三平方の定理高校入試対策11

たむかい学習教室
1月20日
読了時間: 7分

三平方の定理高校入試対策11

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試での三平方の定理に関する出題では、図形に補助線をひいて辺の長さや面積を求める問題があります。また、三角形の相似と組み合わせた問題もあります。

問題

下の図のように、円Ｏの周上に２点Ａ、Ｂがあり、∠ＯＡＢ＝30°である。ＡＢ＝３√３cmのとき、円Ｏの半径を求めなさい。

点ＯからＡＢへの垂線をＯＨとする

△ＯＡＨにおいて

直角三角形の辺の比より

ＯＡ：ＡＨ＝２：√３

ＡＨ＝3√3×（1/2）＝3√3/2cmだから

ＯＡ：3√3/2＝２：√３

√３ＯＡ＝３√３

ＯＡ＝３

よって、３cm

問題

下の図の直方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨにおいて、ＡＢ＝ＢＣ２cm、ＡＥ＝４cmのとき、線分ＡＧの長さを求めなさい。

△ＡＧＣにおいて、∠ＡＣＧ＝90°

ＡＣは１辺２cmの正方形の対角線だから

ＡＣ：ＡＢ＝√２：１

ＡＣ：２＝√２：１

ＡＣ＝２√２cm

ＣＧ＝ＡＥ＝４cm

三平方の定理より

ＡＧ²＝ＡＣ²＋ＣＧ²

ＡＧ²＝（２√２）²＋４²＝24

ＡＧ＞０より

ＡＧ＝２√６cm

※別解

縦ａ、横ｂ、高さｃ

直方体の対角線の長さ

√（ａ²＋ｂ²＋ｃ²）

ＡＧ＝√（２²＋２²＋４²）＝２√６cm

問題

下の図は、１辺の長さが６cmである正方形ＡＢＣＤを底面とし、点Ｅを頂点とする正四角錐であり、高さは６cmである。辺ＡＥ上にＡＦ：ＦＥ＝１：２となる点Ｆをとるとき、２点Ｃ、Ｆ間の距離を求めなさい。

正四角錐の高さをＥＨ、

Ｆから底面への垂線をＦＩとする。

ＡＣは１辺６cmの正方形の対角線だから

ＡＣ：ＡＢ＝√２：１

ＡＣ：６＝√２：１

ＡＣ＝６√２cm

ＡＨ＝（1/2）ＡＣだから

ＡＨ＝（1/2）×６√２＝３√２cm

ＥＨ//ＦＩだから

平行線の比の性質より

ＦＩ：ＥＨ＝ＡＦ：ＡＥ

ＦＩ：６＝１：３

ＦＩ＝２cm

また、

ＡＩ：ＡＨ＝ＡＦ：ＡＥ

ＡＩ：３√２＝１：３

ＡＩ＝√２cm

よって、

ＩＣ＝ＡＣ－ＡＩ

　　＝６√２－√２＝５√２cm

△ＦＣＩにおいて、∠ＦＩＣ＝90°

三平方の定理より

ＦＣ²＝ＦＩ²＋ＩＣ²

ＦＣ²＝２²＋（５√２）²＝54

ＦＣ＝３√６（ＦＣ＞０）

よって、３√６cm

問題

下の平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、点Ａから対角線ＢＤに垂線をひき、ＢＤとの交点をＨとする。ＡＢ＝５cm、ＢＨ＝４cm、ＨＤ＝６cmであるとき、対角線ＡＣの長さを求めなさい。

△ＡＢＨにおいて、三平方の定理より

ＡＨ²＝ＡＢ²－ＢＨ²

ＡＨ²＝５²－４²＝９

対角線の交点をＯとする

ＢＤ＝ＢＨ＋ＨＤ＝10cmだから

ＯＢ＝（1/2）ＢＤ＝５cm

よって、

ＯＨ＝ＯＢ－ＢＨ＝１cm

△ＡＯＨにおいて、三平方の定理より

ＡＯ²＝ＡＨ²＋ＯＨ²

ＡＯ²＝９＋１²＝10

ＡＯ＝√10cm（ＡＯ＞０）

ＡＣ＝２ＡＯだから

ＡＣ＝２×√10＝２√10cm

問題

下の図のように、１辺が４cmの正三角形ＡＢＣがあり、辺ＡＣの中点をＭとする。正三角形ＡＢＣの外側に正三角形ＤＢＡをつくる。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）ＤＭの長さを求めなさい。

2）△ＡＤＭの面積を求めなさい。

1）

半直線ＤＡと、

点Ｍからの垂線の交点をＨとする。

△ＡＭＨにおいて

∠ＡＨＭ＝90°

∠ＤＡＭ＝60°＋60°＝120°だから

∠ＭＡＨ＝180°－120°＝60°

直角三角形の辺の比より

ＡＨ：ＡＭ＝１：２

ＡＭ＝４÷２＝２cmだから

ＡＨ：２＝１：２

ＡＨ＝１cm

よって、

ＤＨ＝ＤＡ＋ＡＨ＝５cm

また、

ＨＭ：ＡＨ＝√３：１

ＨＭ：１＝√３：１

ＨＭ＝√３cm

△ＤＭＨにおいて、三平方の定理より

ＤＭ²＝ＤＨ²＋ＨＭ²

ＤＭ²＝５²＋（√３）²＝28

ＤＭ＞０より

ＤＭ＝２√７cm

2）

底辺ＡＤ、高さＨＭ

ＡＤ＝４cm、ＨＭ＝√３cmだから

（1/2）×４×√３＝２√３cm²

問題

下の図で、四角形ＡＢＣＤは長方形で、Ｅ、Ｆはそれぞれ辺ＡＤ、ＣＤ上の点である。ＥＢ＝13cm、ＢＣ＝14cm、ＦＣ＝３cm、ＥＦ＝６cmのとき、△ＥＦＤの面積を求めなさい。

△ＦＢＣにおいて、三平方の定理より

ＦＢ²＝ＦＣ²＋ＢＣ²

ＦＢ²＝３²＋14²＝205

また、△ＢＦＥにおいて

ＥＢ²＋ＥＦ²＝13²＋６²＝205

よって、

△ＢＦＥは∠ＢＥＦ＝90°の直角三角形である。

△ＥＦＤと△ＢＥＡにおいて

∠ＥＤＦ＝∠ＢＡＥ＝90°

∠ＤＥＦ＝90°－∠ＡＥＢ

∠ＡＢＥ＝90°－∠ＡＥＢ

∠ＤＥＦ＝∠ＡＢＥだから

△ＥＦＤ∽△ＢＥＡ

よって、

ＤＥ：ＡＢ＝ＥＦ：ＢＥ

ＤＥ＝ｘcmとする

ｘ：ＡＢ＝６：13

ＡＢ＝（13/6）ｘ

また、

ＤＦ：ＡＥ＝６：13

ＡＥ＝14－ｘcmだから

ＤＦ：（14－ｘ）＝６：13

ＤＦ＝（6/13）（14－ｘ）

ＡＢ＝ＤＣだから

ＡＢ＝ＤＦ＋ＦＣ

よって、

（13/6）ｘ＝（6/13）（14－ｘ）＋３

ｘ＝18/5

ＤＥ＝18/5cm、

ＤＦ＝（6/13）｛14－（18/5）｝

　　＝（6/13）×（52/5）

　　＝24/5cm

△ＥＦＤの面積は、

（1/2）×（18/5）×（24/5）

＝216/25 cm²

問題

下の図で、点Ｐから線分ＡＢに垂線をひき、線分ＡＢとの交点をＱとする。ＰＡ＝５cm、ＰＢ＝３cm、ＡＢ＝６cmのとき、ＡＱの長さを求めなさい。

ＰＱ⊥ＡＢだから

△ＰＡＱにおいて、∠ＰＱＡ＝90°

三平方の定理より

ＰＱ²＝ＰＡ²－ＡＱ²

ＡＱ＝ｘcmとする

ＰＱ²＝５²－ｘ²　①

△ＰＱＢにおいて、∠ＰＱＢ＝90°

三平方の定理より

ＰＱ²＝ＰＢ²－ＢＱ²

ＢＱ＝ＡＢ－ＡＱだから

ＢＱ＝６－ｘcm

ＰＱ²＝３²－（６－ｘ）²　②

①＝②より

５²－ｘ²＝３²－（６－ｘ）²

25－ｘ²＝９－（36－12ｘ＋ｘ²）

25－ｘ²＝９－36＋12ｘ－ｘ²

12ｘ＝52

ｘ＝13/3

よって、13/3cm

問題

下の図のように、点Ｏを中心とし、線分ＡＥを直径とする半円と、点Ｃを中心とし、線分ＡＥ、半円Ｏにそれぞれ点Ｆ、Ｂで接する円がある。ＡＦ＝12cm、ＦＥ＝６cm、ＡＢと円Ｃの交点をＤとする。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）半円Ｏの半径を求めなさい。

2）円Ｃの半径を求めなさい。

3）△ＢＤＦの面積を求めなさい。

1）

直径ＡＥ＝12＋６＝18cm

よって、

18÷２＝９cm

2）

△ＣＯＦにおいて、三平方の定理より

ＣＦ²＝ＣＯ²－ＯＦ²

半径ＣＦ＝ｘcmとする

ＯＢ＝９cm、ＣＢ＝ＣＦ＝ｘcmだから

ＣＯ＝９－ｘcm

ＯＦ＝９－６＝３cm

よって、

ｘ²＝（９－ｘ）²－３²

ｘ²＝81－18ｘ＋ｘ²－９

18ｘ＝72

ｘ＝４

よって、４cm

3）

ＢからＡＥに垂線ＢＨをひく

∠ＡＦＣ＝∠ＡＨＢ＝90°だから

ＣＦ//ＢＨ

平行線の比の性質から

ＣＦ：ＢＨ＝ＯＣ：ＯＢ

ＣＦ＝４cm、ＯＢ＝９cm、

ＯＣ＝ＯＢ－ＢＣ＝５cmだから

４：ＢＨ＝５：９

ＢＨ＝36/5cm

△ＯＡＢは、

ＯＡ＝ＯＢの二等辺三角形だから

∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ

△ＣＤＢは、

ＣＤ＝ＣＢの二等辺三角形だから

∠ＣＤＢ＝∠ＣＢＤ

∠ＯＢＡ＝∠ＣＢＤだから

∠ＯＡＢ＝∠ＣＤＢ

同位角が等しいから

ＯＡ//ＣＤ

平行線の比の性質より

ＡＤ：ＡＢ＝ＯＣ：ＯＢ＝５：９

よって、

ＤＢ：ＡＢ＝４：９

△ＢＤＦと△ＢＡＦにおいて

底辺比が面積比になるから

△ＢＤＦ＝（9/4）△ＢＡＦ

△ＢＡＦの底辺ＡＦ＝12cm、

高さＢＨ＝36/5cmだから

△ＢＤＦ

＝（4/9）×（1/2）×12×（36/5）

＝96/5cm²

★平方数（２乗の数）

　11²＝121　12²＝144　13²＝169

　14²＝196　15²＝225　16²＝256

　17²＝289　18²＝324　19²＝361

　21²＝441　25²＝625

★ピタゴラス数

　直角三角形の辺

　３cm、４cm、５cm

　３²＋４²＝５²

　６cm、８cm、10cmや９cm、12cm、15cmなどの倍数も成り立つ。

　５cm、12cm、13cm

　５²＋12²＝13²

　８cm、15cm、17cm

　８²＋15²＝17²

★有名角

　30°、60°、90°　直角三角形

　辺の比　１：２：√３

　45°、45°、90°　直角二等辺

　辺の比　１：１：√２

🌸春の新入塾　受付中🌸

【たむかい学習教室】

教員経験20年　プロ講師による

完全マンツーマン指導

追加料金なし　安心の授業料で

手厚いサポート

塾生のホンネ

「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」

「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」

「学校の授業で難しいことが増えてきた」

「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」

完全１対１授業でホンネを解決！

★苦手の克服に最適★

★受験に強い個別指導★

★経験豊富な講師の一貫指導★

★安心の授業料で全力サポート★

★苦手の克服に最適★

　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。

★受験に強い個別指導★

　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。

★経験豊富な講師の一貫指導★

　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。

★安心の授業料で全力サポート★

　入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。

　＜１か月授業料（税込）＞

　90分授業：14,800円（月4回）

120分授業：17,600円（月4回）

　(例)１回・90分授業の場合

　教師１名・生徒３名の複数指導

　→１名につき30分の個別指導

　指導時間3分の1、実質料金は割高に。

　　↕

　教師1名・生徒1名の完全個別指導

　⇒完全90分の個別指導（当塾）

　生徒1名に100％の指導時間

親御さんの声

「できる問題が増え勉強に自信がついたようで、期待感があります」

「苦手だった英語と数学が伸び始めたので、正直ホッとしています」

「成績の伸び幅と年間の費用を考えると、転塾して正解でした」

合格実績

八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科

八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学

指導実績

八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中

八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ

吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小

今年度塾生35名（2026年1月現在）

「体験学習」を実施しています

通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。

当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。

ご入塾までの流れ

体験学習（60分）

入塾をご希望の場合、

保護者面談の日程調整

↓

保護者面談（40分程度）

お子様の受講に関わるご説明

保護者の方からのご相談・ご要望

↓

受講開始手続き

体験学習・実施日時はこちら

塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

受講に関するお問い合わせ

ご相談はお気軽にお尋ねください