ｚ³＝－１　③

②より

（ｘ＋ｙ＋ｚ）²－２（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）＝７

①を代入

（－１）²－２（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）＝７

－２（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）＝６

よって、

ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝－３　④

③より

（ｘ＋ｙ＋ｚ）｛ｘ²＋ｙ²＋ｚ²－（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）｝＋３ｘｙｚ＝－１

①、②、④を代入

（－１）・｛７－（－３）｝＋３ｘｙｚ＝－１

－10＋３ｘｙｚ＝－１

３ｘｙｚ＝９

ｘｙｚ＝３

よって、

ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝－３

ｘｙｚ＝３

2）

ｘ＋ｙ＋ｚ＝－１

ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝－３

ｘｙｚ＝３

３つの式から

３次方程式の解と係数の関係より

ａ³＋ａ²－３ａ－３＝０とする

ａ＝－１を解にもつから（ａ＋１）で割り切れる

１　　１　－３　－３　【－１

　　－１　　０　　３

１　　０　－３　　０

（ａ＋１）（ａ²－３）＝０

よって、

ａ＝－１、±√３

したがって、

ｘ＝－√３

ｙ＝－１

ｚ＝√３

※

ａ³＋ａ²－３ａ－３＝０

ａ³－３ａ＋ａ²－３＝０

ａ（ａ²－３）＋（ａ²－３）＝０

（ａ＋１）（ａ²－３）＝０

問題

ｘについての３次方程式ｘ³＋（ａ－５）ｘ²＋（ａ＋８）ｘ－６ａ－４＝０を考える。

1）この方程式はどのようなａの値についても、ｘ＝［　ア　］を解にもつ。

2）この方程式が異なる２つの実数解をもつとき、ａ＝［　イ　］、［　ウ　］、［　エ　］である。ただし、［　イ　］＜［　ウ　］＜［　エ　］とする。

1）

左辺＝０となるのはｘ＝２のときだから

ア　２

2）

左辺は（ｘ－２）で割り切れるから

１　ａ－５　　ａ＋８　－６ａ－４　【２

　　　　２　２ａ－６　　６ａ＋４

１　ａ－３　３ａ＋２　　　　　０

（ｘ－２）｛ｘ²＋（ａ－３）ｘ＋３ａ＋２｝＝０

ｘ²＋（ａ－３）ｘ＋３ａ＋２＝０が２以外の重解をもつとき

判別式をＤとする

Ｄ＝（ａ－３）²－４（３ａ＋２）

＝ａ²－６ａ＋９－12ａ－８

＝ａ²－18ａ＋１

Ｄ＝０より

ａ²－18ａ＋１＝０

ａ＝９±４√５

ｘ²＋（ａ－３）ｘ＋３ａ＋２＝０が２を解にもつとき

ｘ＝２を代入

４＋２ａ－６＋３ａ＋２＝０

ａ＝０

よって、

イ　０

ウ　９－４√５

エ　９＋４√５

問題

係数ａ、ｂが整数である３次方程式ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ＋１＝０が２つの虚数解と１つの負の整数解をもつ。この条件を満たす整数の組（ａ、ｂ）は何組あるか求めよ。

３つの解をα、β、γとする

解と係数の関係より

α＋β＋γ＝－ａ　①

αβ＋βγ＋γα＝ｂ　②

αβγ＝－１　③

２つの虚数解を

α＝ｐ＋ｑｉ、β＝ｐ－ｑｉとする

αβ＝（ｐ＋ｑｉ）（ｐ－ｑｉ）

＝ｐ²－ｑｉ²

＝ｐ²＋ｑ²

αβγ＝－１より

（ｐ²＋ｑ²）γ＝－１

ｐ²＋ｑ²＞０だから

γ＝－１

ｘ＝－１が解だから式に代入する

ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ＋１＝０

－１＋ａ－ｂ＋１＝０

ａ－ｂ＝０

よって、ａ＝ｂ

ａ＝ｂだから

ｘ³＋ａｘ²＋ａｘ＋１＝０

ｘ＝－１のとき０だから

１　　　ａ　　　ａ　　　１　【－１

　　　－１　－ａ＋１　－１

１　ａ－１　　　１　　　０

（ｘ＋１）｛ｘ²＋（ａ－１）ｘ＋１｝＝０

ｘ²＋（ａ－１）ｘ＋１＝０が虚数解だから

Ｄ＝（ａ－１）²－４

＝ａ²－２ａ＋１－４

＝ａ²－２ａ－３＜０

（ａ－３）（ａ＋１）＜０

－１＜ａ＜３

よって、

ａ＝０，１，２

ａ＝ｂだから

（ａ，ｂ）＝（０，０）（１，１）（２，２）

したがって、３組

問題

ａ＋ｂ＋ｃ＝－１を満たす実数ａ、ｂ、ｃに対し、Ｐ（ｘ）＝ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ＋ｃとする。

1）Ｐ（ｘ）は、Ｐ（ｘ）＝（ｘ－ア）｛ｘ²＋（イ＋１）ｘ－ウ｝と表される。

2）方程式Ｐ（ｘ）＝０の解が複素数の範囲で［ア］だけであるとき、ａ、ｂ、ｃの値を求めよ。

3）方程式Ｐ（ｘ）＝０が異なる３つの実数解をもち、そのうち２つの解が１よりも小さくなるための条件をａ、ｂ、ｃを用いて表せ。

1）

ａ＋ｂ＋ｃ＝－１より

ｃ＝－ａ－ｂ－１

ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ＋ｃに代入

ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ－ａ－ｂ－１

ｘ＝１のとき、Ｐ（ｘ）＝０だから

（ｘ－１）で割り切れる

１　　ａ　　　　ｂ　　　－ａ－ｂ－１　【１

　　　１　　　ａ＋１　　　ａ＋ｂ＋１

１　ａ＋１　ａ＋ｂ＋１　　　　　　０

（ｘ－１）｛ｘ²＋（ａ＋１）ｘ＋ａ＋ｂ＋１｝＝０

ａ＋ｂ＋ｃ＝－１より

ａ＋ｂ＝－ｃ－１だから

（ｘ－１）｛ｘ²＋（ａ＋１）ｘ－ｃ｝＝０

よって、

ア　１

イ　ａ

ウ　ｃ

2）

解がｘ＝１だけだから

（ｘ－１）³＝０

左辺を展開すると

ｘ³－３ｘ²＋３ｘ－１＝０

ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０だから

ａ＝－３

ｂ＝３

ｃ＝－１

3）

ｘ²＋（ａ＋１）ｘ－ｃ＝０は、異なる実数解をもつから

判別式Ｄ＞０

Ｄ＝（ａ＋１）²＋４ｃ

Ｄ＞０より

（ａ＋１）²＋４ｃ＞０

解と係数の関係より

ｘ＜１だから

（α－１）＋（β－１）＜０

α＋β－２＜０

α＋β＝－（ａ＋１）だから

－（ａ＋１）－２＜０

ａ＋１＋２＞０

ａ＞－３

また、

（α－１）（β－１）＞０

αβ－（α＋β）＋１＞０

αβ＝－ｃだから

－ｃ＋ａ＋１＋１＞０

ａ－ｃ＋２＞０

よって、

（ａ＋１）²＋４ｃ＞０

ａ＞－３

ａ－ｃ＋２＞０

問題

Ｐ（ｘ）＝２ｘ⁴－７ｘ³＋８ｘ²－21ｘ＋18＝０とする。

1）ｘ＋（３/ｘ）＝ｔとおくとき、ｔの満たす２次方程式を求めよ。

2）方程式Ｐ（ｘ）＝０の解を求めよ。

1）

Ｐ（０）≠０だから

両辺をｘ²で割る

２ｘ²－７ｘ＋８－（21/ｘ）＋（18/ｘ²）＝０

２ｘ²＋（18/ｘ²）－７ｘ－（21/ｘ）＋８＝０

２｛（ｘ²＋（９/ｘ²）｝－７｛ｘ＋（３/ｘ）｝＋８＝０

２［｛（ｘ＋（３/ｘ）｝²－２ｘ・（３/ｘ）］－７｛ｘ＋（３/ｘ）｝＋８＝０

２［｛（ｘ＋（３/ｘ）｝²－６］－７｛ｘ＋（３/ｘ）｝＋８＝０

２｛（ｘ＋（３/ｘ）｝²－12－７｛ｘ＋（３/ｘ）｝＋８＝０

２｛（ｘ＋（３/ｘ）｝²－７｛ｘ＋（３/ｘ）｝－４＝０

ｘ＋（３/ｘ）＝ｔより

２ｔ²－７ｔ－４＝０

2）

２ｔ²－７ｔ－４＝０

２　　１　　１

　×

１　－４　－８

　　　　　－７

（２ｔ＋１）（ｔ－４）＝０

ｔ＝－1/2、４

ｔ＝－1/2のとき

ｘ＋（３/ｘ）＝ｔより

ｘ＋（３/ｘ）＝－1/2

ｘ²＋３＝（－1/2）ｘ

２ｘ²＋ｘ＋６＝０

ｘ＝（－１±√47ｉ）/４

ｔ＝４のとき

ｘ＋（３/ｘ）＝ｔより

ｘ＋（３/ｘ）＝４

ｘ²＋３＝４ｘ

ｘ²－４ｘ＋３＝０

（ｘ－１）（ｘ－３）＝０

ｘ＝１，３

よって、

ｘ＝（－１±√47ｉ）/４、１、３

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八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学

指導実績　塾生33名（2026年6月）

八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中

八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ

吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小

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塾生の声

苦手が自信に。

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この塾で本当に良かった！

　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！

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