三角形の合同高校入試対策5

たむかい学習教室
1月15日
読了時間: 7分

三角形の合同高校入試対策5

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試の三角形の合同では、合同を利用して角度や辺の長さを求める出題のほか、証明の出題があります。はじめは、対応する頂点を確認することから始めます。

問題

下の図において、△ＡＢＣ≡△ＢＥＤである。このとき、辺ＡＣと辺ＢＥとの交点をＦとする。∠ＡＢＦ＝32°、∠ＣＦＥ＝122°のとき、∠ＦＣＤの大きさを求めなさい。

△ＡＢＣ≡△ＢＥＤより

∠ＢＡＣ＝∠ＥＢＤ＝ａ°とする

△ＡＢＣにおいて

内角と外角の関係より

∠ＦＣＤ＝∠ＢＡＣ＋∠ＡＢＣ

∠ＡＢＣ＝32°＋ａ°だから

∠ＦＣＤ＝ａ°＋32°＋ａ°

　　　　＝２ａ°＋32°　①

△ＦＢＣにおいて

内角と外角の関係より

∠ＦＣＤ＝∠ＢＦＣ＋∠ＦＢＣ

∠ＣＦＥ＝122°より

∠ＢＦＣ＝180°－122°＝58°

∠ＦＢＣ＝∠ＥＢＤ＝ａ°だから

∠ＦＣＤ＝ａ°＋58°　②

①＝②より

２ａ°＋32°＝ａ°＋58°

ａ＝26°

②に代入

∠ＦＣＤ＝26°＋58°＝84°

よって、84°

問題

下の図のように、ＡＤ//ＢＣである台形ＡＢＣＤがある。線分ＡＣの中点をＭとし、直線ＤＭと辺ＢＣとの交点をＥとする。このとき、ＡＤ＝ＣＥであることを証明しなさい。

〔証明〕

△ＡＤＭと△ＣＥＭにおいて

仮定より

ＡＭ＝ＣＭ　①

ＡＤ//ＢＣより

平行線の錯角は等しいから

∠ＭＡＤ＝∠ＭＣＥ　②

∠ＡＤＭ＝∠ＣＥＭ　③

①、②、③より

１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので

△ＡＤＭ≡△ＣＥＭ

合同な図形の対応する辺は等しいから

ＡＤ＝ＣＥ

問題

下の図のように、ＡＢ＝ＡＣの平行四辺形ＡＢＣＤがある。△ＡＥＦと△ＡＢＧは正三角形で、点Ｅ、Ｆはそれぞれ辺ＢＣ、対角線ＡＣ上に、点Ｇは辺ＢＣより下側にある。平行四辺形ＡＢＣＤの対角線の交点をＨとし、点ＦとＧを結ぶ。あとの問いに答えなさい。

1）ＡＢ＝10cm、ＡＥ＝８cmのとき、線分ＨＦの長さを求めなさい。

2）△ＡＢＥ≡△ＡＧＦであることを証明しなさい。

1）

点Ｈは対角線の交点だから

ＡＨ＝ＨＣ

ＡＣ＝ＡＢ＝10cmだから

ＨＣ＝（1/2）ＡＣ＝５cm

また、

ＡＦ＝ＡＥ＝８cm

よって、

ＨＦ

＝ＡＦ－ＨＣ＝８－５＝３cm

2）

〔証明〕

△ＡＢＥと△ＡＧＦにおいて

仮定より

ＡＢ＝ＡＧ　①

ＡＥ＝ＡＦ　②

∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＧ－∠ＥＡＧ

　　　　＝60°－∠ＥＡＧ　③

∠ＧＡＦ＝∠ＥＡＦ－∠ＥＡＧ

　　　　＝60°－∠ＥＡＧ　④

③、④より

∠ＢＡＥ＝∠ＧＡＦ　⑤

①、②、⑤より

２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

△ＡＢＥ≡△ＡＧＦ

問題

下の図で、四角形ＡＢＣＤと四角形ＡＥＦＧはともに正方形であり、点Ｅは辺ＢＣの延長線上にある。また、辺ＡＥとＣＤとの交点をＨ、線分ＡＦとＤＧとの交点をＩとする。あとの問いに答えなさい。

1）△ＡＢＥ≡△ＡＤＧであることを証明しなさい。

2）ＢＣ＝２cm、ＣＥ＝４cmのとき、次の問いに答えなさい。

①　ＡＩ：ＩＦを求めなさい。

②　△ＡＨＩの面積を求めなさい。

1）

〔証明〕

△ＡＢＥと△ＡＤＧにおいて

四角形ＡＢＣＤは正方形だから

∠ＡＢＥ＝90°

∠ＡＤＣ＝90°だから

∠ＡＤＧ＝90°

よって、

∠ＡＢＥ＝∠ＡＤＧ＝90°　①

また、ＡＢ＝ＡＤ　②

四角形ＡＥＦＧは正方形だから

ＡＥ＝ＡＧ　③

①、②、③より

直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので

△ＡＢＥ≡△ＡＤＧ

※別解

∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＤ－∠ＤＡＨ

　　　　＝90°－∠ＤＡＨ

∠ＤＡＧ＝∠ＥＡＧ－∠ＤＡＨ

　　　　＝90°－∠ＤＡＨ

よって、

∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＧ

また、

∠ＡＢＥ＝∠ＡＤＧ

ＡＢ＝ＡＤ

１組の辺とその両端の角が等しい

2）①

△ＩＡＨと△ＩＦＧにおいて

ＡＨ//ＧＦより

平行線の錯角は等しいから

∠ＩＡＨ＝∠ＩＦＧ

∠ＩＨＡ＝∠ＩＧＦ

２組の角が等しいので

△ＩＡＨ∽△ＩＦＧ

ＡＢ//ＨＣだから

平行線の比の性質より

ＡＨ：ＡＥ＝ＢＣ：ＢＥ

ＢＣ＝２cm、ＣＥ＝４cmより

ＢＥ＝２＋４＝６cmだから

ＡＨ：ＡＥ＝２：６＝１：３

ＡＥ＝ＧＦだから

ＡＨ：ＧＦ＝１：３

△ＩＡＨ∽△ＩＦＧより

ＡＩ：ＦＩ＝ＡＨ：ＧＦ＝１：３

よって、

ＡＩ：ＩＦ＝１：３

2）②

△ＡＢＥで三平方の定理より

ＡＥ²＝ＡＢ²＋ＢＥ²

ＡＥ²＝２²＋６²＝40

ＡＥ＝2√10cm（ＡＥ＞０）

ＡＨ：ＨＥ＝１：２だから

ＡＨ＝（1/3）ＡＥ

　　＝（1/3）×2√10＝2√10/3 cm

正方形の辺だから

ＡＧ＝ＡＥ＝2√10cm

△ＡＨＩと△ＡＨＧは、高さが等しいから

底辺比が面積比になる。

ＨＩ：ＩＧ＝ＡＩ：ＩＦ＝１：３だから

△ＡＨＩ：△ＡＨＧ＝１：４

よって、

△ＡＨＩ＝（1/4）△ＡＨＧ

△ＡＨＧ

＝（1/2）×（2√10/3）×2√10

＝（1/2）×ＡＨ×ＡＧ

＝20/3 cm²

よって、

△ＡＨＩ＝（1/4）×（20/3）＝5/3cm²

問題

下の図のような、ＡＢ＜ＡＤの平行四辺形ＡＢＣＤがある。辺ＡＢの延長上にＡＤ＝ＡＥとなる点Ｅをとり、辺ＡＤ上にＡＦ＝ＢＥとなる点Ｆをとる。３点Ｃ、Ｅ、Ｆをそれぞれ線分で結ぶとき、あとの問いに答えなさい。ただし、ＢＥ＜ＡＥとする。

1）△ＡＥＦと△ＢＣＥが合同になることを証明しなさい。

2）∠ＥＢＣ＝110°のとき、∠ＣＦＤの大きさを求めなさい。

3）ＡＢ＝４cm、ＢＥ＝２cm、∠ＡＤＣ＝90°のとき、△ＣＥＦの面積を求めなさい。

1）

〔証明〕

△ＡＥＦと△ＢＣＥにおいて

仮定より

ＡＦ＝ＢＥ　①

平行四辺形の対辺の長さは等しいから

ＢＣ＝ＡＤ

ＡＥ＝ＡＤだから

ＡＥ＝ＢＣ　②

平行線の同位角は等しいから

∠ＦＡＥ＝∠ＥＢＣ　③

①、②、③より

２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

△ＡＥＦ≡△ＢＣＥ

2）

ＡＢ＝ＡＥ－ＢＥ

ＤＣ＝ＡＢだから

ＤＣ＝ＡＥ－ＢＥ

ＡＤ＝ＡＥだから

ＤＣ＝ＡＤ－ＢＥ

また、

ＤＦ＝ＡＤ－ＡＦ

ＢＥ＝ＡＦより

ＤＣ＝ＤＦ

よって、

△ＤＣＦは二等辺三角形である

∠ＥＢＣ＝110°だから

∠ＡＢＣ＝180°－110°＝70°

対角は等しいから

∠Ｄ＝70°

よって、

∠ＣＦＤ

＝（180°－70°）÷２＝55°

3）

∠ＡＤＣ＝90°より

四角形ＡＢＣＤは長方形になる。

ＢＣとＦＥの交点をＧとする

ＡＦ//ＢＧだから

平行線の比の性質より

ＢＧ：ＡＦ＝ＥＢ：ＢＡ

ＡＢ＝４cm、ＢＥ＝ＡＦ＝２cmだから

ＢＧ：２＝２：４

ＢＧ＝１cm

よって、

ＧＣ＝ＢＣ－ＢＧ＝６－１＝５cm

△ＦＣＧの面積は、

底辺ＧＣが５cm、高さ４cmだから

（1/2）×５×４＝10cm²

△ＥＣＧの面積は、

底辺ＧＣが５cm、高さ２cmだから

（1/2）×５×２＝５cm²

よって、

△ＣＥＦの面積は、

△ＦＣＧ＋△ＥＣＧ

＝10＋５＝15cm²

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塾生の声

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