- たむかい学習教室
- 4月7日
- 読了時間: 11分
直線の式
新学期がスタートしました。塾生は新しい学年に向けた準備を進めています。
比例を含めた１次関数は、中学３年間そして高校進学後にも続く関数学習の土台になります。式の意味とグラフの見方を正しく理解することが基本になります。１次関数は、グラフ上では直線で表されます。
問題
下の図のように、関数ｙ＝－４ｘと関数ｙ＝ａ/ｘのグラフが点Ｐで交わっている。Ｐのｘ座標が２のとき、ａの値を求めなさい。
点Ｐは、ｘ＝２
ｙ＝－４ｘ上にあるから
ｙ＝－４×２＝－８
ｙ＝ａ/ｘは（２，－８）を通るから
ａ＝２×（－８）＝－16
よって、－16
問題
下の図の四角形ＡＢＣＤは、１辺の長さが６cmの正方形である。点Ｐは、辺ＣＤ上を点ＣからＤまで進む。点Ｐが点Ｃからｘcm進んだときの△ＢＣＰの面積をｙcm²とする。このとき、あとの問いに答えなさい。
1）ｙをｘの式で表しなさい。
2）△ＢＣＰの面積が12cm²になるのは、点ＰがＣから何cm進んだときか、求めなさい。
1）
∠ＢＣＰ＝90°だから
△ＢＣＰ＝（1/2）×ＢＣ×ＰＣ
よって、
ｙ＝（1/2）×６×ｘ
ｙ＝３ｘ
2）
ｙ＝12のときだから
12＝３ｘ
ｘ＝４
よって、４cm
問題
水が２Ｌ入っている水そうに、一定の割合で水を入れる。水を入れ始めてから３分後には、水そうの中の水の量は11Ｌになった。
1）１分間ごとに、水の量は何Ｌずつ増えたか求めなさい。
2）水を入れ始めてからｘ分後の水そうの中の水の量をｙＬとして、ｙをｘの式で表しなさい。
1）
はじめ２Ｌ入っていたから
３分間で入った量は、
11－２＝９Ｌ
よって、９Ｌ÷３分＝３Ｌ/分
１分間ごとに、３Ｌずつ増えた
2）
一定の割合で入れるから
１次関数の式で表す
はじめ２Ｌ入っていたから、切片２
ｘが１増加するとｙは３増加するから、傾き３
よって、ｙ＝３ｘ＋２
問題
次の条件をみたす１次関数の式を求めなさい。
1）変化の割合が２で、ｘ＝１のときｙ＝－１
2）グラフが２点（－３，３）、（３，５）を通る。
1）
切片の値をｂとする
ｙ＝２ｘ＋ｂ
ｘ＝１、ｙ＝－１を代入
－１＝２×１＋ｂ
ｂ＝－３
よって、ｙ＝２ｘ－３
2）
（－３，３）（３，５）を通る直線だから
ｘの増加量 ３－（－３）＝６
ｙの増加量 ５－３＝２
傾き ２/６＝１/３
切片の値をｃとする
ｙ＝（1/3）ｘ＋ｃ
（３，５）を通るから
５＝（1/3）×３＋ｃ
ｃ＝４
よって、ｙ＝（1/3）ｘ＋４
問題
下の図のように、２つの直線ℓ、mが交わっているとき、交点の座標を求めなさい。
直線ℓの切片は６
ｘが６増加すると、ｙは６増加するから
傾きは、６/６＝１
よって、
直線ℓ：ｙ＝ｘ＋６
直線mの切片は－４
ｘが２増加すると、ｙは－４増加するから
傾きは、－４/２＝－２
よって、
直線m：ｙ＝－２ｘ－４
２式の連立方程式より
ｘ＋６＝－２ｘ－４
ｘ＝－10/3
ｙ＝ｘ＋６に代入
ｙ＝（－10/3）＋６＝8/3
よって、（－10/3，8/3）
問題
弟が午前10時に家を出発し、自転車でＡ町まで行き、Ａ町からは歩いてＢ町に行った。右のグラフは、弟が家を出発してからの時間と道のりの関係を表したものである。
1）家からＡ町まで行ったときの、自転車の分速を求めなさい。
2）10時20分に、姉が自転車で家を出発し、分速300mで弟を追いかけた。姉が弟に追いつく時刻と地点をそれぞれ求めなさい。
1）
直線の傾きは「速さ」を表す
傾きの変わり目は（25，5000）
原点と（25，5000）を通る直線だから
ｘの増加量 25－０＝25
ｙの増加量 5000－０＝5000
傾き 5000/25＝200
よって、分速200m
2）
姉は10時25分のとき
分速300m×５分＝1500mの地点にいる
よって、
姉の直線と、弟がＢ町に行くときの直線の交点を求める。
姉は分速300mで進むから、傾き300
切片の値をｂとする
ｙ＝300ｘ＋ｂ
（20、０）を通るから
０＝300×20＋ｂ ｂ＝－6000
よって、ｙ＝300ｘ－6000 ①
弟がＢ町に行くときは
（25，5000）と（40，6000）を通るから
ｘの増加量 40－25＝15
ｙの増加量 6000－5000＝1000
傾き 1000/15＝200/3
切片の値をｃとする
ｙ＝（200/3）ｘ＋ｃ
（25，5000）を通るから
5000＝（200/3）×25＋ｃ
ｃ＝10000/3
よって、
ｙ＝（200/3）ｘ＋（10000/3） ②
①、②の連立方程式より
300ｘ－6000＝（200/3）ｘ＋（10000/3）
ｘ＝40
①に代入
ｙ＝300×40－6000＝6000
よって、
10時40分、6000mの地点
問題
次の条件をみたす１次関数の式を求めなさい。
1）グラフが点（－２，２）を通り、直線ｙ＝ｘ－６とｘ軸上の点で交わる。
2）グラフが２直線ｙ＝（1/2）ｘ、ｙ＝－２ｘ＋５の交点を通り、直線ｙ＝３ｘ－１に平行
1）
ｙ＝ｘ－６とｘ軸との交点を求める
ｘ軸上は、ｙ＝０だから
０＝ｘ－６ ｘ＝６
よって、（６，０）
（６，０）と（－２，２）を通る直線だから
ｘの増加量 ６－（－２）＝８
ｙの増加量 ０－２＝－２
傾き －２/８＝－１/４
切片の値をｂとする
ｙ＝（－1/4）ｘ＋ｂ
（６，０）を通るから
０＝（－1/4）×６＋ｂ
ｂ＝3/2
よって、
ｙ＝（－1/4）ｘ＋（3/2）
2）
２直線の交点は、連立方程式より
（1/2）ｘ＝－２ｘ＋５
ｘ＝２
ｙ＝（1/2）ｘに代入し、ｙ＝１
求める式とｙ＝３ｘ－１の傾きは同じ
切片の値をｃとする
ｙ＝３ｘ＋ｃ
（２，１）を通るから
１＝３×２＋ｃ
ｃ＝－５
よって、ｙ＝３ｘ－５
問題
下の図で、直線mの式はｙ＝２ｘ＋ｂ、直線nの式はｙ＝－ｘ＋10で、点Ｐは２つの直線の交点である。また、点Ａ、Ｂはそれぞれ直線m、nとｘ軸との交点で、Ａのｘ座標は－２である。あとの問いに答えなさい。
1）ｂの値を求めなさい。
2）△ＡＢＰの面積を求めなさい。ただし、座標の１目もりを１cmとする。
3）点Ｐを通り、△ＡＢＰの面積を２等分する直線の式を求めなさい。
1）
点Ａは、ｘ＝－２、ｙ＝０
ｙ＝２ｘ＋ｂ上にあるから
０＝２×（－２）＋ｂ
よって、ｂ＝４
2）
交点Ｐの座標を求める
２式の連立方程式より
２ｘ＋４＝－ｘ＋10
ｘ＝２
ｙ＝２ｘ＋４に代入
ｙ＝２×２＋４＝８
△ＡＢＰの底辺をＡＢ、高さを垂線ＡＨとする
点Ｂは、
ｙ＝－ｘ＋10上にあり、ｙ＝０だから
０＝－ｘ＋10 ｘ＝10
よって、
ＡＢ＝10－（－２）＝12cm
👉ｘの値の差
ＡＨ＝８－０＝８cm
👉ｙの値の差
よって、
△ＡＢＰの面積は、
（1/2）×12×８＝48cm²
3）
２等分した２つの三角形は高さが同じ
👉点Ｐを通る
よって、ＡＢの中点を通る直線になる
ＡＢの中点のｘ座標は
｛10＋（－２）｝÷２＝４
👉２点の値の平均
（４，０）（２，８）を通る直線だから
ｘの増加量 ４－２＝２
ｙの増加量 ０－８＝－８
傾き －８/２＝－４
切片の値をｃとする
ｙ＝－４ｘ＋ｃ
（４，０）を通るから
０＝－４×４＋ｃ ｃ＝16
よって、ｙ＝－４ｘ＋16
2026年 青森県立高校入試（3/5実施）
大問４「一次関数のグラフ」
1）
点Ａは、
ｙ＝ａｘ²上にあり、ｘ＝２だから
ｙ＝ａ×２²＝４ａ
よって、４ａ
2）
底面が半径ＯＢの円、高さＣＯの円錐
点Ｂは、
ｙ＝－ｘ＋２上にあり、ｙ＝０だから
０＝－ｘ＋２
ｘ＝２
よって、
ＯＢ＝２－０＝２cm（ｘの値の差）
Ｃはｙ＝２だから
ＣＯ＝２－０＝２cm（ｙの値の差）
よって、
（1/3）×π×２²×２
＝（8/3）π cm³
3）ア
点Ａ、Ｂはともにｘ＝２だから
ＡＢ//ＥＯ
よって、四角形は台形である
∠ＢＯＥ＝90°より、高さはＯＢ
面積を求める式は
（1/2）×（ＥＯ＋ＡＢ）×ＯＢ
ＡＢ＝４ａ－０＝４ａ cmだから
（1/2）×（ＥＯ＋４ａ）×２＝４ａ＋３
ＥＯ＋４ａ＝４ａ＋３
ＥＯ＝３
よって、点Ｅはｙ＝３
求める座標は、（０，３）
3）イ
２つの三角形の底辺をＥＣ、ＣＯとする
ＥＣ＝３－２＝１cm、
ＣＯ＝２cmだから
△ＤＣＥの高さが△ＯＢＣの高さの２倍になるとき
ＯＢ＝２cmより、
△ＤＣＥの高さは、２×２＝４cm
点Ｄとｙ軸との距離が４cmだから
点Ｄは、ｘ＝－４
よって、ｙ＝ａ×（－４）²＝16ａ
点Ｄは、ｙ＝－ｘ＋２上にあるから
16ａ＝－（－４）＋２
16ａ＝６
ａ＝3/8
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現在の塾生 31名（2026年3月）
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私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストの度に得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。
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勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。
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これからもこの塾で！
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