1次関数高校受験対策6

たむかい学習教室
8月11日
読了時間: 9分

1次関数高校受験対策6

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

夏休みも中盤を迎えています。中学・高校の受験生は、この夏から入試対策に取り組んでいます。中学生は、２年生で学習した「1次関数」の演習を行っています。入試問題には頻出の内容で、今後学習する2次関数との融合問題がよく出題されます。

問題

下の図で、①は関数ｙ＝1/2ｘ＋６、②は関数ｙ＝２ｘ－６のグラフである。点Ａは①とｙ軸との交点、点Ｂは②とｙ軸との交点、点Ｃは①と②との交点である。点Ｄは②上の点で、直線ＡＤと直線ＯＣは平行である。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。

1）①の関数ｙ＝1/2ｘ＋６について、ｘの変域が－４≦ｘ≦２のとき、ｙの変域を求めなさい。

2）線分ＡＢの長さを求めなさい。

3）点Ｃのｘ座標を求めなさい。

4）直線ＡＤの式を求めなさい。

1）

ｘ＝－４のとき

ｙ＝1/2×（－４）＋６

　＝－２＋６

　＝４

ｘ＝２のとき

ｙ＝1/2×２＋６

　＝１＋６

　＝７

よって、ｙの変域は、

４≦ｙ≦７

2）

点Ａは①の式の切片だから、

ｙ座標は６

点Ｂは②の式の切片だから、

ｙ座標は－６

よって、

６－（－６）

＝12

線分ＡＢの長さは、12cm

3）

①と②の式の交点だから、

1/2ｘ＋６＝２ｘ－６

ｘ＋12＝４ｘ－12

３ｘ＝24

ｘ＝８

よって、

点Ｃのｘ座標は、８

4）

ＡＤ//ＯＣより、

直線ＡＤと直線ＯＣの傾きは等しい

点Ｃのｙ座標を求める

ｙ＝２ｘ－６に代入

ｙ＝２×８－６

　＝10

よって、点Ｃの座標は、

（８，10）

直線ＯＣは原点を通るから、

ｙ＝ａｘに、

ｘ＝８、ｙ＝10を代入

８ａ＝10

ａ＝5/4

よって、

直線ＡＤの式の傾きは、5/4

点Ａが切片となるから、

ｙ＝5/4ｘ＋６

問題

図１で、①は関数ｙ＝ａ／ｘ（ｘ＜０）のグラフであり、点Ａは①上の点で座標が（－３，４）である。点Ｂは①上の点でｘ座標が－２である。点Ｃはｙ軸上の点でｙ座標が４である。あとの問いに答えなさい。

1）ａの値を求めなさい。

2）点Ｂのｙ座標を求めなさい。

3）直線ＢＣの式を求めなさい。

1）

点Ａは①上の点だから、

ｙ＝ａ／ｘに、

ｘ＝－３、ｙ＝４を代入

ａ／－３＝４

ａ＝－12

2）

点Ｂは①上の点だから、

ｙ＝－12／ｘに、

ｘ＝－２を代入

ｙ＝－12／－2

　＝６

よって、ｙ座標は６

3）

直線ＢＣの傾きをａとする

切片の値は４だから、

ｙ＝ａｘ＋４

点Ｂ（－２，６）を通るから、

－２ａ＋４＝６

ａ＝－１

よって、求める式は、

ｙ＝－ｘ＋４

図２は、図１のｙ軸上の点Ｃよりも上側に点Ｐをとったものである。曲線ＡＢ、線分ＢＣ、線分ＣＯ、線分ＯＡで囲まれた図形の面積と、曲線ＡＢ、線分ＢＰ、線分ＰＣ、線分ＣＡで囲まれた図形の面積が等しくなるとき、点Ｐのｙ座標を求めなさい。

２つの図形の共通部分は、

曲線ＡＢ、線分ＢＣとＣＡに囲まれた部分だから、

△ＡＯＣ＝△ＢＣＰになるとき

点ＡとＣのｙ座標は同じだから

ＡＣとｘ軸は平行

よって、

△ＡＯＣは、

∠Ｃ＝90°の直角三角形

点Ａはｘ＝－３、

点Ｃはｘ＝０だから

ＡＣ＝０－（－３）

　　＝３

点Ｃはｙ＝４、

点Ｏはｙ＝０だから

ＣＯ＝４－０

　　＝４

よって、

△ＡＯＣ

＝1/2×３×４

＝６

点Ｐのｙの値をｔとする

△ＢＣＰの底辺をＣＰ、

高さを点Ｂとｙ軸との距離とする

点Ｃはｙ＝４、

点Ｐはｙ＝ｔだから

ＣＰ＝ｔ－４

点Ｂはｘ＝－２だから

高さは２

△ＢＣＰ＝△ＡＯＣ＝６だから

1/2×（ｔ－４）×２＝６

ｔ－４＝６

ｔ＝10

よって、

点Ｐのｙ座標は10

問題

Ａさんは学校に忘れ物をしたことに気づき、午後４時に家を出発し、家から1600m離れた地点にある学校まで自転車で向かった。Ａさんの妹は、午後４時に学校を出発し、毎分50mの速さで家に向かった。Ａさんは、学校に向かう途中で妹とすれちがい、午後４時８分に学校に着いた。Ａさんは忘れ物をとったあと学校を出発し、行きと同じ速さで家に向かって、途中で妹を追いこし、午後４時26分に家に着いた。午後４時からｘ分後の、家からＡさんとＡさんの妹のそれぞれがいる地点までの道のりをｙmとする。下の図は、Ａさんについて、ｘとｙの関係をグラフに表したものである。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）次の㋐～㋒にあてはまる数を求めなさい。

・Ａさんが学校にいた時間は（㋐）分間である。

・Ａさんの進む速さは毎分（㋑）mである。

・Ａさんの妹が家に着いたのは、午後４時（㋒）分である。

2）Ａさんの妹が学校を出発してから、家に着くまでについて、ｘとｙの関係を式に表しなさい。

3）Ａさんが学校を出発してから家に向かって進むとき、Ａさんの妹を追いこすのは午後４時何分か、求めなさい。

1）㋐

家から学校までは1600m

グラフ上では、

ｙ＝1600のときの時間ｘになる

８≦ｘ≦18のときだから

10分間

2）㋑

1600mの道のりを

８分で進んだから、

1600÷８

＝200

毎分200mの速さ

3）㋒

1600mの道のりを

毎分50mで進むから、

1600÷50

＝32

妹は32分かけて家についた

㋐ 10　㋑ 200　㋒ 32

2）

一定の速さで進むから、

一次関数の式で表せる。

グラフ上の傾きは速さで、

右下がりとなるから、

傾きは－50

ｙ切片は1600だから

ｙ＝－50ｘ＋1600

※

別解

グラフ上では、

（０，1600）と（32，０）を通る

（０，1600）から切片は1600

傾きをａとする

ｙ＝ａｘ＋1600

これに（32，０）を代入

32ａ＋1600＝０

ａ＝－50

よって、求める式は、

ｙ＝－50ｘ＋1600

3）

Ａさんの

学校から家までの式を求める

傾きは－200

切片の値をｂとする

ｙ＝－200ｘ＋ｂ

（26，０）を通るから、式に代入

－200×26＋ｂ＝０

ｂ＝5200

よって、

学校から家までの式は、

ｙ＝－200ｘ＋5200

これと妹の式との交点を求める

ｘの値が求める時間になるから、

－50ｘ＋1600＝－200ｘ＋5200

－５ｘ＋160＝－20ｘ＋520

15ｘ＝360

ｘ＝24

よって、求める時刻は、

午後４時24分

問題

下の図１は１辺の長さが10cmの正方形ＡＢＣＤである。点Ｐは点Ａを出発し、秒速１cmで正方形ＡＢＣＤの辺上を点Ｂ、Ｃを通って移動し、点Ｄで止まる。下の図２は、点Ｐが点Ｃと重なるまでについて、点Ｐが点Ａを出発してからｘ秒後の△ＡＰＤの面積をｙcm²として、ｘとｙの関係をグラフに表したものである。このとき、あとの問いに答えなさい。ただし、点Ｐが点Ａまたは点Ｄに重なるとき、ｙ＝０とする。

1）次の㋐～㋒にあてはまる数や式を求めなさい。

・点Ｐは、点Ａを出発してから（㋐）秒後に点Ｄで止まる。

・点Ｐが点Ａを出発してから17秒後の線分ＢＰの長さは（㋑）cmである。

・０≦ｘ≦10のとき、ｙ＝（㋒）の式で表すことができる。

2）点Ｐが点Ｃと重なってから、点Ｄに着くまでについて、ｘとｙの関係を式に表しなさい。

3）△ＡＰＤの面積が35cm²になるのは、点Ｐが点Ａを出発してから何秒後か、すべて求めなさい。

1）㋐

点Ｄまでの距離は30cm、

点Ｐの速さは秒速１cmだから

30÷１＝30

点Ａを出発してから30秒後

1）㋑

点Ｂまで10秒だから、

点Ｂから７秒後の点になる

秒速１cmで７秒間進むから、

１×７＝７

ＢＰ＝７cm

1）㋒

ｘ＝10（秒）のとき、

点ＰはＢに重なる。

そのときの△ＡＰＤの面積ｙは、

正方形の半分になるから、

10×10÷２＝50

原点と（10，50）を通る式だから、

傾き　50/10＝５

よって、求める式は、

ｙ＝５ｘ

㋐ 30　㋑７　㋒５ｘ

2）

点Ｃのとき

出発から20秒後の点で、

△ＡＰＤの面積は50cm²だから

ｘ＝20、ｙ＝50

点Ｄのとき

出発から30秒後の点で、

△ＡＰＤの面積は０cm²だから

ｘ＝30、ｙ＝０

点Ｐは一定の速さで進むから、

一次関数の式で表せる。

ｘの増加量

30－20＝10

ｙの増加量

０－50＝－50

変化の割合

－50／10＝－５

切片の値をｂとする

ｙ＝－５ｘ＋ｂ

ｘ＝30、ｙ＝０を代入

－５×30＋ｂ＝０

ｂ＝150

よって、求める式は、

ｙ＝－50ｘ＋150

3）

ｙ＝35のときだから、

出発から点Ｂまでの式との交点、

点ＣからＤまでの式との交点を、

それぞれ求める。

ｙ＝５ｘに、ｙ＝35を代入

５ｘ＝35

ｘ＝７

ｙ＝－50ｘ＋150に、

ｙ＝35を代入

－50ｘ＋150＝35

50ｘ＝115

ｘ＝23

よって、点Ａを出発してから、

７秒後、23秒後

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今年度塾生28名（2025年4月現在）

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当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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