2次関数のグラフ高校数学

たむかい学習教室
8月22日
読了時間: 7分

2次関数のグラフ高校数学

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

学校の夏休みも後半に入っています。塾生は１学期の復習や受験対策を行っています。高校数Ⅰでは、2次関数の単元に入り、平方完成やグラフの軸と頂点など、式のつくり方やグラフの表し方について復習を進めています。

放物線の平行移動

問題

次の関数のグラフをｘ軸方向に－１、ｙ軸方向に１だけ平行移動したグラフの方程式を求めよ。

1）ｙ＝２ｘ²

2）ｙ＝ｘ²－２ｘ＋３

1）

ｙ＝２ｘ²

グラフの頂点は（０，０）

移動後の頂点は（－１，１）

よって、

ｙ＝２（ｘ＋１）²＋１

2）

ｙ＝ｘ²－２ｘ＋３より

ｙ＝（ｘ－１）²－１＋３

ｙ＝（ｘ－１）²＋２

頂点は（１，２）

移動後の頂点は（０，３）

よって、求める方程式は、

ｙ＝ｘ²＋３

問題

ｙ＝－３ｘ²＋２ｘ＋１のグラフは、ｙ＝－３ｘ²－２ｘ－１のグラフをどのように平行移動すれば得られるか。

ｙ＝－３ｘ²＋２ｘ＋１より

ｙ

＝－３（ｘ²－2/3ｘ）＋１

＝－３｛（ｘ－1/3）²－1/9｝＋１

＝－３（ｘ－1/3）²＋4/3

頂点は（1/3，4/3）

ｙ＝－３ｘ²－２ｘ－１より

ｙ

＝－３（ｘ²＋2/3ｘ）－１

＝－３｛（ｘ＋1/3）²－1/9｝－１

＝－３（ｘ＋1/3）²－2/3

頂点は（－1/3，－2/3）

２点のｘ座標より

1/3－（－1/3）

＝2/3

２点のｙ座標より

4/3－（－2/3）

＝２

よって、

ｘ軸方向に2/3、ｙ軸方向に２

問題

次の条件をみたす2次関数のグラフの方程式を求めよ。

1）頂点が（２，１）で、点（３，－１）を通る

2）ｘ軸と２点（１，０）、（３，０）で交わり、ｙ切片が３

1）

頂点（２，１）より

ｙ＝ａ（ｘ－２）²＋１

点（３，－１）を通るから

ａ（３－２）²＋１＝－１

ａ＝－２

よって、

ｙ＝－２（ｘ－２）²＋１

2）

ｘ切片が１と３だから

ｙ＝ａ（ｘ－１）（ｘ－３）

ｙ切片が３で、

（０，３）を通るから

ａ・（－１）・（－３）＝３

ａ＝１

よって、

ｙ＝（ｘ－１）（ｘ－３）

3）３点（－１，－２）、（１，６）、（２，７）を通る

4）３点（－１，２）、（１，２）、（２，５）を通る

3）

求める２次関数を

ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃとする

それぞれのｘとｙの値を代入

ａ－ｂ＋ｃ＝－２　　①

ａ＋ｂ＋ｃ＝６　　　②

４ａ＋２ｂ＋ｃ＝７　③

①－②

　　ａ－ｂ＋ｃ＝－２

－）ａ＋ｂ＋ｃ＝６

　　　　　　ｂ＝４

②－③

　　　ａ＋　ｂ＋ｃ＝６

－）４ａ＋２ｂ＋ｃ＝７

　－３ａ－　ｂ　　＝－１

３ａ＋ｂ＝１

ｂ＝４を代入

３ａ＋４＝１

ａ＝－１

①にａ＝－１、ｂ＝４を代入

－１－４＋ｃ＝－２

ｃ＝３

よって、求める式は、

ｙ＝－ｘ²＋４ｘ＋３

4）

３点（－１，２）、（１，２）、（２，５）

ａ－ｂ＋ｃ＝２　　　①

ａ＋ｂ＋ｃ＝２　　　②

４ａ＋２ｂ＋ｃ＝５　③

①－②

　　ａ－ｂ＋ｃ＝２

－）ａ＋ｂ＋ｃ＝２

　　　　　　ｂ＝０

②－③

　　　ａ＋　ｂ＋ｃ＝２

－）４ａ＋２ｂ＋ｃ＝５

　－３ａ－　ｂ　　＝－３

３ａ＋ｂ＝３

ｂ＝０を代入

ａ＝１

②にａ＝１、ｂ＝０を代入

ｃ＝１

よって、求める式は、

ｙ＝ｘ²＋１

5）ｘ軸に接し、２点（０，２）、（２，２）を通る

ｘ軸に接するから、

頂点は、ｙ＝０

（０，２）と（２，２）を通るから、

軸は、ｘ＝１

ｙ＝ａ（ｘ－１）²

（０，２）を代入

ａ（０－１）²＝２

ａ＝２

よって、求める式は、

ｙ＝２（ｘ－１）²

問題

ａ、ｂを定数とする。

放物線

Ｇ：ｙ＝ｘ²＋ａｘ＋ｂ

は、２点（０，２）、（１，１）を通る。

1）

ａ、ｂの値をそれぞれ求めよ。また、Ｇの頂点の座標を求めよ。

2）-ⅰ)

Ｇをｙ軸に関して対称移動した放物線をＣ₁とする。Ｃ₁の方程式を求めよ。

2）-ⅱ)

Ｇをｘ軸に関して対称移動した放物線をＣ₂とする。Ｃ₂の方程式を求めよ。

3）

３つの放物線Ｇ、Ｃ₁、Ｃ₂の頂点をそれぞれＡ、Ｂ、Ｃとし、Ｇを平行移動した放物線のうち、頂点が線分ＢＣ上（両端を除く）にある放物線をＨとする。

さらに、Ｈは点（－1/3，1/3）を通り、線分ＡＣ（両端を除く）と点Ｐで交わり、線分ＡＢ（両端を除く）と点Ｑで交わる。このとき、Ｐ、Ｑの座標をそれぞれ求めよ。

1）

ｙ＝ｘ²＋ａｘ＋ｂに、

（０，２）、（１，１）を代入

ｂ＝２

１＋ａ＋ｂ＝１

ａ＋ｂ＝０

ｂ＝２だから

ａ＝－２

以上から、Ｇの式は、

ｙ＝ｘ²－２ｘ＋２

ｙ＝（ｘ－１）²＋１

よって、求める頂点は、

（１，１）

2）-ⅰ)

ｙ軸に関して対称移動するから、

ｘ座標は異符号になる

ｙ＝ｘ²－２ｘ＋２より

ｙ＝（－ｘ）²－２（－ｘ）＋２

よって、求める式Ｃ₁は、

ｙ＝ｘ²＋２ｘ＋２

2）-ⅱ)

ｘ軸に関して対称移動するから、

ｙ座標は異符号になる

ｙ＝ｘ²－２ｘ＋２より

－ｙ＝ｘ²－２ｘ＋２

ｙ＝－ｘ²＋２ｘ－２

3）

放物線Ｃ₁の頂点

ｙ＝ｘ²＋２ｘ＋２

ｙ＝（ｘ＋１）²＋１

よって、

点Ｂ（－１，１）

放物線Ｃ₂の頂点

ｙ＝－ｘ²＋２ｘ－２

ｙ

＝－（ｘ²－２ｘ）－２

＝－｛（ｘ－１）²－１｝－２

＝－（ｘ－１）²－１

よって、

点Ｃ（１，－１）

線分ＢＣの式は、

Ｂ（－１，１）と

Ｃ（１，－１）を通るから

ｙ＝－ｘ

※２点は両座標どうしがともに異符号

👉原点について対称な点

放物線Ｈの頂点のｘ座標をｔとする

頂点はｙ＝－ｘ上にあるから、

（ｔ，－ｔ）

これにより、Ｈの式を、

ｙ＝（ｘ－ｔ）²－ｔとおく

ただし、

点Ｂ、点Ｃを除くとあるから、

－１＜ｔ＜１　①

点（－1/3，1/3）を通るから、

（－1/3－ｔ）²－ｔ＝1/3

ｔ²－1/3ｔ－2/9＝０

９ｔ²－３ｔ－２＝０

（３ｔ－２）（３ｔ＋１）＝０

ｔ＝2/3、－1/3

どちらの解も①を満たす

ｔ＝2/3のとき

Ｈの式は、

ｙ＝（ｘ－2/3）²－2/3

線分ＡＣは、

（１，１）と（１，－１）を通るから

ｘ＝１の直線

これと交わる点Ｐのｙ座標は、

ｙ＝（１－2/3）²－2/3

　＝1/9－6/9

　＝－5/9

よって、点Ｐの座標は、

（１，－5/9）

線分ＡＢは、

（１，１）と（－１，１）を通るから

ｙ＝１の直線

これと交わる点Ｑのｘ座標は、

（ｘ－2/3）²－2/3＝１

（ｘ－2/3）²＝5/3

ｘ－2/3＝±√5/√3

　　２±√15

ｘ＝━━━━

　　　３

点Ｑは、ｘ＜０だから、

　　２－√15

ｘ＝━━━━

　　　３

よって、点Ｑのｙ座標は、

　２－√15

（━━━━，１）

　　３

ｔ＝－1/3のとき、

Ｈの式は、

ｙ＝（ｘ＋1/3）²＋1/3

線分ＡＣ（ｘ＝１）との交点は、

ｙ＝（１＋1/3）²＋1/3

　＝19/9

ｙ＝19/9となり、交点をもたない。

以上から

点Ｐ（１，－5/9）

　　　２－√15

点Ｑ（━━━━，１）

　　　　３

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（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

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