二次関数変化の割合

たむかい学習教室
11月22日
読了時間: 8分

二次関数変化の割合

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

変化の割合は、ｘとｙそれぞれの値の増加量をもとに求めます。ｙの増加量÷ｘの増加量で求めることができ、グラフの傾きａを表します。二次関数は、変化の割合が一定ではないため、グラフは曲線（放物線）になります。

問題

関数ｙ＝ａｘ²において、ｘの値が２から４まで増加するときの変化の割合は２である。このとき、ａの値を求めなさい。

ｙの増加量

━━━━━ ＝変化の割合

ｘの増加量

ｘ＝２のとき、ｙ＝ａ×２²＝４ａ

ｘ＝４のとき、ｙ＝ａ×４²＝16ａ

16ａ－４ａ

━━━━━＝２

　４－２

６ａ＝２

ａ＝1/3

問題

関数ｙ＝（1/2）ｘ²において、ｘの値がｐからｐ＋２まで増加するときの変化の割合が－３である。このとき、ｐの値を求めなさい。

ｘ＝ｐのとき、ｙ＝（1/2）ｐ²

ｘ＝（ｐ＋２）のとき、

ｙ＝（1/2）×（ｐ＋２）²

ｘの増加量

（ｐ＋２）－ｐ

＝２

ｙの増加量

（1/2）（ｐ＋２）²－（1/2）ｐ²

＝（1/2）（ｐ²＋４ｐ＋４）－（1/2）ｐ²

＝２ｐ＋２

２ｐ＋２

━━━━━＝－３

　２

ｐ＋１＝－３

ｐ＝－４

問題

下の図のように、関数ｙ＝ｘ²のグラフと関数ｙ＝ａｘ＋ｂのグラフが２点Ａ、Ｂで交わっていて、それぞれのｘ座標をｍ、ｍ＋２とする。関数ｙ＝ｘ²について、ｘの値がｍからｍ＋２まで増加するときの変化の割合が６であるとき、ａ、ｂの値を求めなさい。

ｘ＝ｍのとき、ｙ＝ｍ²

ｘ＝ｍ＋２のとき、ｙ＝（ｍ＋２）²

ｘの増加量

（ｍ＋２）－ｍ

＝２

ｙの増加量

（ｍ＋２）²－ｍ²

＝ｍ²＋４ｍ＋４－ｍ²

＝４ｍ＋４

４ｍ＋４

━━━━━＝６

　２

２ｍ＋２＝６

ｍ＝２

ｍ＝２より、点Ａはｘ＝２

ｙ＝ｘ²上にあるから

ｙ＝２²＝４

点Ｂは、ｘ＝２＋２＝４

ｙ＝４²＝16

Ａ（２，４）　Ｂ（４，16）を通る直線

ｘの増加量　４－２＝２

ｙの増加量　16－４＝12

変化の割合　12／２＝６

切片の値をｂとする

ｙ＝６ｘ＋ｂ

（２，４）を通るから

４＝６×２＋ｂ

ｂ＝－８

よって、求める式は、

ｙ＝６ｘ－８

問題

下の図のように、関数ｙ＝ａｘ²（ｘ＞０）のグラフ上に２点Ａ、Ｂがあり、ｘ座標はそれぞれ－６、４である。直線ＡＢの傾きが－1/2であるとき、ａの値を求めなさい。

ｘ＝－６のとき、

ｙ＝ａ×（－６）²＝36ａ

ｘ＝４のとき、

ｙ＝ａ×４²＝16ａ

ｘの増加量　４－（－６）＝10

ｙの増加量　16ａ－36ａ＝－20ａ

傾き　－20ａ／10＝－２ａ

よって、

－２ａ＝－1/2

ａ＝1/4

問題

ペットボトルに水を入れて、底にあけた穴から水をぬいた。ペットボトルに入っている、高さがｙcmの水が、ｘ分間ですべてなくなるとすると、ｘとｙの関係はｙ＝ａｘ²で表されるという。実験をしたところ、高さが９cmの水がすべてなくなるのに６分かかった。次の問いに答えなさい。

1）ａの値を求めなさい。

2）高さ16cmまで水を入れてから、高さが１cmになるまで水をぬいた。水をぬいていた時間は何分間であったかを求めなさい。

1）

ｘ＝６、ｙ＝９だから

ｙ＝ａｘ²に代入

９＝ａ×６²

ａ＝1/4

2）

ｙ＝16のとき、

ｙ＝（1/4）ｘ²だから

16＝（1/4）ｘ²

ｘ²＝64

ｘ＞０より、ｘ＝８

高さ16cmまで入れると、８分でなくなる。

ｙ＝１のとき、

１＝（1/4）ｘ²

ｘ²＝４

ｘ＞０より、ｘ＝２

高さ１cmまで入れると、２分でなくなる。

よって、

８－２＝６分間

問題

下の図で、曲線は関数ｙ＝２ｘ²のグラフである。曲線上にｘ座標が－３、２である２点Ａ、Ｂをとり、この２点を通る直線ℓをひく。直線ℓとｘ軸との交点をＣとするとき、△ＡＯＣの面積を求めなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。

点Ａは、

ｙ＝２ｘ²上にあり、ｘ＝－３だから

ｙ＝２×（－３）²＝18

点Ｂは、ｘ＝２だから

ｙ＝２×２²＝８

直線ＡＢの式を求める

（－３，18）と（２，８）を通る

ｘの増加量　２－（－３）＝５

ｙの増加量　８－18＝－10

変化の割合　－10／５＝－２

切片の値をｂとする

ｙ＝－２ｘ＋ｂ

（２，８）を通るから

８＝－２×２＋ｂ

ｂ＝12

ＡＢの式は、ｙ＝－２ｘ＋12

点Ｃは、

ＡＢ上にあり、ｙ＝０だから

０＝－２ｘ＋12

ｘ＝６

よって、

底辺ＯＣ＝６－０＝６cm

高さは、Ａからｘ軸との距離だから

18－０＝18cm

よって、△ＡＯＣの面積は、

（1/2）×６×18

＝54cm²

二次関数の変域

問題

関数ｙ＝ａｘ²について、ｘの変域が－３≦ｘ≦２のとき、ｙの変域は０≦ｙ≦６である。このとき、ａの値を求めなさい。

ｙの変域が０≦ｙ≦６だから、

放物線は上開き（下に凸）

ｘの絶対値が大きいほうが、ｙは最大値になるから

ｘ＝－３のとき、ｙ＝６

ｙ＝ａｘ²に代入

６＝ａ×（－３）²

ａ＝2/3

問題

関数ｙ＝－ｘ²について、ｘの変域が－２≦ｘ≦ａのとき、ｙの変域は－16≦ｙ≦ｂである。このとき、ａ、ｂの値をそれぞれ求めなさい。

ｙ＝－ｘ²だから

放物線は下開き（上に凸）

ｙ＝－16のときのｘの値は、

－16＝－ｘ²

ｘ＝±４

ｘの最小値が－２だから

ｘの変域は、－２≦ｘ≦４

このときｙの最大値は、０

よって、

ａ＝４、ｂ＝０

図形上の動点

問題

下の図のように、ＡＢ＝６cm、ＡＣ＝４cm、∠ＣＡＢ＝90°の直角三角形ＡＢＣがある。点Ｐ、Ｑは頂点Ａを同時に出発し、ＰはＡＢ上、ＱはＡＣ上を、ともに毎秒１cmの速さで、それぞれ矢印の向きに動き、点Ｐ、Ｑは、それぞれ頂点Ｂ、Ｃに到着したら止まるものとする。点Ｐ、Ｑが頂点Ａを出発してからｘ秒後の３点Ａ、Ｐ、Ｑを結んでできる△ＡＰＱの面積をｙcm²とするとき、次の1）、2）について、ｙをｘの式で表しなさい。ただし、点Ｐ、Ｑが頂点Ａにあるときはｙ＝０とする。

1）０≦ｘ≦４のとき

2）４≦ｘ≦６のとき

1）

△ＡＰＱの底辺ＡＰ、高さＡＱ

点ＰとＱともに毎秒１cmの速さだから

それぞれｘ秒間に動く距離は、

秒速１cm×ｘ秒＝ｘcm

よって、

ＡＰ＝ｘcm、ＡＱ＝ｘcm

求める式は、

ｙ＝（1/2）×ｘ×ｘ

ｙ＝（1/2）ｘ²

2）

ｘが４以上のとき、

点Ｑは止まったままだから

高さＡＱ＝４cm

底辺ＡＰ＝ｘcm

求める式は、

ｙ＝（1/2）×ｘ×４

ｙ＝２ｘ

問題

下の図のような台形ＡＢＣＤがある。点Ｐ、Ｑが同時にＡを出発して、Ｐは秒速２cmで台形の辺上をＡからＢまで動き、Ｂで折り返してＡまで動いて止まり、Ｑは秒速１cmで台形の辺上をＡからＤを通ってＣまで動いて止まる。Ｐ、ＱがＡを出発してからｘ秒後の△ＡＰＱの面積をｙcm²とする。あとの問いに答えなさい。

1）ｘの変域を次の①、②とするとき、ｙをｘの式で表しなさい。

①　０≦ｘ≦４のとき

②　４≦ｘ≦８のとき

2）△ＡＰＱの面積と、台形ＡＢＣＤから△ＡＰＱを除いた面積の比が、３：５になるのは、Ｐ、ＱがＡを出発してから何秒後と何秒後であるかを求めなさい。

点Ｐが動く距離は、

秒速２cm×ｘ秒＝２ｘcm

点Ｑが動く距離は、

秒速１cm×ｘ秒＝ｘcm

1）①

出発（０秒）から４秒間

点ＰはＡＢ上、点ＱはＡＤ上にあるから、

△ＡＰＱの底辺はＡＰ、高さはＡＱになる。

ＡＰ＝２ｘcm、ＡＱ＝ｘcmより

ｙ＝（1/2）×２ｘ×ｘ

よって、求める式は、

ｙ＝ｘ²

1）②

出発後４秒から８秒まで

点Ｐは折り返し後のＢＡ上、

点ＱはＤＣ上にある。

点ＰがＡＢを往復する距離は16cm

折り返してＢＡ上に来るまで２ｘcm

残りの距離が底辺ＡＰとなるから

ＡＰ＝16－２ｘ cm

高さは点ＱとＡＢとの距離だから４cm

よって、

ｙ＝（1/2）×（16－２ｘ）×４

求める式は、

ｙ＝－４ｘ＋32

2）

△ＡＰＱの面積は、台形の3/8倍である。

台形ＡＢＣＤの面積は、

（ＡＢ＋ＤＣ）×ＡＤ×（1/2）

＝（８＋４）×４×（1/2）

＝24

△ＡＰＱの面積は、

24×（3/8）＝９cm²

1）より

０≦ｘ≦４のとき

ｙ＝ｘ²だから

９＝ｘ²

ｘ＞０より、ｘ＝３

４≦ｘ≦８のとき

ｙ＝－４ｘ＋32だから

９＝－４ｘ＋32

ｘ＝23/4

よって、３秒後と23/4秒後

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