三平方の定理高校入試対策10

たむかい学習教室
1月18日
読了時間: 7分

三平方の定理高校入試対策10

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

三平方の定理では、高校入試に向けて、基本公式と直角三角形（有名角）の辺の比を押さえておく必要があります。また、直角三角形の斜辺は、90°に向かい合う辺になります。

問題

下の図のような∠ＡＣＢ＝90°の直角三角形ＡＢＣがある。ＡＢ＝３cm、ＢＣ＝２ＡＣとなるとき、辺ＡＣの長さを求めなさい。

ＡＣ＝ｘcmとすると、

ＢＣ＝２ｘcm

三平方の定理より

ＡＣ²＋ＢＣ²＝ＡＢ²

ｘ²＋（２ｘ）²＝３²

５ｘ²＝９

ｘ²＝9/5

ｘ＝３√５/５（ｘ＞０）

よって、３√５/５cm

問題

下の図のような長方形の紙ＡＢＣＤを、頂点Ｄが辺ＢＣ上にくるように折り、頂点Ｄが移った点をＦ、折り目の線分をＡＥとする。さらに辺ＡＢが辺ＡＦに重なるように折り、頂点Ｂが移った点をＨ、折り目の線分をＡＧとする。ＡＢ＝12cm、ＡＤ＝13cmのとき、線分ＦＧの長さを求めなさい。

△ＡＧＢ≡△ＡＧＨより

ＡＨ＝ＡＢ＝12cm

△ＡＥＤ≡△ＡＥＦより

ＡＦ＝ＡＤ＝13cm

ＨＦ＝ＡＦ－ＡＨだから

ＨＦ＝13－12＝１cm

△ＡＢＦにおいて、三平方の定理より

ＢＦ²＝ＡＦ²－ＡＢ²

ＢＦ²＝13²－12²＝25

ＢＦ＝５cm（ＢＦ＞０）

ＦＧ＝ｘcmとすると、

ＢＧ＝ＢＦ－ＦＧ＝５－ｘ cm

ＢＧ＝ＧＨだから

ＧＨ＝５－ｘ cm

∠ＡＨＧ＝∠ＡＢＧ＝90°だから

∠ＧＨＦ＝90°

△ＦＧＨにおいて、三平方の定理より

ＦＧ²＝ＨＦ²＋ＧＨ²

ｘ²＝１²＋（５－ｘ）²

ｘ²＝１＋25－10ｘ＋ｘ₂

10ｘ＝26

ｘ＝13/5

よって、13/5cm

問題

下の図の長方形ＡＢＣＤを、右の図のように、線分ＥＧを折り目として折り、頂点Ａを辺ＢＣ上の点Ｆに重ねる。ＡＢ＝10cm、ＢＦ＝６cmのとき、線分ＢＥの長さを求めなさい。

ＢＥ＝ｘcmとする

△ＡＥＧ≡△ＦＥＧより

ＡＥ＝ＦＥ

よって、

ＦＥ＝ＡＥ＝10－ｘ cm

△ＥＦＢにおいて、三平方の定理より

ＢＥ²＝ＦＥ²－ＢＦ²

ｘ²＝（10－ｘ）²－６²

ｘ²＝100－20ｘ＋ｘ²－36

20ｘ＝64

ｘ＝16/5

よって、16/5cm

問題

下の図のように、正六角形ＡＢＣＤＥＦの各辺の中点を結んだ正六角形ＰＱＲＳＴＵがある。ＡＢ＝４cmのとき、辺ＰＱの長さを求めなさい。

△ＢＡＣにおいて

ＡＢ＝ＢＣだから

∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ

∠Ｂは、正六角形の１つの内角だから

∠Ｂ＝180×（６－２）÷６＝120°

よって、

∠ＢＡＣ＝（180°－120°）÷２＝30°

また、

ＢからＡＣへの垂線をＢＨとする

△ＢＡＣは二等辺三角形だから

∠ＢＨＡ＝90°

△ＢＨＡにおいて

∠ＢＡＨ＝30°、∠ＢＨＡ＝90°だから

直角三角形の辺の比より

ＡＨ：ＡＢ＝√３：２

ＡＢ＝４cmだから

ＡＨ：４＝√３：２

ＡＨ：２＝√３：１

ＡＨ＝２√３cm

ＡＨ＝ＣＨ＝２√３cmより

ＡＣ＝４√３cm

点Ｐ、Ｑは、ＢＡ、ＢＣの中点だから

中点連結定理より

ＰＱ＝（1/2）ＡＣ

　　＝（1/2）×４√３

　　＝２√３cm

2024年青森県立高校入試

問題

図１で、①は関数ｙ＝２ｘ²のグラフであり、２点Ａ、Ｂは①上の点でｘ座標がそれぞれ－１、２である。また、②は２点Ａ、Ｂを通る直線である。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。

1）点Ａのｙ座標を求めなさい。

2）線分ＡＢの長さを求めなさい。

1）

点Ａは、

ｙ＝２ｘ²上にあり、ｘ＝－１だから

ｙ＝２×（－１）²＝２

よって、２

2）

点Ｂのｙ座標は、ｘ＝２だから

ｙ＝２×２²＝８

点Ａを通りｘ軸に平行な直線と、

点Ｂを通りｙ軸に平行な直線の交点をＣとする。

Ａ（－１，２）　Ｂ（２，８）

ＡＣ＝２－（－１）＝３

ＢＣ＝８－２＝６

△ＡＢＣにおいて、三平方の定理より

ＡＢ²＝ＡＣ²＋ＢＣ²

ＡＢ²＝３²＋６²＝45

ＡＢ＝３√５（ＡＢ＞０）

よって、３√５cm

図２は、図１に面積の等しい△ＡＯＢと△ＡＯＣをかき加えたものである。点Ｃはｙ軸上の点で、ｙ座標が正であるとき、あとの問いに答えなさい。

3）点Ｃの座標を求めなさい。

4）点Ａと２点Ｂ、Ｃを通る直線との距離を求めなさい。

3）

△ＡＯＢ＝△ＡＯＣだから

ＯＡ//ＢＣとなる直線ＢＣをひく

※共通の底辺をもち、高さが同じ。

ＯＡの傾きは、Ａ（－１，２）だから

２／（－１）＝－２

ＢＣの傾きは、ＡＣと同じだから－２

直線ＢＣの切片の値をｂとする

ｙ＝－２ｘ＋ｂ

Ｂ（２，８）を通るから

８＝－２×２＋ｂ

ｂ＝12

よって、（０，12）

4）

△ＡＯＣの面積を求める

△ＡＯＣの底辺をＯＣとしたとき、

高さは点Ａとｘ軸との距離になる。

ＯＣ＝12－０＝12

高さは、０－（－１）＝１

よって、

△ＡＯＣ＝（1/2）×12×１＝６cm²

△ＡＯＣの底辺ＡＯの長さを求める

点Ａからｘ軸への垂線をＡＨとする

△ＡＯＨにおいて、三平方の定理より

ＡＯ²＝ＡＨ²＋ＯＨ²

ＡＨ＝２－０＝２

ＯＨ＝０－（－１）＝１だから

ＡＯ²＝２²＋１²＝５

ＡＯ＝√５cm（ＡＯ＞０）

点Ａと直線ＢＣとの距離は、

底辺をＡＯとする△ＡＯＣの高さと同じ。

高さをｈcmとすると、

（1/2）×ＡＯ×ｈ＝６

（1/2）×√５×ｈ＝６

ｈ＝12√5/5

よって、12√5/5cm

★平方数（２乗の数）

　11²＝121　12²＝144　13²＝169

　14²＝196　15²＝225　16²＝256

　17²＝289　18²＝324　19²＝361

　21²＝441　25²＝625

★ピタゴラス数

　直角三角形の辺

　３cm、４cm、５cm

　３²＋４²＝５²

　６cm、８cm、10cmや９cm、12cm、15cmなどの倍数も成り立つ。

　５cm、12cm、13cm

　５²＋12²＝13²

　８cm、15cm、17cm

　８²＋15²＝17²

★有名角

　30°、60°、90°　直角三角形

　辺の比　１：２：√３

　45°、45°、90°　直角二等辺

　辺の比　１：１：√２

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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