おうぎ形練習問題

たむかい学習教室
1月3日
読了時間: 8分

おうぎ形練習問題

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

おうぎ形の弧の長さと面積を求める問題では、半径と中心角を利用します。おうぎ形は円の一部分を切り取った図形であり、円全体のいくつ分にあたるかを考えます。

問題

下の図の４つのおうぎ形ＯＡＢ、ＯＢＣ、ＯＣＤ、ＯＤＥは、中心角がすべて等しい。おうぎ形ＯＡＢの弧の長さが６πcm、面積が54πcm²のとき、次の問いに答えなさい。

1）点ＣをふくむほうのＢ⌒Ｄの長さを求めなさい。

2）点ＢをふくむほうのＡ⌒Ｅの長さを求めなさい。

3）おうぎ形ＯＢＥの面積を求めなさい。

1）

中心角１つ分に対する弧の長さは６πcm

中心角２つ分だから

Ｂ⌒Ｄ＝６π×２＝12π cm

2）

中心角４つ分だから

Ａ⌒Ｅ＝６π×４＝24π cm

3）

中心角１つ分に対する面積は54πcm²

中心角３つ分だから

おうぎ形ＯＢＥ（半円）

＝54π×３＝162π cm²

問題

1）次のような円の周の長さを求めなさい。

①　半径２cm

②　半径６cm

2）次のようなおうぎ形の弧の長さを求めなさい。

①　半径２cm、中心角90°

②　半径６cm、中心角150°

1）①

円周の長さの公式より

２π×２＝４π cm

1）②

２π×６＝12π cm

2）①

90°/360°＝1/4

円周の1/4にあたる長さだから

４π×（1/4）＝π

よって、π cm

2）②

150°/360°＝5/12

円周の5/12にあたる長さだから

12π×（5/12）＝５π

よって、５π cm

問題

1）次のような円の面積を求めなさい。

①　半径12cm

②　半径４cm

2）次のようなおうぎ形の面積を求めなさい。

①　半径12cm、中心角60°

②　半径４cm、中心角270°

1）①

円の面積の公式より

π×12²＝144π cm²

1）②

π×４²＝16π cm²

2）①

60°/360°＝1/6

円の面積の1/6にあたるから

144π×（1/6）＝24π

よって、24π cm²

2）②

270°/360°＝3/4

円の面積の3/4にあたるから

16π×（3/4）＝12π

よって、12π cm²

問題

下の図の円Ｏで、５つの点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅは、円周を５等分する点である。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）点ＢをふくむほうのＡ⌒Ｃの長さは、点ＤをふくむほうのＣ⌒Ａの長さの何倍か、求めなさい。

2）点Ｄをふくむほうのおうぎ形ＯＣＥの面積は、点Ｃをふくまないほうのおうぎ形ＯＡＢの面積の何倍か、求めなさい。

1）

Ａ⌒Ｃは中心角２つ分、

Ｃ⌒Ａは中心角３つ分に対する長さ

よって、

２÷３＝2/3倍

2）

ＯＣＥは中心角２つ分、

ＯＡＢは中心角１つ分に対する面積

よって、

２÷１＝２倍

問題

下の図は、正方形ＡＢＣＤと、おうぎ形ＢＡＣを組み合わせた図形である。正方形の１辺の長さが８cmのとき、色のついた部分の周の長さと面積をそれぞれ求めなさい。

周の長さは、

正方形の２辺＋おうぎ形の弧

正方形２辺の長さは、

８×２＝16cm

おうぎ形の弧の長さは、

半径８cm、中心角90°だから

２π×８×（90°/360°）＝４π cm

よって、求める長さは、

（16＋４π）cm

面積は、

長方形の面積－おうぎ形の面積

長方形の面積は、

８²＝64cm²

おうぎ形の面積は、

π×８²×（90°/360°）＝16π cm²

よって、求める面積は、

（64－16π）cm²

問題

下の図は、半径６cm、中心角60°のおうぎ形ＯＡＢと、半径３cm、中心角60°のおうぎ形ＯＣＤを組み合わせた図形である。色のついた部分の周の長さと面積をそれぞれ求めなさい。

周の長さは、

Ａ⌒Ｂ＋Ｃ⌒Ｄ＋ＡＣ×２

Ａ⌒Ｂの長さ

半径６cm、中心角60°だから

２π×６×（60°/360°）＝２π cm

Ｃ⌒Ｄの長さ

半径３cm、中心角60°だから

２π×３×（1/6）＝π cm

ＡＣ＝ＡＯ－ＣＯ＝３cm

よって、求める長さは、

２π＋π＋３×２＝３π＋６

（３π＋６）cm

面積は、

おうぎ形ＯＡＢ－ＯＣＤ

ＯＡＢの面積は、

半径６cm、中心角60°だから

π×６²×（1/6）＝６π cm²

ＯＣＤの面積は、

半径３cm、中心角60°だから

π×３²×（1/6）＝（3/2）π cm²

よって、求める面積は、

６π－（3/2）π＝（9/2）π

（9/2）π cm²

問題

下の図は、直径が６cmの半円Ｏと、半径が６cmで、中心角が40°のおうぎ形ＡＢＣを組み合わせたものである。図形Ｍの面積は、図形Ｎの面積より何cm²大きいか、求めなさい。

半円とおうぎ形の共通部分が、赤色の部分になるから

（半円の面積）－（おうぎ形の面積）

で求められる。

半円の面積は、半径が３cmだから

π×３²×（1/2）

＝（9/2）π cm²

おうぎ形の面積は、

半径６cm、中心角40°だから

π×６²×（40°/360°）

＝４π cm²

よって、求める面積は、

（9/2）π－４π＝（1/2）π

（1/2）π cm²

問題

下の図のように、おうぎ形ＯＡＢとおうぎ形ＯＣＤがある。点Ａは線分ＯＤ上にあり、３点Ｂ、Ｏ、Ｃは一直線上にある。Ａ⌒Ｂの長さが２πcm、ＯＢ＝８cm、ＣＯ＝12cmのとき、Ｃ⌒Ｄの長さを求めなさい。ただし、円周率はπとする。

おうぎ形ＯＡＢの中心角を求める

半径８cmの円周は、

２π×８＝16π cm

円に対しておうぎの弧は２π cm

よって、中心角は、

360°×（2π/16π）＝45°

よって、

おうぎ形ＯＣＤの中心角は、

180°－45°＝135°

半径ＣＯ＝12cmだから

Ｃ⌒Ｄ

＝２π×12×（135°/360°）

＝24π×（3/8）＝９π

よって、９π cm

問題

下の図のように、半径６cm、中心角60°のおうぎ形ＯＡＢと、線分ＯＡ、ＯＢを直径とする半円をかく。このとき、図のかげをつけた部分の面積を求めなさい。ただし、円周率はπとする。

求める面積は、

（半円＋おうぎ形）－（半円）

で求められるから、

おうぎ形の面積になる。

半径６cm、中心角60°だから

π×６²×（60°/360°）

＝６π

よって、６π cm²

円錐

問題

下の図は、円錐の展開図である。おうぎ形の中心角の大きさを求めなさい。

底面の円周＝おうぎ形の弧の長さ

おうぎ形の弧の長さは、

２π×４＝８π cm

半径12cmの円周は、

２π×12＝24π cm

よって、求める中心角は、

360°×（8π/24π）＝120°

※

円錐の場合、中心角は、

360°×（底面の半径／母線）

で求められる。

360°×（4/12）＝120°

回転体

問題

下の図のおうぎ形ＯＡＢは、半径３cm、中心角90°である。このおうぎ形ＯＡＢを、ＡＯを通る直線ℓを軸として１回転させてできる立体の体積と表面積を求めなさい。ただし、円周率はπとする。

おうぎ形を回転させる👉半球

球の体積の公式より

（4/3）π×３³×（1/2）

＝18π cm³

球の表面積の公式より

４π×３²×（1/2）＝18π cm²

半球の底面をふくむから

円の面積の公式より

π×３²＝９π cm²

よって、半球の表面積は、

18π＋９π＝27π cm²

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