「1次関数」高校受験対策

たむかい学習教室
8月2日
読了時間: 8分

1次関数高校受験対策③

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

学校の夏休みに入りましたが、塾生は１学期の復習と受験対策に取り組んでいます。中学３年生は、入試によく出る「1次関数」について対策を始めています。（ｔ、ｔ＋１）などのように、座標を文字で表しながら解いていく出題がよくあり、グラフ上の図形の辺の長さや面積を求める際にも利用します。

問題

下の図で、①は関数ｙ＝４ｘ－８のグラフであり、点Ａは①上の点でｘ座標が３である。点Ｂは①とｘ軸との交点である。点Ｃはｘ軸上の点でｘ座標が－３である。あとの各問いに答えなさい。

1）点Ａのｙ座標を求めなさい。

2）点Ｂのｘ座標を求めなさい。

3）直線ＡＣの式を求めなさい。

4）①上に点Ｐを、直線ＡＣ上に点Ｑを、△ＡＢＣ≡△ＡＰＱとなるようにそれぞれとる。このとき、点Ｑの座標を求めなさい。ただし、△ＡＢＣと△ＡＰＱにおいて、点Ｂ、Ｃとそれぞれ対応する点をＰ、Ｑとする。また、点Ｐ、Ｑはそれぞれ、点Ｂ、Ｃとは異なる点とする。

1）

点Ａは①上にあるから、

ｙ＝４ｘ－８に、ｘ＝３を代入

ｙ＝12－８

　＝４

よって、Ａのｙ座標は４

2）

点Ｂはｘ軸上にあり、ｙ＝０の点

①上の点だから

ｙ＝４ｘ－８に、ｙ＝０を代入

４ｘ－８＝０

ｘ＝２

よって、Ｂのｘ座標は２

3）

Ａ（３，４）　Ｃ（－３，０）

ｘの増加量

３－（－３）＝６

ｙの増加量

４－０＝４

変化の割合（傾き）

４／６＝２／３

切片の値をｂとする

ｙ＝2/3ｘ＋ｂ

これに、（－３，０）を代入

－２＋ｂ＝０

ｂ＝２

よって、直線ＡＣの式は、

ｙ＝2/3ｘ＋２

4）

△ＡＢＣ≡△ＡＰＱとなるから、

ＢＣ＝ＰＱ

ＢＣの長さ

ＢとＣｘ座標はそれぞれ２、－３だから、

ＢＣ

＝２－（－３）

＝５

よって、ＰＱ＝５

点Ｑのｘ座標をｔとする

ＰＱ＝５より、点Ｐのｘ座標はｔより５小さい値だから、ｔ－５

点Ｐはｙ＝４ｘ－８上にあるから、

ｙ座標は、

４（ｔ－５）－８

＝４ｔ－28

また、

点Ｑはｙ＝2/3ｘ＋２上にあるから、

ｙ座標は、2/3ｔ＋２

∠ＡＢＣ＝∠ＡＰＱ、

∠ＡＣＢ＝∠ＡＱＰだから、

ＢＣ//ＰＱ

点ＰとＱのｙ座標は等しいので、

４ｔ－28＝2/3ｔ＋２

12ｔ－84＝２ｔ＋６

10ｔ＝90

ｔ＝９

点Ｑを（ｔ，2/3ｔ＋２）としたから、

Ｑ（９，８）

問題

図１で、①は関数ｙ＝－ｘ＋８、②は関数ｙ＝1/3ｘ＋４のグラフである。点Ａは①とｘ軸の交点、点Ｂは①と②の交点である。

1）①の関数ｙ＝－ｘ＋８について、ｘの変域が－２≦ｘ≦４のとき、ｙの変域を求めなさい。

2）点Ｂの座標を求めなさい。

1）

ｘ＝－２のとき

ｙ＝２＋８

　＝10

ｘ＝４のとき

ｙ＝－４＋８

　＝４

よって、ｙの変域は、

４≦ｙ≦10

2）

点Ｂは①と②の交点で、ｙの値が等しいから、

－ｘ＋８＝1/3ｘ＋４

－３ｘ＋24＝ｘ＋12

－４ｘ＝－12

ｘ＝３

①に代入

ｙ＝－３＋８

　＝５

よって、点Ｂの座標は、

（３，５）

3）図２は、図１の②上にｘ座標が８より大きい点Ｐをとり、また、点Ｐを通り、ｙ軸と平行な直線を引き、ｘ軸との交点をＱとしたものである。点Ｐのｘ座標をｔとしたとき、次のア、イに答えなさい。

ア

線分ＡＱの長さを、ｔを用いて表しなさい。

イ

ＡＱ：ＰＱ＝１：２であるとき、四角形ＡＱＰＢの面積を求めなさい。

ア

点Ｐのｘ座標をｔとするから、

点Ｑのｘ座標はｔ

点Ａは①上にあり、ｙ＝０だから、

ｙ＝－ｘ＋８にｙ＝０を代入

－ｘ＋８＝０

ｘ＝８

点Ａのｘ座標は８

よって、

ＡＱの長さは、

ｔ－８

イ

ｘ軸とＰＱは平行だから、

点Ｐのｙの値がＰＱの長さになる。

点Ｐは②上にあり、ｘ＝ｔだから、

ｙ＝1/3ｔ＋４

よって、

ＰＱの長さは、

1/3ｔ＋４

ＡＱ：ＰＱ＝１：２より、

（ｔ－８）：（1/3ｔ＋４）＝１：２

２ｔ－16＝1/3ｔ＋４

６ｔ－48＝ｔ＋12

５ｔ＝60

ｔ＝12

よって、

ＡＱ＝４、ＰＱ＝８

①とｙ軸との交点をＣとする

点ＣとＰのｙ座標は同じ値で、ＣＰ//ＡＱだから、四角形ＣＰＱＡは台形

この面積から、△ＣＰＢの面積をひいて求める。

四角形ＣＰＱＡの面積

上底ＣＰ＝12

下底ＡＱ＝４

高さＰＱ＝８

（12＋４）×８×1/2

＝64

△ＣＰＢの面積

底辺ＣＰ＝12

高さは、

点ＢからＣＰへの垂線の長さ

点Ｂのｙ座標は５だから、

８－５＝３

12×３×1/2

＝18

よって、

四角形ＡＱＰＢの面積は、

64－18

＝46

問題

下の図で、直線①は関数ｙ＝－２ｘ＋12のグラフであり、点Ａは①上の点で、座標は（３，６）である。直線②は点Ａを通り、傾きがａの直線である。ただし、－２＜ａ＜２とする。①とｘ軸との交点をＢ、①とｙ軸との交点をＣ、②とｙ軸との交点をＤとする。あとの各問いに答えなさい。

1）点Ｂのｘ座標を求めなさい。

2）ａ＝2/3のとき、直線②の式を求めなさい。

3）点Ｄのｙ座標を、ａを使った最も簡単な式で表しなさい。

4）△ＡＣＤの面積が△ＯＢＣの面積の5/12倍となるとき、ａの値を求めなさい。

1）

点Ｂは①上にあり、ｙ＝０だから、

ｙ＝－２ｘ＋12にｙ＝０を代入

－２ｘ＋12＝０

ｘ＝６

よって、

点Ｂのｘ座標は、６

2）

求める式の切片の値をｂとする

ｙ＝2/3ｘ＋ｂ

点Ａ（３，６）を通るから、

ｘ＝３、ｙ＝６を代入

２＋ｂ＝６

ｂ＝４

よって、②の式は、

ｙ＝2/3ｘ＋４

3）

②の式を、ｙ＝ａｘ＋ｃとする

点Ａ（３，６）を通るから、

ｘ＝３、ｙ＝６を代入

３ａ＋ｃ＝６

切片ｃの値が、点Ｄのｙ座標の値だから、

ｃ＝６－３ａ

よって、点Ｄのｙ座標は、

６－３ａ（または－３ａ＋６）

4）

△ＡＣＤ

底辺をＣＤ、

高さを点Ａとｙ軸との距離とする。

点Ｃのｙ座標は12だから、

ＣＤの長さは、

12－（６－３ａ）

＝６＋３ａ

高さは、

点Ａのｘ座標が３だから、３

△ＡＣＤの面積は、

（６＋３ａ）×３×1/2

＝３（６＋３ａ）/２

△ＯＢＣ

底辺をＯＢ、高さをＣＯとする。

ＯＢ＝６

ＣＯ＝12

△ＯＢＣの面積は、

６×12×1/2

＝36

△ＡＣＤ＝5/12△ＯＢＣだから、

３（６＋３ａ）/２＝5/12×36

３（６＋３ａ）＝30

６＋３ａ＝10

ａ＝4/3

－２＜ａ＜２を満たすので、

求めるａの値は、4/3

問題

下の図で、①は関数ｙ＝－1/2ｘ＋５のグラフ、②は傾き１で、点（５，４）を通る直線である。①とｙ軸との交点をＡ、②とｙ軸との交点をＢ、①と②の交点をＣとする。あとの各問いに答えなさい。

1）①のグラフにおいて、ｘ＝０のときのｙの値を求めなさい。

2）②の直線の式を求めなさい。

3）点Ｃの座標を求めなさい。

4）点Ｃを通り、△ＡＢＣの面積を２等分する直線の式を求めなさい。

1）

ｙ＝－1/2ｘ＋５に、

ｘ＝０を代入

ｙ＝５

2）

②の切片の値をｂとする

傾き１だから、

ｙ＝ｘ＋ｂ

（５，４）を通るから、

ｘ＝５、ｙ＝４を代入

５＋ｂ＝４

ｂ＝－１

よって、求める式は、

ｙ＝ｘ－１

3）

①と②のｙが同じ値となるから、

－1/2ｘ＋５＝ｘ－１

－ｘ＋10＝２ｘ－２

ｘ＝４

②の式に代入

ｙ＝４－１

　＝３

よって、

点Ｃの座標は、

（４，３）

4）

点ＣとＡＢの中点を通る線になる

ＡＢの中点をＭとする

点ＡとＢのｙ座標は

それぞれ５と－１だから、

ＡＢの長さは、

５－（－１）

＝６

ＡＭ＝ＭＢ＝３だから、

Ｍのｙ座標は、２

求める式の切片が２となるから、

傾きをａとして、

ｙ＝ａｘ＋２

点Ｃ（４，３）を通るから、

ｘ＝４、ｙ＝３を代入

４ａ＋２＝３

ａ＝1/4

よって、求める式は、

ｙ＝1/4ｘ＋２

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今年度塾生28名（2025年4月現在）

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当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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