事象と確率高校数学

たむかい学習教室
7月12日
読了時間: 17分

事象と確率高校数学

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

１学期も終盤に入り、高校数学Ａでは「確率」の学習に入っています。確率でいう事象は、試行によって起こり得る結果のことで、確率を求めるときに使う和事象と積事象、余事象については、「集合」「順列」「組合せ」の学習がもとになります。

問題

１個のさいころを投げるとき、次の場合の確率を求めよ。

1）４以下の目が出る。

2）３の倍数の目が出る。

1）

すべての出方　6通り

４以下　1,2,3,4　4通り

確率　4/6＝2/3

2）

３の倍数　3,6　2通り

確率　2/6＝1/3

問題

赤玉２個、白玉４個の入った袋から、玉を１個取り出すとき、白玉の出る確率を求めよ。

すべての取り出し方　6通り

白玉を取り出す場合　4通り

確率　4/6＝2/3

問題

３個のさいころを同時に投げるとき、次の場合の確率を求めよ。

1）すべて１の目が出る。

2）すべて奇数の目が出る。

1）

１個につき１が出る確率　1/6

３個すべて１が出る確率

（1/6）³＝1/216

2）

１個につき奇数が出る確率

3/6＝1/2（1,3,5の３つ）

３個すべて奇数が出る確率

（1/2）³＝1/8

問題

２個のさいころを同時に投げるとき、次の場合の確率を求めよ。

1）目の和が10以上になる。

2）大きい目から小さい目を引いた差が４になる。

1）

すべての出方　36通り

目の和が10以上の場合　6通り

（４，６）（６，４）（５，５）（５，６）（６，５）（６，６）　

確率　6/36＝1/6

2）

大きい目と小さい目の差４　4通り

（２，６）（６，２）（１，５）（５，１）

確率　4/36＝1/9

問題

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇの７人の水泳選手のコース順を、くじ引きで決めるとき、次の場合の確率を求めよ。

1）Ａが１コースにくる。

2）ＡまたはＢが１コースにくる。

3）Ａが１コース、Ｇが７コースにくる。

1）

Ａのすべての引き方　7通り

Ａが１コースを引く場合　1通り

確率　1/7

※

７人の順列の総数　7！

Ａを１コースに固定、他６人の順列の総数　6！

確率　7！/ 6！＝1/7

2）

Ｂが１コースを引く場合　1通り

確率　1/7

ＡまたはＢの確率だから

1/7＋1/7＝2/7

※

Ａを１コースに固定の場合、他６人の順列の総数　6！

Ｂを１コースに固定の場合、他６人の順列の総数　6！

ＡとＢは同じコースに来ないから、それぞれの総数を合わせて、6！＋6！

確率　（6!＋6!）/ 7!＝2/7

3）

Ｇが残り６つのくじから７コースを引く場合　1通り

確率　1/6

ＡかつＧの確率だから

1/7×1/6＝1/42

※

Ａを１コース、Ｇを７コースに固定

他５人の順列の総数　5！

確率　5！/ 7！＝1/42

問題

20人の生徒から４人の委員をくじ引きで選ぶとき、ある特定のＡ、Ｂがともに委員として選ばれる確率を求めよ。

20人から4人選ぶ組合せ

20Ｃ₄

＝20・19・18・17 / 4・3・2・1

＝5・19・3・17 通り

他２人がすでに選ばれていて、残り18人からＡとＢを選ぶ組合せ

18Ｃ₂

＝18・17 / 2・1

＝9・17 通り

確率

9・17 / 5・19・3・17

＝3 / 5・19

＝3/95

問題

白玉２個、赤玉４個の入った袋から玉を取り出す。

1）２個の玉を同時に取り出すとき、２個とも赤玉である確率を求めよ。

2）３個の玉を同時に取り出すとき、白玉１個、赤玉２個が出る確率を求めよ。

1）

計６個から２個取り出す組合せ

₆Ｃ₂＝15通り

赤玉４個から２個取り出す組合せ

₄Ｃ₂＝6通り

確率　6/15＝2/5

2）

計６個から３個取り出す組合せ

₆Ｃ₃＝20通り

白１個かつ赤２個の組み合わせだから

₂Ｃ₁×₄Ｃ₂＝12通り

確率　12/20＝3/5

問題

くじが10本あり、このうち４本が当たりくじである。このくじから同時に３本引くとき、２本だけ当たる確率を求めよ。

計10本から３本引く組合せ

10Ｃ₃＝120通り

当たり４本から２本引く組合せ

₄Ｃ₂＝6通り

はずれ６本から１本引く組合せ

₆Ｃ₁＝6通り

当たり２本かつはずれ１本だから、積の法則より、

6×6＝36通り

以上から、

確率　36/120＝3/10

問題

Ａ、Ｂ、Ｃの３人がじゃんけんを１回するとき、次の場合の確率を求めよ。

1）ＡとＢの２人が勝つ。

2）１人だけが勝つ。

1）

１人につき３通りの出し方だから、

すべての組合せ　３³＝27通り

ＡとＢが勝つにはＣと違う手が出ればよいから、

ＡとＢが勝つ組合せ　3通り

確率　3/27＝1/9

2）

1）より、Ｃだけ負けとＣだけ勝ちは同じ確率

１人につき、１人だけ勝つ確率は1/9

ＡまたはＢまたはＣの確率だから

1/9＋1/9＋1/9

＝1/3

問題

３個のさいころを同時に投げるとき、次の場合の確率を求めよ。

1）目の和が６になる。

2）目の積が５の倍数になる。

1）

すべての目の出方　６³＝216通り

和が６になる出方

（１，１，４）の場合

（１，１，４）（１，４，１）（４，１，１）　３通り※

（１，２，３）の場合　３！＝６通り

（２，２，２）の場合　１通り

確率　10/216＝5/108

※

同じものを含む順列の総数

すべての個数ｒ　同じものの個数ｎ

ｒ！／ｎ！

（１，１，４）

すべての個数３、同じものの個数２

３！／２！＝３通り

2）

積が５の倍数

少なくとも１つのさいころの目が５の場合

（すべての出方）－（どの目も５でない場合）

どの目も５でない場合の数　５³＝125

積が５の倍数になる出方は、

216－125＝91

確率　91/216

問題

大中小の３個のさいころを投げるとき、次の場合の確率を求めよ。

1）出る目がすべて異なる。

2）大中小の順に、出る目が小さくなる。

1）

すべての目の出方　６³＝216通り

大の目　6通り

中の目　大以外の目　5通り

小の目　大・中以外　4通り

すべて異なる場合の数（大かつ中かつ小の場合）

6×5×4＝120通り

確率　120/216＝5/9

2）

大　①②③④⑤➅

中　①②③④⑤➅

小　①②③④⑤➅

上図のように、さいころ３個に分けて６→５→４、５→４→３、・・と数えていく場合と、

下図のように、さいころ１個の中だけで数えていく場合は同じことになる。

①②③④⑤➅　①②③④⑤➅ ...

異なる６つの数字から３つを選ぶ組合せだから、

₆Ｃ₃＝20通り

確率　20/216＝5/54

問題

次の考え方は間違っている。正しい考え方で確率を求めよ。

1）３枚の硬貨を同時に投げるとき、（表、裏）の枚数について、（３，０）、（２，１）、（１，２）、（０，３）の４通りがある。よって、３枚とも表が出る確率は1/4である。

2）２個のさいころを同時に投げるとき、目の積は偶数か奇数になる。したがって、目の積が偶数になる確率は1/2である。

1）

３枚の硬貨を区別すると、起こり得る場合は全部で８通りある。

そのうち、（表、裏）の出方について、（３，０）は１通り、（２，１）は３通り、（１，２）は３通り、（０，３）は１通り。

したがって、３枚とも表が出る確率は1/8。

2）

２個のさいころを区別すると、起こりうる場合は全部で36通りある。そのうち、目の積が偶数になる場合は27通り。

したがって、目の積が偶数になる確率は3/4。

※

偶数×奇数のとき

（１，②か④か➅）　３通り

（３，〃）　３通り

（５，〃）　３通り

片方偶数のとき

（２，①～➅）　６通り

（４，①～➅）　６通り

（６，①～➅）　６通り

計27通り

※

（すべての出方）－（積が奇数）

積が奇数になるのは、奇数×奇数

（１，①か③か⑤）　３通り

（３，〃）　３通り

（５，〃）　３通り

よって、36－9＝27通り

問題

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈの８文字を無作為に横１列に並べるとき、次の場合の確率を求めよ。

1）ＡとＢが両端にある。

2）ＡはＢより左で、ＢはＣより左にある。

1）

異なる８文字を並べる順列　８！

ＡとＢは右端か左端のどちらかだから、並び方は２！

残りの異なる６文字を並べる順列の総数は６！

積の法則より、ＡとＢが両端にある場合は、２！×６！

確率は、

２！×６！/８！

＝1/28

2）

ＡはＢより左にある

ＢはＣより左にある

以上から、３つの文字は、他の文字の間に入ったとしても、左からＡ→Ｂ→Ｃの順に並ぶ。

同じものを含む順列の数は、８！/３！

求める確率は、

８！/３！÷８！

＝１/３！

＝1/6

※

同じものを含む順列の総数

すべての個数ｒ　同じものの個数ｎ

ｒ！／ｎ！

問題

大人６人、子ども２人が、くじ引きで席を決めて円卓に座るとき、次の場合の確率を求めよ。

1）子ども２人が隣り合う。

2）子ども２人が真正面に向かい合う。

1）

円順列だから、順列の総数は（８－１）！＝７！

子ども以外の６席に座る大人の順列の総数　６！

子ども２人の順列の総数　２！

確率

６！×２！/７！＝2/7

2）

子どもから見て、右手と左手の３席ずつに大人が座る。

計６席に座る順列の総数　６！

確率　６！/７！＝1/7

問題

赤玉と白玉が合わせて８個入った袋から、２個の玉を同時に取り出すとき、２個とも赤玉である確率が5/14であるという。赤玉の個数を求めよ。

赤玉の個数をｘとする

計８個から２個取り出す組合せ

₈Ｃ₂＝28通り

赤玉ｘ個から２個取り出す組合せ

xＣ₂

＝ｘ（ｘ－1）/ 2

確率5/14から

ｘ（ｘ－1）/ 2×1/28＝5/14

ｘ（ｘ－1）＝20

ｘ²－ｘ－20＝０

（ｘ－５）（ｘ＋４）＝０

ｘ＝５（ｘ＞０）

よって、５個

問題

３個のさいころを同時に投げるとき、次の場合の確率を求めよ。

1）出る目の積が150になる。

2）出る目の積が18になる。

3）出る目の積が135以上となる。

1）

すべての出方　６³＝216通り

150＝２×３×５²

よって、出る目は５が２個、６が１個出た場合のみ（５，５，６）

この順列の総数は、３個のうち同じものが２個あるから、

３！／２！＝３通り

以上から、

確率　3/216＝1/72

2）

18＝２×３²

よって、（１，３，６）と（２，２，３）が出た場合

１と３と６の順列の総数は、異なる３個から３個並べるから、

３！＝６通り

２と２と３の順列の総数は、３個のうち同じものが２個あるから、

３！／２！＝３通り

（１，３，６）または（２，２，３）のときだから、和の法則より、

６＋３＝９通り

以上から、

確率　9/216＝1/24

3）

積の最大値は、6×6×6＝216

次に大きい値は、順に

5×6×6＝180

5×5×6＝150

4×6×6＝144

5×5×5＝125（適さない）

となり、（６，６，６）（５，６，６）（５，５，６）（４，６，６）が出た場合になる。

（６，６，６）　1通り

（５，６，６）　3通り

（５，５，６）　3通り

（４，６，６）　3通り

以上から、

確率　10/216＝5/108

問題

１個のさいころを投げるとき、「奇数の目が出る」という事象をＡ、「素数の目が出る」という事象をＢとする。

1）事象Ａ∩Ｂ、Ａ∪Ｂを表す集合をそれぞれ求めよ。

2）確率Ｐ（Ａ∩Ｂ）、Ｐ（Ａ∪Ｂ）をそれぞれ求めよ。

1）

Ａ＝｛１,３,５｝

Ｂ＝｛２,３,５｝

Ａ∩Ｂ＝｛３,５｝

Ａ∪Ｂ＝｛１,２,３,５｝

2）

目の出方　６通り

Ａ∩Ｂ　２通り

Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝1/3

Ａ∪Ｂ　４通り

Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝2/3

問題

１から10までの10枚の番号札の中から１枚引くとき、次の事象のどれとどれが互いに排反であるか。

事象Ａ：偶数の札が出る

事象Ｂ：奇数の札が出る

事象Ｃ：６の約数の札が出る

事象Ｄ：７の札が出る

Ａ＝｛2,4,6,8,10｝

Ｂ＝｛1,3,5,7,9｝

Ｃ＝｛1,2,3,6｝

Ｄ＝｛7｝

よって、

ＡとＢ　ＡとＤ　ＣとＤ

問題

１等、２等、３等の当たる確率がそれぞれ5/100、10/100、30/100であるくじがある。このくじを１本引くとき、次の場合の確率を求めよ。

1）１等または２等が当たる。

2）１等、２等、３等のいずれかが当たる。

1）

２つの事象「１等が当たる」「２等が当たる」は互いに排反であるから、加法定理より、

5/100＋10/100

＝15/100

＝3/20

2）

「３等が当たる」と上の２つの事象は互いに排反であるから、加法定理より、

5/100＋10/100＋30/100

＝45/100

＝9/20

問題

白玉５個、赤玉６個、青玉１個の入った袋から、２個の玉を同時に取り出すとき、２個とも同じ色である確率を求めよ。

計12個から２個取り出す組合せ

12Ｃ₂＝66通り

２個とも同じ色であるのは、

「白玉５個から２個」または「赤玉６個から２個」取り出すとき

₅Ｃ₂＝10通り

₆Ｃ₂＝15通り

和の法則より、計25通り

確率　25/66

問題

赤玉５個、白玉７個の入った袋から、４個の玉を同時に取り出すとき、その中に赤玉が３個以上含まれる確率を求めよ。

計12個から４個取り出す組合せ

12Ｃ₄＝495通り

赤玉３個以上であるのは、

「赤玉５個から３個」かつ「白玉７個から１個」取り出すとき

₅Ｃ₃＝₅Ｃ₂＝10通り

₇Ｃ₁＝7通り

積の法則より、計70通り

「赤玉５個から４個」取り出すとき

₅Ｃ₄＝₅Ｃ₁＝5通り

赤玉３個以上であるのは、和の法則より、計75通り

確率　75/495＝5/33

問題

４枚の硬貨を同時に投げるとき、表が３枚以上出る確率を求めよ。

すべての出方

１枚の硬貨につき２通りあるから　２⁴＝16通り

（表、表、表、裏）の場合

４枚のうち３枚が同じだから、同じものを含む順列の式より、

４！／３！＝4通り

（表、表、表、表） 1通り

合わせて計5通り

確率　5/16

問題

大小２個のさいころを投げるとき、次の事象の余事象をいえ。また、余事象の確率から、もとの事象の確率を求めよ。

1）目の和が５より大きい

2）異なる目が出る

1）

余事象「目の和が５以下」

５以下になるのは、

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1)

すべての出方　６×６＝36通り

余事象の確率　10/36＝5/18

もとの確率＝１－余事象の確率だから、

1－5/18

＝13/18

※

Ａ＝｛ｘ＞５｝　Ａ⁻＝｛ｘ≦５｝

2）

余事象「同じ目が出る」

同じ目になるのは、

（１，１）～（６，６）　6通り

余事象の確率　6/36＝1/6

もとの確率は、

1－1/6

＝5/6

問題

１から100までの100枚の番号札から１枚引くとき、５の倍数または８の倍数が出る確率を求めよ。

５の倍数　100÷5＝20個

確率　20/100

８の倍数　100÷8＝12.5　12個

確率　12/100

重複している倍数　40と80の2個

確率　2/100

重複する倍数は除くから

20/100＋12/100－2/100

＝3/10

※

一般の和事象の確率

P（A∪B）

＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）

問題

赤玉４個、青玉６個、黄玉３個の入った袋から、４個の玉を同時に取り出すとき、次の場合の確率を求めよ。

1）少なくとも２個は黄玉が出る。

2）取り出した玉にどの色のものも含まれる。

1）

計13個から４個取り出す組合せ

13Ｃ₄＝13・11・5 通り

「少なくとも」２個だから、「黄玉３個から２個と他色10個から２個」または「黄玉３個から３個と他色10個から１個」の組合せを求める。

「黄玉３個から２個と他色10個から２個」

₃Ｃ₂×10Ｃ₂

＝3×45

＝135通り

「黄玉３個から３個と他色10個から１個」

₃Ｃ₃×10Ｃ₁

＝1×10

＝10通り

少なくとも２個は黄玉が出る組合せは、和の法則より、145通り

確率

145/ 13・11・5

＝29/143

2）

どれか１色は２個、それ以外は１個ずつの組合せ

赤玉が２個の場合

₄Ｃ₂×₆Ｃ₁×₃Ｃ₁

＝6×6×3

＝108通り

青玉が２個の場合

₄Ｃ₁×₆Ｃ₂×₃Ｃ₁

＝4×15×3

＝180通り

黄玉が２個の場合

₄Ｃ₁×₆Ｃ₁×₃Ｃ₂

＝4×6×3

＝72通り

どの色のものも含まれる組合せは、和の法則より、

108＋180＋72＝360通り

確率

360/ 13・11・5

＝72/143

問題

当たりくじ４本を含む10本のくじがある。このくじから同時に３本引くとき、次の場合の確率を求めよ。

1）３本ともはずれる。

2）少なくとも１本が当たる。

1）

計10本から３本引く組合せ

10Ｃ₃＝120通り

はずれ６本から３本引く組合せ

₆Ｃ₃＝20通り

確率　20/120＝1/6

2）

少なくとも１本当たるの余事象は「３本ともはずれる」

少なくとも１本当たる確率は、１－余事象の確率だから、

1－1/6

＝5/6

問題

３個のさいころを同時に投げるとき、次の場合の確率を求めよ。

1）少なくとも２個の目が同じである。

2）３個の目の積が偶数である。

1）

「すべて異なる目が出る」の余事象

すべての目が異なる場合

１個目　6通り

２個目　残り5通り

３個目　残り4通り

積の法則より、6×5×4＝120通り

※

１個目かつ２個目が異なる

２個目かつ３個目が異なる

１個目かつ３個目が異なる

すべての出方　６³＝216通り

余事象の確率 120/216＝5/9

少なくとも２個の目が同じである確率は、

1－5/9

＝4/9

2）

３つの目がすべて奇数のときに、積は奇数になる。

「積が奇数である」の余事象

積が奇数である場合

各さいころの目が奇数の場合は３通りだから、3×3×3＝27通り

余事象の確率　27/216＝1/8

３個の目の積が偶数である確率は、

1－1/8

＝7/8

問題

赤玉５個、白玉６個の入った袋から、４個の玉を同時に取り出すとき、次の場合の確率を求めよ。

1）４個とも同じ色の玉が出る。

2）赤玉と白玉が出る。

1）

計11個から４個取り出す組合せ

11Ｃ₄＝11・10・3 通り

「赤玉５個から４個」または「白玉６個から４個」取り出す組合せ

₅Ｃ₄＝₅Ｃ₁＝5通り

₆Ｃ₄＝₆Ｃ₂＝15通り

和の法則より、5＋15＝20通り

確率

20 / 11・10・3

＝2/33

2）

４個の中に、別々の色が含まている場合だから、「４個とも同じ色の玉が出る」の余事象である。

余事象の確率　2/33

よって、赤玉と白玉が出る確率は、

1－2/33

＝31/33

問題

白玉７個、赤玉３個の入った袋から、６個の玉を同時に取り出すとき、白玉の個数が赤玉の個数より多い確率を求めよ。

計10個から６個取り出す組合せ

10Ｃ₆＝10Ｃ₄＝5・3・2・7 通り

白玉の個数が赤玉より多い場合は、

白玉６個　赤玉０個

白玉５個　赤玉１個

白玉４個　赤玉２個

白玉７個から６個、赤玉３個から０個取り出す組合せ

₇Ｃ₆×₃Ｃ₀

＝₇Ｃ₁×1

＝7通り

白玉７個から５個、赤玉３個から１個取り出す組合せ

₇Ｃ₅×₃Ｃ₁

＝₇Ｃ₂×₃Ｃ₁

＝21×3

＝63通り

白玉７個から４個、赤玉３個から２個取り出す組合せ

₇Ｃ₄×₃Ｃ₂

＝₇Ｃ₃×₃Ｃ₂

＝35×3

＝105通り

これらの組み合わせは、和の法則より、

7＋63＋105＝175通り

求める確率は、

175 / 5・3・2・7

＝5/6

問題

50から100までの番号札が各数字１枚ずつある。この中から１枚引くとき、その番号が次のような数である確率を求めよ。

1）３の倍数

2）７の倍数

3）３の倍数または７の倍数

4）３の倍数でも７の倍数でもない

1）

51から100までの札は50枚

50から100までの札は51枚になる

1から100までの３の倍数

100÷3＝33.3　33枚

1から49までの３の倍数

49÷3＝16.3　16枚

よって、51枚の中にある３の倍数の札は、

33－16＝17枚

確率　17/51＝1/3

2）

1から100までの７の倍数

100÷7＝14.2　14枚

1から49までの７の倍数

49÷7＝7　7枚

よって、51枚の中にある７の倍数の札は、

14－7＝7枚

確率　7/51

3）

３の倍数と７の倍数で、重複する数

50から100までの中に、63と84の２枚ある

※21×3＝63　21×4＝84

重複する数を引く確率　2/51

求める確率は、

1/3＋7/51－2/51

＝22/51

4）

「３の倍数または７の倍数」の余事象

求める確率は、

1－22/51

＝29/51

問題

３個のさいころを同時に投げるとき、次の場合の確率を求めよ。

1）出る目の最小値が３以上である。

2）出る目の最小値が３以上５以下である。

3）出る目の最小値が３である。

1）

各さいころの目は3,4,5,6の４通り

１個目　４通り

２個目　４通り

３個目　４通り

3,4,5,6が１個目かつ２個目かつ３個目に出るときだから、積の法則より、

4×4×4＝64通り

すべての出方　６³＝216通り

確率　64/216＝8/27

2）

（最小値３以上）－（最小値６以上）

最小値３以上　64通り

最小値６以上　すべて６だから1通り

よって、64－1＝63通り

確率　63/216＝7/24

3）

（最小値が３以上）－（最小値４以上）

※最小値＝４、最小値＝５、最小値＝６の場合の数を引いて求める。

最小値４以上の場合

各さいころの目が4,5,6の３通りだから、３³＝27通り

よって、出る目の最小値が３の場合は、

64－27＝37通り

確率　37/216

問題

１から10までの自然数から異なる３個の数を選び出すとき、次の場合の確率を求めよ。

1）最大の数が８である。

2）最大の数が８で、かつ最小の数が４以下である。

1）

計10個から異なる３個を選ぶ組合せ

10Ｃ₃＝120通り

最大が８だから、１～７の７個から２個選ぶ組合せ

₇Ｃ₂＝21通り

確率　21/120＝7/40

2）

最小の数をａ、次に大きい数をｂとする。

ａ＝１のとき、ｂは２から７までの６通り

ａ＝２のとき、ｂは３から７までの５通り

ａ＝３のとき、ｂは４から７までの４通り

ａ＝４のとき、ｂは５から７までの３通り

ａが１または２、３、４のいずれかだから、和の法則より、

6＋5＋4＋3＝18通り

確率　18/120＝3/20

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【たむかい学習教室】

完全1対1 個別指導

教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！

追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！

全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！

多くの生徒さんや親御さんのご期待に、本当の意味でお応えできるよう、当塾では「生徒一人に教師一人」の授業で、塾生の学習を本格的にサポートしております。

塾生のホンネ

「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」

「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」

「学校の授業で難しいことが増えてきた」

「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」

完全１対１授業でホンネを解決！

★苦手の克服に最適★

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★経験豊富な講師の一貫指導★

★安心の授業料で全力サポート★

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　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。

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　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。

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　入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。

　＜１か月授業料（税込）＞

　90分授業：14,800円（月4回）

120分授業：17,600円（月4回）

　(例)１回・90分授業の場合

　教師１名・生徒３名の複数指導

　→１名につき30分の個別指導

　指導時間3分の1、実質料金は割高に。

　　↕

　教師1名・生徒1名の完全個別指導

　⇒完全90分の個別指導（当塾）

　生徒1名に100％の指導時間

親御さんの声

「できる問題が増え勉強に自信がついたようで、期待感があります」

「苦手だった英語と数学が伸び始めたので、正直ホッとしています」

「成績の伸び幅と年間の費用を考えると、転塾して正解でした」

合格実績

八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科

八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学

指導実績

八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中

八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ

吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小

今年度塾生28名（2025年4月現在）

「体験学習」を実施しています

通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。

当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。

ご入塾までの流れ

体験学習（60分）

入塾をご希望の場合、

保護者面談の日程調整

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保護者面談（40分程度）

お子様の受講に関わるご説明

保護者の方からのご相談・ご要望

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受講開始手続き

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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