一次関数の利用速さの問題

たむかい学習教室
3 日前
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一次関数の利用速さの問題

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

一次関数では、速さを利用した問題があります。速さが一定で、ｘの値を時間、ｙの値を道のりとすると、その式は、ｙ＝ａｘ＋ｂまたはｙ＝ａｘで表されます。比例定数（傾きａ）は速さを表します。

速さ・時間・道のり

問題

８km離れた親戚の家に自転車で向かった。途中にあるＰ地までの４kmは下り坂が多く20分で行けたが、Ｐ地からは上り坂が増えて、そこから40分かかった。次の問いに答えなさい。

1）家からＰ地までと、Ｐ地から親戚の家までの時速をそれぞれ求めなさい。

2）家から６kmの地点まで何分かかったか、求めなさい。

3）家を出て30分後に、親戚の家まで残り何kmの地点まで来ていたか求めなさい。

1）

家からＰ地まで

４kmの道のりを20分で進む

時速で求めるから

20分＝20/60時間＝1/3時間

道のり÷時間＝速さだから

４÷1/3＝12

よって、時速12km

Ｐ地から親戚の家まで

道のりは残り４kmである

４kmの道のりを40/60時間で進む

４÷2/3＝６

よって、時速６km

2）

Ｐ地から２kmまでの時間を求める

２kmを時速６kmで進む

道のり÷速さ＝時間だから

２÷６＝1/3時間

1/3時間＝（1/3）×60＝20分

よって、

Ｐ地から２kmまでの時間は、20分

家からＰ地まで20分かかっていたから

20＋20＝40分

3）

Ｐ地から10分後の道のりを求める

時速６kmで10/60時間進む

速さ×時間＝道のりだから

６×（1/6）＝１km

家からＰ地まで４kmあるから

家から30分後の道のりは５km

よって、残りの道のりは、

８－５＝３km

問題

Ａさんは家から駅まで700mの道のりを、はじめ分速100mで歩き、途中の店で買い物をして、残りの道のりを分速150mで走ったところ、家を出てから10分後に駅に着いた。家から店までの道のりが400mであるとき、Ａさんが家を出てからｘ分後の家からの道のりをｙmとして、次の問いに答えなさい。なお、Ａさんの進む速さは一定である。

1）家を出て店に着くまでにかかった時間を求めなさい。

2）家を出て店に着くまでのｘとｙの関係を式で表しなさい。

3）店を出てから駅に着くまでにかかった時間を求めなさい。

1）

家から店まで400m

分速100mで歩いたから

400÷100＝４分

2）

進む速さは一定だから、

求める式をｙ＝ａｘとする。

1）より、ｘ＝４のとき、ｙ＝400だから

４ａ＝400

ａ＝100

よって、求める式は、

ｙ＝100ｘ

👉傾きａ（変化の割合）が速さを表す

3）

残り300mを分速150mで進む

かかる時間は、

300÷150＝２分

よって、求める時間は、２分

👉店にいた時間は４分間

問題

Ａ駅と40km離れたＢ駅との間を結ぶ電車の路線があり、Ａ駅から16km離れた地点にＰ駅がある。この路線は、始発が６時で、途中Ｐ駅での２分間の停車時間をふくめて、Ａ駅とＢ駅との間を32分で結ぶダイヤで運行されている。電車がＡ駅を出発してからの時間をｘ分、距離をｙkmとして、次の問いに答えなさい。なお、電車の進む速さは一定である。

1）電車の速さは時速何kmか、求めなさい。

2）Ａ駅からＰ駅に着くまでのｘとｙの関係を式で表しなさい。

3）Ｐ駅からＢ駅に着くまでのｘとｙの関係を式で表しなさい。

1）

ＡからＢまでの道のりは40km

進んでいる時間は、停車時間を除いて

32分－２分＝30分

時速で求めるから

40÷（30/60）＝80

よって、求める速さは、時速80km

2）

ＡからＰまでの道のりは16km

時速80kmで進むから、かかる時間は、

16÷80＝1/5時間

1/5時間＝（1/5）×60＝12分

Ａを出発するときは、

ｘ＝０、ｙ＝０

Ｐに到着したときは、

ｘ＝12、ｙ＝16

進む速さは一定だから

ｘの増加量　12－０＝12

ｙの増加量　16－０＝16

変化の割合　16/12＝4/3

よって、求める式は、

ｙ＝（4/3）ｘ

3）

ＰからＢまでの時速も同じだから

2）の式の傾きと同じ

切片の値をｂとする

ｙ＝（4/3）ｘ＋ｂ

Ｐを出発するときは、

ｘ＝12＋２＝14、ｙ＝16だから

16＝（4/3）×14＋ｂ

ｂ＝（48/3）－（56/3）

　＝－8/3

よって、求める式は、

ｙ＝（4/3）ｘ－（8/3）

※

Ｂに到着したときは、

ｘ＝32、ｙ＝40だから

40＝（4/3）×32＋ｂ

ｂ＝（120/3）－（128/3）

　＝－8/3

動点の問題

問題

下の図の長方形ＡＢＣＤで、点ＰはＢを出発して、辺上をＡ、Ｄを通ってＣまで動く。点ＰがＢからｘcm動いたときの△ＰＢＣの面積をｙcm²として、あとの問いに答えなさい。

1）点Ｐが次の辺上を動くとき、ｘの変域を求めなさい。

①　辺ＢＡ上

②　辺ＡＤ上

③　辺ＤＣ上

2）

点Ｐが次の辺上を動くとき、ｙをｘの式で表しなさい。

①　辺ＢＡ上

②　辺ＡＤ上

③　辺ＤＣ上

1）①　辺ＢＡ上

ｘの単位は「cm」

ｘの変域は、点の移動距離を表す。

Ｂ（０cm）から出発して、

Ａに着くまで最大８cm移動するから

０≦ｘ≦８

※０cmと８cmを含むから「以上・以下」

②　辺ＡＤ上

ＢからＡまで８cm移動し、

ＢからＤまで12cm移動するから

８≦ｘ≦12

③　辺ＤＣ上

ＢからＤまで12cm移動し、

ＤからＣまで20cm移動するから

12≦ｘ≦20

2）

①辺ＢＡ上を動くときは、

ＢＣを底辺とすると、高さはＢＡ。

ＢＣ＝４cm、ＢＡ＝ｘcmだから

ｙ＝（1/2）×４×ｘ

ｙ＝２ｘ

②辺ＡＤ上を動くときは、

ＢＣを底辺とすると、

高さは点ＰとＢＣとの距離（点Ｐからの垂線）になる。

👉Ｐは移動しても、高さは８cmのまま

ＢＣ＝４cm、高さは８cmだから

ｙ＝（1/2）×４×８

ｙ＝16

👉面積は16cm²のままで移動する

③辺ＤＣ上を動くときは、

ＢＣを底辺とすると、高さはＰＣ。

ＰＣの長さは、

ＢからＣまでの距離（20cm）から、

Ｂを出発後のＰの移動距離（ｘcm）をひいた値だから

ＰＣ＝20－ｘ

よって、

ｙ＝（1/2）×４×（20－ｘ）

ｙ＝－２ｘ＋40

問題

下の図の長方形ＡＢＣＤで、点ＰはＡを出発して、辺上をＤを通ってＣまで毎秒１cmの速さで動く。点ＰがＡを出発してからｘ秒後の△ＡＢＰの面積をｙcm²として、あとの問いに答えなさい。

点Ｐが次の辺上を動くときｘの変域を求めなさい。また、ｙをｘの式で表しなさい。

①　辺ＡＤ上

②　辺ＤＣ上

「点Ｐは毎秒１cmで動く」

👉ｘ秒間で、ｘcm動く

　速さ × 時間＝道のり

　毎秒１cm × ｘ秒＝ｘcm

①　辺ＡＤ上

ｘの単位は「秒」

ＡＤ＝16cm、

速さ×時間＝道のりだから

１×ｘ＝16

ｘ＝16

出発から最大16秒まで動くから

求める変域は、０≦ｘ≦16

底辺をＡＢ、高さをＡＰとすると

ＡＢ＝８cm、ＡＰ＝ｘcmだから

ｙ＝（1/2）×８×ｘ

ｙ＝４ｘ

②　辺ＤＣ上

出発から点Ｄまでは16秒、

出発から点Ｃまでは、

１×ｘ＝16＋８

ｘ＝24で、24秒かかかるから

求める変域は、16≦ｘ≦24

底辺をＡＢとすると、

高さは点ＰとＡＢとの距離（16cm）になるから

ｙ＝（1/2）×８×16

ｙ＝64

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苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

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３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

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