一次関数折れ線の最短距離

たむかい学習教室
1月24日
読了時間: 8分

一次関数折れ線の最短距離

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

一次関数のグラフで、「折れ線」の最短距離を求める場合、軸について対称な点をとり、他の２点と一直線上に並ぶときの距離を求めます。中１数学で学習する線対称をもとにした考え方になります。

軸と平行な直線

問題

下の図において、ｍは関数ｙ＝ａｘ²（ａは正の定数）のグラフを表し、ｎは関数ｙ＝（－3/8）ｘ²のグラフを表す。Ａはｎ上の点であり、そのｘ座標は負である。Ｂは、直線ＡＯとｍとの交点のうちＯと異なる点である。Ｃは、Ａを通りｘ軸に平行な直線とＢを通りｙ軸に平行な直線との交点である。Ｃの座標は（７，－６）である。ａの値を求めなさい。

直線ＡＣはｘ軸と平行だから

点Ａのｙ座標はＣと同じ－６

点Ａは、

ｙ＝（－3/8）ｘ²上にあり、ｙ＝－６だから

－６＝（－3/8）ｘ²

ｘ²＝16

ｘ＝±４

ｘ座標は負だから、－４

直線ＡＢは、

Ａ（－４，－６）と原点Ｏを通るから

ｙ＝（－6/－4）ｘ

よって、ｙ＝（3/2）ｘ

直線ＢＣはｙ軸と平行だから

点Ｂのｘ座標はＣと同じ７

点Ｂは、

ｙ＝（3/2）ｘ上にあり、ｘ＝７だから

ｙ＝（3/2）×７＝21/2

さらに、ｙ＝ａｘ²上にあるから

21/2＝ａ×７²

49ａ＝21/2

ａ＝3/14

面積を２等分する直線

問題

下の図のように、関数ｙ＝ｘ²のグラフ上に２点Ａ、Ｂがあり、それぞれのｘ座標が－３、１である。また、四角形ＡＣＢＤは、線分ＡＢを対角線とし、辺ＡＤとｘ軸が平行で、辺ＡＣとｙ軸が平行な長方形である。このとき、長方形ＡＣＢＤの面積を２等分し、傾きが1/2である直線の式を求めなさい。

長方形を２等分するとき、

求める直線は対角線ＡＢの中点を通る。

点Ａは、

ｙ＝ｘ²上にあり、ｘ＝－３だから

ｙ＝（－３）²＝９

点Ｂは、

ｙ＝ｘ²上にあり、ｘ＝１だから

ｙ＝１²＝１

Ａ（－３，９）　Ｂ（１，１）

中点の座標は、

ｘとｙそれぞれの平均値だから

ｘ座標は、（－３＋１）÷２＝－１

ｙ座標は、（９＋１）÷２＝５

求める式の切片の値をｂとする

傾き1/2だから

ｙ＝（1/2）ｘ＋ｂ

対角線ＡＢの中点（－１，５）を通るから

５＝（1/2）×（－１）＋ｂ

ｂ＝11/2

よって、求める式は、

ｙ＝（1/2）ｘ＋11/2

問題

下の図で、Ｏは原点、Ａ、Ｂは関数ｙ＝（1/4）ｘ²のグラフ上の点で、点Ａのｘ座標は正、ｙ座標は９、点Ｂのｘ座標は－４である。また、Ｃはｙ軸上の点で、直線ＣＡはｘ軸と平行である。点Ｃを通り、四角形ＣＢＯＡの面積を２等分する直線の式を求めなさい。

四角形の面積を、

△ＯＡＣ＋△ＯＢＣとして求める。

点Ａは、

ｙ＝（1/4）ｘ²上にあり、ｙ＝９だから

９＝（1/4）ｘ²

ｘ²＝36

ｘ＝±６

ｘ座標は正だから、ｘ＝６

∠ＯＣＡ＝90°、

ＡＣ＝６－０＝６、

ＯＣ＝９－０＝９だから

△ＯＡＣの面積は、

（1/2）×ＡＣ×ＯＣ

＝（1/2）×６×９＝27

点Ｂは、

ｙ＝（1/4）ｘ²上にあり、ｘ＝－４だから

ｙ＝（1/4）×（－４）²＝４

△ＯＢＣの底辺をＯＣ、

高さをＢからｙ軸への垂線ＢＨとする。

ＢＨ＝０－（－４）＝４

△ＯＢＣの面積は、

（1/2）×ＯＣ×ＢＨ

＝（1/2）×９×４＝18

よって、

四角形ＣＢＯＡの面積は、27＋18＝45

２等分した面積は、45×（1/2）＝45/2

△ＯＢＣ＝18だから、

求める直線は、ＯＡ上を通る。

求める直線とＯＡとの交点をＤとする

△ＤＡＣの底辺をＡＣ、

高さをＤＩとすると

（1/2）×ＡＣ×ＤＩ＝45/2

（1/2）×６×ＤＩ＝45/2

ＤＩ＝15/2

ＡとＣのｙ座標が９だから

Ｄのｙ座標は、９－（15/2）＝3/2

直線ＯＡの式は、Ａ（６，９）だから

ｙ＝（9/6）ｘ

　＝（3/2）ｘ

点Ｄは、

ｙ＝（3/2）ｘ上にあり、ｙ＝3/2だから

3/2＝（3/2）ｘ

ｘ＝１

求める式の切片は９だから

ｙ＝ａｘ＋９とする

Ｄ（１，3/2）を通るから

3/2＝ａ×１＋９

ａ＝－15/2

よって、求める式は、

ｙ＝（－15/2）ｘ＋９

折れ線の最短距離

問題

図１、図２は、関数ｙ＝ａｘ²のグラフと、点Ｂ（０，６）を通り、傾きが負の数である直線の２つの交点を、それぞれＡ、Ｃとしたものである。また、直線とｘ軸の交点をＤとする。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）図１について、ａ＝１、ＡＢ：ＢＤ＝１：３のとき、点Ａの座標を求めなさい。

2）図２について、直線の傾きが－１で、ＯＣとＡＣが垂直に交わるとき、△ＡＯＣの面積は27である。ｘ軸上に点Ｐをとり、△ＡＰＣの周の長さが最も短くなるとき、点Ｐのｘ座標を求めなさい。

1）

Ａからｘ軸への垂線をＡＨとする

ＡＨ//ＢＯだから

平行線の比の性質より

ＡＨ：ＢＯ＝ＡＤ：ＢＤ

ＡＤ＝ＡＢ＋ＢＤ＝４、

ＢＯ＝６－０＝６だから

ＡＨ：６＝４：３

ＡＨ＝８

よって、Ａのｙ座標は８

ａ＝１より、放物線はｙ＝ｘ²

点Ａは、

ｙ＝ｘ²上にあり、ｙ＝８だから

ｘ²＝８

ｘ＝±２√２

図１より、Ａのｘ座標は負だから

ｘ＝－２√２

よって、求める座標は、

（－２√２，８）

2）

傾き－１、ＯＣ⊥ＡＣ、△ＡＯＣ＝27から

点ＡとＣの座標を求める。

点Ｃを通りｘ軸に平行な直線とｙ軸の交点をＥとする

直線の傾きが－１だから、ＢＥ＝ＣＥ

また、∠ＢＥＣ＝90°

よって、△ＣＯＢは二等辺三角形

点ＥはＯＢの中点となるから

点Ｅのｙ座標は３

ＢＥ＝ＣＥだから、ｘ座標は３

よって、Ｃ（３，３）

△ＣＯＢの面積は、

（1/2）×ＯＢ×ＣＥ

＝（1/2）×６×３＝９

よって、

△ＡＯＢの面積は、

△ＡＯＣ－△ＣＯＢ＝27－９＝18

△ＡＯＢの高さを点Ａからｙ軸への垂線ＡＨとすると、

（1/2）×ＯＢ×ＡＨ＝18

（1/2）×６×ＡＨ＝18

ＡＨ＝６

よって、点Ａのｘ座標は－６

直線の式は、

直線の傾き－１、切片６だから

ｙ＝－ｘ＋６

点Ａは、ｘ＝－６だから

ｙ＝－（－６）＋６＝12

よって、Ａ（－６，12）

△ＡＰＣの周の長さが最短になるのは

ＡＰ＋ＰＣの長さが最短になるときである。

よって、

点Ａとｘ軸について対称な点をＡ’とすると、

点Ａ’、Ｐ、Ｃが一直線上にあるときになる。

直線ＡＣの式を求める

Ａ’（－６，－12）　Ｃ（３，３）

ｘの増加量　３－（－６）＝９

ｙの増加量　３－（－12）＝15

傾き　15／９＝５／３

切片の値をｂとする

ｙ＝（5/3）ｘ＋ｂ

（３，３）を通るから

３＝（5/3）×３＋ｂ

ｂ＝－２

よって、

直線ＡＣは、ｙ＝（5/3）ｘ－２

点Ｐのｙ座標は０だから

０＝（5/3）ｘ－２

ｘ＝6/5

よって、求める座標は、6/5

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