1次関数高校入試対策

たむかい学習教室
1月12日
読了時間: 8分

1次関数高校入試対策

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試では1次関数の出題があります。グラフを利用した出題が多く、座標の見方や式の立て方のほか、直線の性質を利用した図形の面積の求め方などを押さえておく必要があります。

問題

下のグラフは、点（３，４）を通り、ｙ軸上の切片が10の直線である。グラフがこの直線になる１次関数について、ｘの増加量が３のとき、ｙの増加量を求めなさい。

直線の傾きをａとする

切片が10だから

ｙ＝ａｘ＋10

（３，４）を通るから

４＝ａ×３＋10

ａ＝－２

ｘの増加量×傾き＝ｙの増加量　だから

３×（－２）＝－６

問題

直線ｙ＝ａｘ＋ｂ（ａ、ｂは定数）は、直線ｙ＝２ｘ－４とｘ軸上の点で交わり、点（－１，３）を通る。直線ｙ＝ａｘ＋ｂとｙ軸との交点の座標を求めなさい。

ｙ＝２ｘ－４のｘ軸上の点は、

ｙ＝０だから

０＝２ｘ－４

ｘ＝２

（２，０）と（－１，３）を通る直線

ｘの増加量　２－（－１）＝３

ｙの増加量　０－３＝－３

傾き　－３／３＝－１

ｙ＝－ｘ＋ｂに（２，０）を代入

０＝－２＋ｂ

ｂ＝２

よって、（０，２）

問題

ａが負の数である１次関数ｙ＝ａｘ＋３について、ｘの変域が－１≦ｘ≦２のとき、ｙの変域は－１≦ｙ≦５であった。このとき、ａの値を求めなさい。

傾きが負の数だから

ｘが増加するとｙは減少する。

よって、

（－１，５）と（２，－１）を通る直線

ｘの増加量　２－（－１）＝３

ｙの増加量　－１－５＝－６

よって、

ａ＝－６／３＝－２

問題

下の図のように、直線ｙ＝－ｘ－２と直線ｙ＝（1/2）ｘ＋ｂがある。この２直線とｘ軸との交点をそれぞれＡ、Ｂ（－14，０）とする。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）直線ｙ＝（1/2）ｘ＋ｂの切片ｂの値を求めなさい。

2）直線ｙ＝－ｘ－２と直線ｙ＝（1/2）ｘ＋ｂの交点Ｃの座標を求めなさい。

3）点Ｃを通り、切片が正の数となるを直線ℓとする。直線ℓと直線ｙ＝－ｘ－２とｙ軸とで囲まれた三角形の面積が、△ＡＢＣの面積と等しくなるように、直線ℓの式を求めなさい。

1）

直線は（－14，０）を通るから

０＝（1/2）×（－14）＋ｂ

ｂ＝７

2）

２式の連立方程式より

－ｘ－２＝（1/2）ｘ＋７

－２ｘ－４＝ｘ＋14

ｘ＝－６

ｙ＝－ｘ－２に代入

ｙ＝－（－６）－２＝４

よって、（－６，４）

3）

直線ℓとｙ軸との交点をＤ、

ｙ＝－ｘ－２とｙ軸との交点をＥとする。

△ＣＤＥ＝△ＡＢＣとなるＤの座標を求める。

△ＡＢＣの面積を求める。

点Ａは、

ｙ＝－ｘ－２上にあり、ｙ＝０だから

０＝－ｘ－２

ｘ＝－２

よって、

ＡＢ＝－２－（－14）＝12

点Ｃはｙ＝４だから

△ＡＢＣの面積は、

（1/2）×12×４＝24

点Ｄ（０，ｔ）とする。

点Ｅは、ｙ＝－２だから

ＤＥ＝ｔ－（－２）＝ｔ＋２

点Ｃは、ｘ＝－６だから

高さは、０－（－６）＝６

△ＣＤＥ＝24だから

（1/2）×（ｔ＋２）×６＝24

ｔ＋２＝８

ｔ＝６

直線ℓの切片が６だから

ｙ＝ｃｘ＋６とする

（－６，４）を通るから

４＝－６ｃ＋６

ｃ＝1/3

よって、ｙ＝（1/3）ｘ＋６

１次関数と２次関数の融合問題

問題

図１で、①は関数ｙ＝（1/4）ｘ²のグラフであり、３点Ａ、Ｂ、Ｃは①上の点でｘ座標がそれぞれ８、－６、４である。あとの問いに答えなさい。

1）①の関数について、ｘの値が２から10まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

2）点Ｃの座標を求めなさい。

1）

ｘの増加量　10－２＝８

ｘ＝10のとき、

ｙ＝（1/4）×10²＝25

ｘ＝２のとき、

ｙ＝（1/4）×２²＝１

ｙの増加量　25－１＝24

よって、変化の割合は、

24／８＝３

2）

点Ｃは、

ｙ＝（1/4）ｘ²上にあり、ｘ＝４だから

ｙ＝（1/4）×４²＝４

よって、（４，４）

図２で、点Ｄはｙ軸上にあり、△ＡＢＣと△ＡＢＤの面積は等しい。このとき、あとの問いに答えなさい。

3）直線ＡＢの式を求めなさい。ただし、式はかっこをはずしたもっとも簡単な形で表すこと。

4）点Ｄの座標を求めなさい。ただし、点Ｄは、線分ＡＢについて、点Ｃと反対側にあるものとする。

3）

点Ａは、

ｙ＝（1/4）ｘ²上にあり、ｘ＝８だから

ｙ＝（1/4）×（－６）²＝16

点Ｂは、

ｙ＝（1/4）ｘ²上にあり、ｘ＝－６だから

ｙ＝（1/4）×（－６）²＝９

Ａ（８，16）　Ｂ（－６，９）

ｘの増加量　８－（－６）＝14

ｙの増加量　16－９＝７

傾き　７／14＝1/2

求める式の傾きをｂとする

ｙ＝（1/2）ｘ＋ｂ

ｘ＝８、ｙ＝16を代入

16＝（1/2）×８＋ｂ

ｂ＝12

よって、ｙ＝（1/2）ｘ＋12

4）

点Ｃを通りＡＢに平行な直線をひく

ＡＢとｙ軸との交点をＥとする

△ＡＢＣと△ＡＢＥは、

共通な底辺をもち、高さが同じだから

面積が等しくなる（等積変形）。

直線ＣＥの切片をｃとする

ｙ＝（1/2）ｘ＋ｃ

（４，４）を通るから

４＝（1/2）×４＋ｃ

ｃ＝２

よって、Ｅはｙ＝２

また、

ＡＢとｙ軸との交点をＦとすると

Ｆは、ｙ＝12

ＥＦ＝12－２＝10

ＥＦ＝ＤＥだから

Ｄは、ｙ＝12＋10＝22

よって、（０，22）

問題

下の図のように、関数ｙ＝ａｘ²（ａ＞０）のグラフ上に３点Ａ、Ｂ、Ｃがあり、点Ａの座標は（６，９）、点Ｂのｘ座標は４、点Ｃのｘ座標は－４である。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）ａの値を求めなさい。

2）直線ＡＣの式を求めなさい。

3）点Ｂを通り、四角形ＯＢＡＣの面積を２等分する直線の式を求めなさい。

1）

ｙ＝ａｘ²は（６，９）を通るから

９＝ａ×６²

ａ＝1/4

2）

点Ｃは、

ｙ＝（1/4）ｘ²上にあり、ｘ＝－４だから

ｙ＝（1/4）×（－４）²＝４

Ａ（６，９）　Ｃ（－４，４）

ｘの増加量　６－（－４）＝10

ｙの増加量　９－４＝５

傾き　５／10＝1/2

求める式の切片をｂとする

ｙ＝（1/2）ｘ＋ｂ

ｘ＝６、ｙ＝９を代入

９＝（1/2）×６＋ｂ

ｂ＝６

よって、ｙ＝（1/2）ｘ＋６

3）

四角形ＯＢＡＣの面積を、

△ＯＢＣ＋△ＡＢＣとして求める。

△ＯＢＣの底辺ＢＣは、

Ｂがｘ＝４、Ｃがｘ＝－４だから

４－（－４）＝８

高さは、ＢとＣがｙ＝４だから

４－０＝４

よって、

△ＯＢＣ＝（1/2）×８×４＝16

△ＡＢＣの底辺は△ＯＢＣと共通

高さは、Ａがｙ＝９、Ｂがｙ＝４だから

９－４＝５

よって、

△ＡＢＣ＝（1/2）×８×５＝20

よって、

四角形ＯＢＡＣの面積は、

16＋20＝36

△ＯＢＣ＝16だから

２等分する直線はＡＣ上を通る

２等分する直線とＡＣとの交点をＥとする

△ＥＢＣの高さをｈとする

△ＥＢＣの面積は、18－16＝２だから

（1/2）×ＢＣ×ｈ＝２

（1/2）×８×ｈ＝２

ｈ＝1/2

よって、Ｅのｙ座標は

４＋（1/2）＝9/2

Ｅは、ｙ＝（1/2）ｘ＋６上にあるから

9/2＝（1/2）ｘ＋６

９＝ｘ＋12

ｘ＝－３

よって、

Ｂ（４，４）、Ｅ（－３，9/2）を通る直線になる

ｘの増加量　４－（－３）＝７

ｙの増加量　４－（9/2）＝－1/2

傾き　－1/2÷７＝－1/14

求める式の切片をｃとする

ｙ＝（－1/14）ｘ＋ｃ

ｘ＝４、ｙ＝４を代入

４＝（－1/14）×４＋ｃ

ｃ＝30/7

よって、

ｙ＝（－1/14）ｘ＋（30/7）

👉1次関数練習問題

👉2次関数練習問題

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塾生の声

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（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

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（高校１年）

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