中点連結定理

たむかい学習教室
6 日前
読了時間: 7分

中点連結定理

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

三角形の２辺それぞれの中点をつないだ直線は、他の１辺に平行で、長さはその半分になります。これを中点連結定理といい、三角形の相似を利用した考え方になります。

問題

下の図で、△ＡＢＣの３辺ＡＢ、ＢＣ、ＡＣの中点をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒとする。あとの問いに答えなさい。

1）∠ＡＰＲの大きさを求めなさい。

2）ＰＲの長さを求めなさい。

3）ＡＢの長さを求めなさい。

1）

ＡＰ＝ＰＢ、ＡＲ＝ＲＣだから

中点連結定理より、ＰＲ//ＢＣ

同位角は等しいから

∠ＡＰＲ＝∠ＡＢＣ＝45°

よって、45°

2）

中点連結定理より

ＰＲ＝1/2ＢＣ

　　＝（1/2）×16

　　＝８

よって、８cm

3）

ＣＲ＝ＲＡ、ＣＱ＝ＱＢだから

中点連結定理より

ＡＢ＝２ＲＱ

　　＝２×９

　　＝18

よって、18cm

問題

下の図の△ＡＢＣで、辺ＡＢ、ＢＣ、ＡＣの中点をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒとする。△ＰＱＲの周の長さを求めなさい。

ＡＰ＝ＰＢ、ＡＲ＝ＲＣだから

中点連結定理より

ＰＲ＝1/2ＢＣ＝５cm

ＢＰ＝ＰＡ、ＢＱ＝ＱＣより

ＰＱ＝1/2ＡＣ＝4.5cm

ＣＲ＝ＲＡ、ＣＱ＝ＱＢより

ＲＱ＝1/2ＡＢ＝3.5cm

ＰＲ＋ＰＱ＋ＲＱ

＝５＋4.5＋3.5

＝13

よって、13cm

問題

下の図の四角形ＡＢＣＤで、ＡＤ、ＢＣ、ＥＦは平行で、ＡＥ＝ＥＢである。対角線ＢＤとＥＦとの交点をＧとするとき、あとの問いに答えなさい。

1）ＥＧの長さを求めなさい。

2）ＢＣの長さを求めなさい。

1）

ＡＥ＝ＥＢで、ＡＤ//ＢＣ//ＥＦだから

ＧはＤＢの中点、

ＦはＤＣの中点である。

ＢＥ＝ＥＡ、ＢＧ＝ＧＤだから

中点連結定理より

ＥＧ＝1/2ＡＤ

　　＝（1/2）×６

　　＝３

よって、３cm

2）

ＥＦ＝３cmより

ＧＦ＝８－３＝５cm

ＤＧ＝ＧＢ、ＤＦ＝ＦＣだから

中点連結定理より

ＢＣ＝２ＧＦ

　　＝２×５

　　＝10

よって、10cm

問題

次の図で、△ＡＢＣの２辺ＡＢ、ＡＣの中点をそれぞれＭ、Ｎとするとき、ｘ、ｙの値をそれぞれ求めなさい。

ＡＭ＝ＭＢ、ＡＮ＝ＮＣだから

中点連結定理より

ＢＣ//ＭＮ

平行線の錯角は等しいから

∠ＣＢＮ＝∠ｘ＝47°

また、

ｙ＝２ＭＮ

　＝２×７

　＝14

よって、ｘ＝47、ｙ＝14

問題

下の図の△ＡＢＣで、辺ＡＢ、ＡＣの中点を、それぞれＭ、Ｎとする。

1）ＢＣ＝８cmのとき、ＭＮの長さを求めなさい。

2）∠ＢＡＣ＝45°、∠ＡＣＢ＝95°のとき、∠ＡＭＮの大きさを求めなさい。

1）

ＡＭ＝ＭＢ、ＡＮ＝ＮＣだから

中点連結定理より

ＭＮ＝1/2ＢＣ

　　＝（1/2）×８

　　＝４

よって、４cm

2）

∠ＡＢＣ

＝180°－（45°＋95°）

＝40°

中点連結定理より、ＭＮ//ＢＣ　　　　

同位角は等しいから

∠ＡＭＮ＝∠ＡＢＣ＝40°

よって、40°

問題

下の図の四角形ＡＢＣＤで、ＡＤ、ＢＣ、ＥＦは平行で、ＡＥ＝ＥＢである。対角線ＢＤとＥＦとの交点をＧとするとき、ＢＣの長さを求めなさい。

ＡＥ＝ＥＢで、ＡＤ//ＢＣ//ＥＦだから

ＧはＤＢの中点、ＦはＤＣの中点である。

ＢＥ＝ＥＡ、ＢＧ＝ＧＤだから

中点連結定理より

ＥＧ＝1/2ＡＤ

　　＝（1/2）×４

　　＝２cm

よって、

ＧＦ＝ＥＦ－ＥＧ

　　＝８－２

　　＝６cm

ＤＧ＝ＧＢ、ＤＦ＝ＦＣだから

中点連結定理より

ＢＣ＝２ＧＦ

　　＝２×６

　　＝12cm

よって、12cm

問題

下の図で、△ＡＢＣの辺ＢＣの中点をＭとし、辺ＡＣを３等分する点をＤ、Ｅとする。線分ＢＤとＡＭとの交点をＦとするとき、ＢＦの長さを求めなさい。

ＣＭ＝ＭＢ、ＣＥ＝ＥＤだから

中点連結定理より

ＢＤ＝２ＥＭ

　　＝２×６

　　＝12cm

ＡＤ＝ＤＥ、ＡＦ＝ＦＭだから

中点連結定理より

ＦＤ＝1/2ＥＭ

　　＝（1/2）×６

　　＝３cm

ＢＦ＝ＢＤ－ＦＤ

　　＝12－３

　　＝９cm

よって、９cm

問題

下の図の△ＡＢＣで、辺ＡＢ、ＡＣの中点をそれぞれＭ、Ｎとする。ＡＣの延長上に、ＣＤ＝1/2ＡＣとなる点Ｄをとり、ＢＣとＭＤとの交点をＥとする。ＢＣ＝８cmのとき、ＥＣの長さを求めなさい。

ＡＭ＝ＭＢ、ＡＮ＝ＮＣだから

中点連結定理より

ＭＮ＝1/2ＢＣ

　　＝（1/2）×８

　　＝４cm

ＣＤ＝1/2ＡＣより

ＤＣ＝ＣＮ

ＭＮ//ＢＣだから

ＤＥ＝ＥＭ

中点連結定理より

ＥＣ＝1/2ＭＮ

　　＝（1/2）×４

　　＝２cm

よって、２cm

問題

下の図の△ＡＢＣで、辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＡの中点をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒとする。ＡＢ＝ＢＣ、∠Ａ＝68°のとき、∠ＰＲＱの大きさを求めなさい。

ＡＰ＝ＰＢ、ＡＲ＝ＲＣだから

中点連結定理より、ＰＲ//ＢＣ

ＣＲ＝ＲＡ、ＣＱ＝ＱＢだから

中点連結定理より、ＲＱ//ＡＢ

ＰＲ//ＢＣより、ＰＲ//ＢＱ

ＲＱ//ＡＢより、ＲＱ//ＰＢ

平行四辺形の対角は等しいから

∠ＰＲＱ＝∠Ｂ

ＡＢ＝ＢＣだから、

△ＡＢＣは二等辺三角形である。

二等辺三角形の底角は等しいから

∠Ａ＝∠Ｃ＝68°

よって、

∠Ｂ＝180°－68°×２＝44°

∠ＰＲＱ＝∠Ｂだから

∠ＰＲＱ＝44°

問題

下の図のような、ＡＤ//ＢＣの台形ＡＢＣＤがある。ＡＢ、ＡＣの中点をそれぞれＭ、Ｎとし、ＭＮの延長とＣＤとの交点をＥとする。あとの問いに答えなさい。

1）ＡＤ＝６cm、ＢＣ＝10cmのとき、ＭＥの長さを求めなさい。

2）ＡＤ＝ｘcm、ＢＣ＝ｙcm、ＭＥ＝５cmとするとき、ｙをｘの式で表しなさい。

1）

ＡＭ＝ＭＢ、ＤＥ＝ＥＣ、

ＡＤ//ＢＣだから

ＭＥは、ＡＤとＢＣに平行で、

Ｎは、ＡＣの中点である。

ＡＭ＝ＭＢ、ＡＮ＝ＮＣだから

中点連結定理より

ＭＮ＝1/2ＢＣ

　　＝（1/2）×10

　　＝５cm　①

ＣＮ＝ＮＡ、ＣＥ＝ＥＤだから

中点連結定理より

ＮＥ＝1/2ＡＤ

　　＝（1/2）×６

　　＝３cm　②

①、②より

ＭＥ＝ＭＮ＋ＮＥ

　　＝５＋３

　　＝８cm

よって、８cm

2）

ＭＮ＝1/2ＢＣだから

ＭＮ＝（1/2）ｙ

ＮＥ＝1/2ＡＤだから

ＮＥ＝（1/2）ｘ

ＭＮ＋ＮＥ＝５より

（1/2）ｙ＋（1/2）ｘ＝５

よって、

ｙ＝－ｘ＋10

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塾生の声

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