1次関数傾きと切片

たむかい学習教室
9月25日
読了時間: 8分

1次関数傾きと切片

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

中２数学では、学校で「1次関数」の単元に入りました。関数は、「ｘの値が決まると、ｙの値が１つに決まる関係」のことで、その式は、ｙ＝ａｘまたはｙ＝ａｘ＋ｂの形になります。「ａ」は変化の割合のことで、グラフ上では直線の傾きを表します。「ｂ」は直線とｙ軸が交わる点（切片）を表します。

問題

次のような１次関数の式を求めなさい。

1）グラフの傾きが４で、点（１，８）を通る

2）グラフの傾きが－1/2で、点（４，２）を通る

3）変化の割合が－３で、ｘ＝－４のときｙ＝４

「１次関数の式を求めなさい」

👉ｙ＝ａｘ＋ｂの式で答える。

ａとｂの値には、それぞれ名前がある。

ｙ＝ａｘ＋ｂ　

ａ：傾き、変化の割合

ｂ：切片、定数

グラフの傾きが４で、点（１，８）を通る

1）

求める式をｙ＝ａｘ＋ｂとする

傾き４だから、ａ＝４

ａ＝４を式に代入

ｙ＝４ｘ＋ｂ

この直線の式は（１，８）を通るから

ｘ＝１、ｙ＝８を代入

８＝４×１＋ｂ

ｂ＝４

よって、求める式は、

ｙ＝４ｘ＋４

グラフの傾きが－1/2で、点（４，２）を通る

2）

求める式をｙ＝ａｘ＋ｂとする

傾き－1/2だから、ａ＝－1/2

ａ＝－1/2を式に代入

ｙ＝（－1/2）ｘ＋ｂ

この直線の式は（４，２）を通るから

ｘ＝４、ｙ＝２を代入

２＝（－1/2）×４＋ｂ

ｂ＝４

よって、求める式は、

ｙ＝（－1/2）ｘ＋４

変化の割合が－３で、ｘ＝－４のときｙ＝４

3）

求める式をｙ＝ａｘ＋ｂとする

変化の割合が－３だから、ａ＝－３

ａ＝－３を式に代入

ｙ＝－３ｘ＋ｂ

ｘ＝－４、ｙ＝４を代入

４＝－３×（－４）＋ｂ

ｂ＝16

よって、求める式は、

ｙ＝－３ｘ＋16

問題

ｙはｘの１次関数で、そのグラフが次の２点を通る直線であるとき、この関数の式を求めなさい。

1）Ａ（１，－１）　Ｂ（４，５）

2）Ａ（－６，５）　Ｂ（２，１）

1）

Step1

ｘの２つの値とｙの２つの値を使って、

変化の割合（傾きａ）を求める。

ｙの増加量

━━━━━ ＝変化の割合（傾きａ）

ｘの増加量

（１，－１）（４，５）

５－（－１）　　６

━━━━━━ ＝ ━ ＝２

４－　１　　　３

Step2

ｙ＝ａｘ＋ｂの式に、

ｘとｙの値を代入し、切片ｂを求める。

傾きａ＝２だから

ｙ＝２ｘ＋ｂ

（１，－１）を通るから

ｘ＝１、ｙ＝－１を代入

－１＝２×１＋ｂ

ｂ＝－３

※（４，５）を代入しても同じｂの値が出る

以上から、求める式は、

ｙ＝２ｘ－３

Ａ（－６，５）　Ｂ（２，１）

2）

ｙの増加量　　１－５　　　　１

　　　　　　━━━━━━ ＝－━

ｘの増加量　２－（－６）　　２

ｙ＝（－1/2）ｘ＋ｂに、

ｘ＝２、ｙ＝１を代入

１＝（－1/2）×２＋ｂ

ｂ＝２

よって、求める式は、

ｙ＝（－1/2）ｘ＋２

問題

次の1）～3）について、それぞれｙをｘの式で表しなさい。また、ｙがｘの１次関数であるものを選びなさい。

1）１mの重さが20ｇの針金ｘmの重さをｙｇとする。

2）10kmの道のりを、時速ｘkmで歩くとき、かかった時間をｙ時間とする。

3）水が３Ｌはいっている水そうに、毎分２Ｌの割合でｘ分水を入れた水そうの水の量をｙＬとする。

1）

ｘm　１　２　３・・ｘ

ｙｇ　20　40　60・・ 20ｘ

ｘとｙの関係から

ｙ＝20ｘ　一次関数である

※切片が０（ｙ＝20ｘ＋０）

比例の関係で、

ｘ＝１のときｙ＝20だから

ｘ：ｙ＝１：20

ｙ＝20ｘ

2）

時間＝道のり÷速さ

ｙ＝10÷ｘ

ｙ＝10／ｘ（反比例）

3）

ｘ分　０　１　２・・ｘ

ｙＬ　３　５　７・・２ｘ＋３

ｘとｙの関係から

ｙ＝２ｘ＋３　一次関数である　

ｙ＝（ｘ分で入る量）＋（初めの量）

ｘ分で、２ｘ(Ｌ)入る。

初めに３Ｌ入っていたから、合計ｙ(Ｌ)は、

ｙ＝２ｘ＋３

問題

次の１次関数について、変化の割合を求めなさい。また、ｘの増加量が４のときのｙの増加量をそれぞれ求めなさい。

1）ｙ＝４ｘ－３

2）ｙ＝（－1/2）ｘ＋５

1）

変化の割合（傾きａ）は、４

ｙの増加量をＹとすると

Ｙ／４＝４

Ｙ＝16

よって、ｙの増加量は、16

2）

変化の割合（傾きａ）は、－１／２

ｙの増加量をＹとすると

Ｙ／４＝－１／２

Ｙ＝－２

よって、ｙの増加量は、－２

問題

次の１次関数のグラフの式を求めなさい。

①

求める式をｙ＝ａｘ＋ｂとする

ｙ軸との交点が切片ｂ

切片の値は－３だから

ｙ＝ａｘ－３

点（１，０）を通るから

ｘ＝１、ｙ＝０を代入

０＝ａ×１－３

ａ＝３

よって、求める式は、

ｙ＝３ｘ－３

※グラフから

　ｘが１増加すると、ｙが３増加する

　👉傾きは、３／１＝３

②

切片の値は４だから

ｙ＝ａｘ＋４

ｘが３増加すると、

ｙが－２増加するから

傾きは、－２／３

よって、求める式は、

ｙ＝（－2/3）ｘ＋４

問題

ｙはｘの１次関数で、そのグラフがＡ（－３，１）、Ｂ（５，－７）を通る直線である。このとき、連立方程式を使う方法で、この関数の式を求めなさい。

求める式をｙ＝ａｘ＋ｂとする

（－３，１）を通る直線だから

ｘ＝－３、ｙ＝１を代入

－３ａ＋ｂ＝１　①

（５，－７）を通る直線だから

ｘ＝５、ｙ＝－７を代入

５ａ＋ｂ＝－７　②

①－②より

　－３ａ＋ｂ＝１

－）５ａ＋ｂ＝－７

　－８ａ　　＝８

　　　　　ａ＝－１

①に代入

３＋ｂ＝１

ｂ＝－２

よって、求める式は、

ｙ＝－ｘ－２

問題

時速10kmでｘ時間走るときに進む道のりをｙkmとする。ｘの変域が２≦ｘ≦４のとき、ｙの変域を求めなさい。

道のり＝速さ×時間

ｙ＝10×ｘ

ｙ＝10ｘ

ｘ＝２のとき、

ｙ＝10×２＝20

ｘ＝４のとき、

ｙ＝10×４＝40

よって、求めるｙの変域は、

20≦ｙ≦40

👉２時間以上、４時間以下走るとき、

　 20km以上、40km以下の道のりを進む。

問題

１次関数ｙ＝４ｘ＋12において、ｘの変域が－３≦ｘ≦－１のとき、ｙの変域を求めなさい。

ｘ＝－３のとき

ｙ＝４×（－３）＋12

　＝０

ｘ＝－１のとき、

ｙ＝４×（－１）＋12

　＝８

よって、求めるｙの変域は、

０≦ｙ≦８

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