三平方の定理　円と立体の応用

　当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

　新学期がスタートしました。新学期早々のこの時期、塾生たちは今年一年の土台づくりのため、前の学年の復習に取り組んでいます。三平方の定理では、円や立体図形への応用問題があります。中学３年間の図形学習の集大成と言える内容で、新２・３年生は、これまで学習してきた平面図形や立体図形の補習を進めています。

★円周角・三平方の定理

下の図は平行四辺形ＡＢＣＤと、３つの頂点Ａ、Ｂ、Ｃを通る円Ｏである。辺ＡＤと円Ｏとの交点をＥ、対角線ＡＣと線分ＢＥとの交点をＦとする。∠ＢＡＣ＝60°、ＡＣ⊥ＢＥ、ＢＣ＝２√３cmであるとき、円Ｏの半径を求めなさい。

Ａ⌒Ｂに対する円周角だから、

∠ＡＣＢ＝∠ＢＥＡ　①

ＡＥ//ＢＣより、平行線の錯角は等しいから、

∠ＢＥＡ＝∠ＥＢＣ　②

①、②より、

∠ＡＣＢ＝∠ＥＢＣ　③

∠ＢＦＣ＝90°　④

③、④より、△ＦＢＣは直角二等辺三角形になる。

△ＦＢＣで、直角二等辺三角形の辺の比より、

ＢＣ：ＢＦ＝√２：１

２√３cm：ＢＦ＝√２：１

√２ＢＦ＝２√３

ＢＦ＝√６cm

∠ＢＡＣ＝60°、∠ＡＦＢ＝90°だから、

△ＡＢＦで直角三角形の辺の比より、

ＢＦ：ＡＢ＝√３：２

√６cm：ＡＢ＝√３：２

√３ＡＢ＝２√６

ＡＢ＝２√２cm

△ＦＢＣは直角二等辺三角形だから、∠ＡＣＢ＝45°

∠ＡＯＢ＝２∠ＡＣＢより、

∠ＡＯＢ＝90°

△ＯＡＢで、直角二等辺三角形の辺の比より、

ＡＢ：ＯＡ＝√２：１

２√２cm：ＯＡ＝√２：１

√２ＯＡ＝２√２

ＯＡ＝２cm

よって、２cm

別解

∠ＢＯＣ＝２∠ＢＡＣより、

∠ＢＯＣ＝２×60°＝120°

点Ｏからの垂線と弦ＢＣとの交点をＧとする

∠ＢＯＧ＝60°、∠ＯＧＢ＝90°になるから、

△ＯＢＧで、直角三角形の辺の比より、

ＢＧ：ＯＢ＝√３：２

ＢＧ＝ＢＣ÷２＝√３cm

√３cm：ＯＢ＝√３：２

√３ＯＢ＝２√３

ＯＢ＝２cm

よって、２cm

★相似・三平方の定理

下の図は、線分ＡＢを直径とする半円で、点ＣはＡ⌒Ｂ上にある。点Ｄは線分ＡＣ上の点であって、点ＥはＢＤの延長とＡ⌒Ｃとの交点である。点Ｆは線分ＡＢ上にあって、ＥＦ//ＣＢであり、点Ｇは線分ＡＣと線分ＥＦとの交点である。このとき、あとの各問いに答えなさい。

１）△ＡＤＥと相似な三角形は、△ＢＤＣのほかに２つある。その２つの三角形をすべて答えなさい。

２）ＡＢ＝12cm、ＢＣ＝６cm、ＡＤ＝ＤＣのとき、線分ＦＧの長さを求めなさい。

１）

△ＡＤＥと△ＥＤＧで、

∠ＡＤＥ＝∠ＥＤＧ（共通）　①

ＥＦ//ＣＢより、

∠ＧＥＤ＝∠ＣＢＥ（錯角）　②

Ｅ⌒Ｃに対する円周角だから、

∠ＥＡＤ＝∠ＣＢＥ　③

②、③より、

∠ＥＡＤ＝∠ＧＥＤ　④

①、④より、２組の角がそれぞれ等しいので、

△ＡＤＥ∽△ＥＤＧ

△ＡＤＥとＡＥＧで、

∠ＥＡＤ＝∠ＧＡＥ（共通）　①

直径ＡＢに対する円周角だから、

∠ＢＣＡ＝90°、∠ＡＥＤ＝90°　②

ＥＦ//ＣＢより、

∠ＥＧＡ＝∠ＢＣＡ＝90°（錯角）　③

②、③より、２組の角がそれぞれ等しいので、

△ＡＤＥ∽△ＡＥＧ

２）

△ＡＢＣで、三平方の定理より、

ＡＣ²＝ＡＢ²ーＢＣ²

ＡＣ²＝12²ー６²

ＡＣ²＝108

ＡＣ＝６√３cm（ＡＣ＞０）

点ＤはＡＣの中点だから、

ＡＤ＝ＤＣ＝３√３cm

△ＢＣＤで、三平方の定理より、

ＢＤ²＝ＢＣ²＋ＤＣ²

ＢＤ²＝６²＋（３√３）²

ＢＤ²＝63

ＢＤ＝３√７cm（ＢＤ＞０）

△ＡＤＥ∽△ＢＤＣより、

ＡＤ：ＢＤ＝ＤＥ：ＤＣ

３√３：３√７＝ＤＥ：３√３

ＤＥ＝９√７／７cm

ＥＧ//ＢＣより、

ＤＧ：ＤＣ

＝ＤＥ：ＤＢ

＝９√７／７：３√７

＝３：７

以上から、

ＡＧ：ＡＣ

＝（７－３）：（７＋７）

＝２：７

△ＡＢＣで、ＦＧ//ＢＣより、

ＦＧ：ＢＣ＝ＡＧ：ＡＣ

ＦＧ：６cm＝２：７

ＦＧ＝12／７cm

★円錐・三平方の定理

下の図１のように、底面の半径が３cm、母線の長さが12cmの円錐がある。図２のように、この円錐を底面に平行な平面で、高さが等しくなるように２つの立体に分けて、上側の立体を逆にした型を、下側の立体からくりぬいてできた立体がある。このとき、この立体の体積を求めなさい。ただし、円周率はπとする。

上側を立体Ｐ、下側を立体Ｑ、もとの円錐全体をＲとする。

ＰとＲの相似比は、母線の長さより、１：２

体積比は相似比の２乗になるから、ＰとＲの体積比は、１：８

よって、

Ｐ＝１／８×Ｒ

Ｑ＝７／８×Ｒ

求める立体の体積は、

ＱーＰ

＝７／８×Ｒー１／８×Ｒ

＝３／４×Ｒ　①

もとの円錐の高さをｈとする

三平方の定理より、

ｈ²＝12²ー３²

ｈ²＝135

ｈ＝３√15cm（ｈ＞０）

もとの円錐Ｒの体積は、

９π ×３√15×１／３

＝９√15π cm³　②

①、②より、

３／４×９√15π

＝27√15π／４ cm³

★直方体・三平方の定理

下の図の直方体で、ＡＢ＝ＡＤ＝√６cm、ＡＥ＝６cmである。ＡＥ、ＢＤの中点をそれぞれＭ、N、点ＡからＭＮにひいた垂線とＭＮとの交点をＰとする。ＡＰを延長してＣＧと交わった点をＱとするとき、ＡＰの長さとＰＱの長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

△ＡＭＮと△ＰＭＡで、

∠ＭＡＮ＝∠ＭＰＡ＝90°

∠ＡＭＮ＝∠ＰＭＡ（共通）

よって、△ＡＭＮ∽△ＰＭＡ

対応する辺の比は等しいから、

ＮＡ：ＡＰ＝ＭＮ：ＭＡ　①

△ＡＢＣで、直角二等辺三角形の辺の比より、

ＡＢ：ＡＣ＝１：√２

√６cm：ＡＣ＝１：√２

ＡＣ＝２√３cm

ＮＡ＝ＡＣ×１／２＝√３cm　②

△ＡＭＮで、三平方の定理より、

ＭＮ²＝ＡＮ²＋ＡＭ²

ＭＮ²＝√３²＋３²

ＭＮ²＝12

ＭＮ＝２√３cm（ＭＮ＞０）　③

①、②、③より、

√３：ＡＰ＝２√３：３

２√３ＡＰ＝３√３

ＡＰ＝３／２cm　④

△ＰＡＮと△ＣＡＱで、

∠ＡＰＮ＝∠ＡＣＱ＝90°

∠ＰＡＮ＝∠ＣＡＱ（共通）

よって、△ＰＡＮ∽△ＣＡＱ

対応する辺の比は等しいから、

ＡＰ：ＡＣ＝ＡＮ：ＡＱ

３／２：２√３＝√３：ＡＱ

３／２×ＡＱ＝６

ＡＱ＝４cm　

ＰＱ＝ＡＱ－ＡＰより、

ＰＱ＝４－３／２＝５／２cm　⑤

④、⑤より、

ＡＰ：ＰＱ＝３：５

★直方体・三平方の定理

下の図は、正方形ＡＢＣＤを底面とする正四角錐ＯＡＢＣＤである。Ｅは辺ＯＣの中点、Ｆは辺ＯＣ上の点で、ＯＦ：ＦＣ＝１：２である。正四角錐ＯＡＢＣＤのすべての辺の長さが６cmのとき、あとの各問いに答えなさい。

１）線分ＦＢの長さを求めなさい。

２）Ｂ、Ｄ、Ｅ、Ｆを頂点とする三角錐の体積を求めなさい。

１）

∠ＯＢＥ＝30°、∠ＢＥＯ＝90°

△ＢＯＥで、直角三角形の辺の比より、

ＯＢ：ＢＥ＝２：√３

６cm：ＢＥ＝２：√３

ＢＥ＝３√３cm

ＯＦ＝６×１／３＝２cm

ＯＥ＝３cm

ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝１cm

△ＢＦＥで、三平方の定理より、

ＦＢ²＝ＢＥ²＋ＥＦ²

ＦＢ²＝（３√３）²＋１²

ＦＢ²＝28

ＦＢ＝２√７cm（ＦＢ＞０）

２）

ＢＯ＝ＢＣ、ＯＥ＝ＣＥだから、ＢＥ⊥ＦＥ

よって、△ＤＢＥを底面にすると、高さはＦＥになる。

△ＤＢＥの面積を求める

△ＤＢＥで、点Ｅから辺ＤＢに垂線ＥＨをひく。

△ＥＨＢで、三平方の定理より、

ＥＨ²＝ＥＢ²ーＢＨ²

ＥＨ²＝（３√３）²ー（３√２）²

ＥＨ²＝９

ＥＨ＝３cm（ＥＨ＞０）

△ＤＢＥ

＝ＤＢ×ＥＨ×１／２

＝６√２×３×１／２

＝９√２cm²

１）より、ＦＥ＝１cmだから

三角錐ＢＤＥＦ

＝９√２×１×１／３

＝３√２cm³

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今年度塾生28名（2025年4月現在）

塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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