円周角の定理高校入試対策

たむかい学習教室
1月14日
読了時間: 8分

円周角の定理高校入試対策

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

円周角の定理では、弧に対応する角が中心角の半分になること、同じ長さの弧に対応する角は等しくなることを押さえます。応用問題では、補助線の引き方がポイントになります。

円周角の基本

問題

次の図で、∠ｘの大きさを求めなさい。

1）

円周角は中心角の1/2だから

ｘ＝80°×（1/2）＝40°

2）

ｘ＝120°×（1/2）＝60°

問題

次の図で、∠ｘの大きさを求めなさい。

1）

∠Ｃと∠Ｄは、

Ａ⌒Ｂに対する円周角だから

ｘ＝45°

2）

ｘ＝65°

問題

次の図で、∠ｘの大きさを求めなさい。ただし、Ａ⌒Ｂ＝Ｃ⌒Ｄとする。

1）

Ａ⌒Ｂ＝Ｃ⌒Ｄより

同じ長さの弧に対する円周角は等しいから

ｘ＝30°

2）

ｘ＝15°

問題

次の図で、ＡＢが円Ｏの直径のとき、∠ｘ、∠ｙの大きさを求めなさい。

1）

直径ＡＢに対する円周角だから

ｘ＝180°×（1/2）＝90°

三角形の内角の和より

ｙ＝180°－（90°＋60°）＝30°

ｘ＝90°、ｙ＝30°

2）

直径ＡＢに対する円周角だから

ｘ＝180°×（1/2）＝90°

三角形の内角の和より

ｙ＝180°－（90°＋45°）＝45°

ｘ＝90°、ｙ＝45°

問題

次の図で、∠ｘの大きさを求めなさい。ただし、右図はＢ⌒Ｃ＝Ｃ⌒Ｄとする。

1）

線分ＦＣをひく

Ｂ⌒Ｃに対する円周角だから

∠ＢＦＣ＝∠ＢＡＣ＝25°

よって、

∠ＣＦＤ＝60－25°＝35°

Ｃ⌒Ｄに対する円周角だから

∠ＣＥＤ＝∠ＣＦＤ＝35°

よって、ｘ＝35°

2）

線分ＡＤをひく

Ｂ⌒Ｃ＝Ｃ⌒Ｄより

∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＣ＝30°

中心角は円周角の２倍だから

∠ＣＯＤ＝30°×２＝60°

よって、ｘ＝60°

問題

下の図のように、円Ｏの周上に４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがあり、線分ＡＣは点Ｏを通る。点Ｂを含まないＡ⌒Ｄの長さと点Ｂを含まないＤ⌒Ｃの長さの比が３：２のとき、∠ＡＢＤの大きさを求めなさい。

線分ＣＢをひく。

Ａ⌒Ｄ：Ｄ⌒Ｃ＝３：２より

弧ＡＤに対する円周角ＡＢＤを３ｘ°、

弧ＤＣに対する円周角ＤＢＣを２ｘ°とする。

直径ＡＣに対する円周角だから

∠ＡＢＣ＝180°×（1/2）＝90°

よって、

３ｘ°＋２ｘ°＝90°

ｘ＝18

∠ＡＢＤ＝３ｘ°＝３×18＝54°

問題

下の図において、５点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅは円Ｏの周上にあり、∠ＢＡＣ＝24°、∠ＣＥＤ＝38°、Ｃ⌒Ｄ＝Ｄ⌒Ｅである。線分ＢＤと線分ＣＥの交点をＦとするとき、∠ＣＦＤの大きさを求めなさい。

線分ＤＣをひく。

Ｂ⌒Ｃに対する円周角だから

∠ＢＤＣ＝∠ＢＡＣ＝24°

Ｃ⌒Ｄ＝Ｄ⌒Ｅより

弦ＣＤ＝弦ＤＥ

よって、

△ＤＣＥは二等辺三角形である

底角が等しいから

∠ＤＣＥ＝∠ＤＥＣ＝38°

△ＣＦＤにおいて

三角形の内角の和より

∠ＣＦＤ

＝180°－（24°＋38°）＝118°

問題

下の図で、Ｃ、ＤはＡＢを直径とする半円Ｏの周上の点であり、Ｅは直線ＡＣとＢＤとの交点である。半円Ｏの半径が５cm、Ｃ⌒Ｄの長さが２π cmのとき、∠ＣＥＤの大きさを求めなさい。

Ｃ⌒Ｄ＝２π cmから

中心角ＣＯＤを求める。

ＯＣ＝５cmより

円Ｏの１周分の長さは、

２π×５＝10π cm

うち２π cmにあたる部分だから

360°×（2/10）＝72°

線分ＡＤをひくと、

∠ＣＡＤはＣ⌒Ｄに対応するから

中心角の半分になり、36°

また、

直径ＡＢに対する円周角だから

∠ＡＤＢ＝90°

よって、∠ＡＤＥ＝90°

△ＡＤＥにおいて

三角形の内角和のより

∠ＣＥＤ

＝180°－（36°＋90°）＝54°

問題

下の図のように、円Ｏの周上に３点Ａ、Ｂ、Ｐがあり、∠ＡＰＢ＝75°である。円周角∠ＡＰＢに対するＡ⌒Ｂの長さが４πcmであるとき、円Ｏの周の長さを求めなさい。

∠ＡＰＢ＝75°だから

中心角ＡＯＢ＝75°×２＝150°

よって、

Ａ⌒Ｂの長さは、

円の150/360の長さにあたる。

半径をｘcmとする

２πｘ×（150/360）＝４π

ｘ＝（24/5）cm

よって、円周の長さは、

２π×（24/5）＝（48/5）π cm

問題

下の図のように、円Ｏの周上に４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがあり、ＡＢ＝ＡＣ、∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＤである。また、線分ＡＣと線分ＢＤとの交点をＥとする。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＡＢＥ≡△ＡＣＤを証明しなさい。

2）ＡＢ＝ＡＣ＝４cm、ＡＤ＝３cmとする。このとき、線分ＢＤの長さを求めなさい。

1）

〔証明〕

△ＡＢＥと△ＡＣＤにおいて

仮定より

ＡＢ＝ＡＣ　①

∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＤより

∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ　②

Ａ⌒Ｄに対する円周角だから

∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＤ　③

①、②、③より

１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、

△ＡＢＥ≡△ＡＣＤ

2）

△ＥＢＣと△ＢＡＣにおいて

∠ＥＣＢ＝∠ＢＣＡ（共通）①

△ＡＢＥ≡△ＡＣＤより

ＡＥ＝ＡＤ＝３cm

△ＡＤＥは二等辺三角形だから

∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤ

対頂角は等しいから

∠ＢＥＣ＝∠ＡＥＤ

よって、

∠ＢＥＣ＝∠ＡＤＥ

Ａ⌒Ｂに対する円周角だから

∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＥ

よって、

∠ＢＥＣ＝∠ＡＣＢ

△ＡＢＣは二等辺三角形だから

∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ

よって、

∠ＢＥＣ＝∠ＡＢＣ　②

①、②より

２組の角が等しいから

△ＥＢＣ∽△ＢＡＣ　③

③より

ＥＣ：ＢＣ＝ＢＣ：ＡＣ

ＥＣ

＝ＡＣ－ＡＥ＝４－３＝１cmだから

１：ＢＣ＝ＢＣ：４

ＢＣ²＝４

ＢＣ＝２cm（ＢＣ＞０）

△ＥＢＣと△ＥＡＤにおいて

前出の角の関係から

∠ＢＣＥ＝∠ＡＤＥ、

∠ＢＥＣ＝∠ＡＥＤが言えるから

△ＥＢＣ∽△ＥＡＤ　④

④より

ＥＣ：ＥＤ＝ＢＣ：ＡＤ

ＥＣ＝１cm、ＢＣ＝２cmだから

１：ＥＤ＝２：３

ＥＤ＝3/2cm

△ＢＣＥは二等辺三角形だから

ＢＥ＝ＢＣ＝２cm

よって、

ＢＤ＝ＢＥ＋ＥＤ

　　＝２＋（3/2）

　　＝7/2cm

問題

下の図で、３点Ａ、Ｂ、Ｃは円Ｏの円周上の点であり、ＢＣは円Ｏの直径である。Ａ⌒Ｃ上に点Ｄをとり、点Ｄを通りＡＣに垂直な直線と円Ｏとの交点をＥとする。ＤＥとＡＣ、ＢＣとの交点をそれぞれＦ、Ｇとする。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＤＡＣ∽△ＧＥＣであることを証明しなさい。

2）Ａ⌒Ｄ：Ｄ⌒Ｃ＝３：２、∠ＢＧＥ＝70°のとき、∠ＥＤＣの大きさを求めなさい。

1）

〔証明〕

△ＤＡＣと△ＧＥＣにおいて

Ｄ⌒Ｃに対する円周角だから

∠ＤＡＣ＝∠ＧＥＣ　①

△ＤＦＣにおいて、

∠ＡＣＤ

＝180°－∠ＤＦＣ－∠ＣＤＦ

＝90°－∠ＣＤＦ　②

直径ＢＣに対する円周角だから

∠ＢＤＣ＝90°

よって、

∠ＢＤＥ＝90°－∠ＣＤＦ　③

②、③より

∠ＡＣＤ＝∠ＢＤＥ　④

Ｂ⌒Ｅに対する円周角だから

∠ＢＤＥ＝∠ＥＣＧ　⑤

④、⑤より

∠ＡＣＤ＝∠ＥＣＧ　➅

①、➅より

２組の角がそれぞれ等しいので

△ＤＡＣ∽△ＧＥＣ

2）

Ａ⌒Ｄ：Ｄ⌒Ｃ＝３：２より

弧ＡＤに対する円周角

∠ＡＣＤ＝３ｘ°、

弧ＤＣに対する円周角

∠ＤＥＣ＝２ｘ°とする。

△ＤＡＣ∽△ＧＥＣより

∠ＡＣＤ＝∠ＥＣＧ＝３ｘ°

△ＧＣＥにおいて

三角形の内角と外角の関係より

∠ＧＥＣ＋∠ＥＣＧ＝∠ＢＧＥ

∠ＧＥＣ＝∠ＤＥＣ＝２ｘ°だから

２ｘ°＋３ｘ°＝70°

ｘ＝14

△ＤＣＦにおいて

∠ＤＣＦ＝３ｘ°＝３×14＝42°

∠ＤＦＣ＝90°だから

∠ＥＤＣ＝180°－（42°＋90°）＝48°

🌸春の新入塾　受付中🌸

【たむかい学習教室】

教員経験20年　プロ講師による

完全マンツーマン指導

追加料金なし　安心の授業料で

手厚いサポート

塾生のホンネ

「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」

「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」

「学校の授業で難しいことが増えてきた」

「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」

完全１対１授業でホンネを解決！

★苦手の克服に最適★

★受験に強い個別指導★

★経験豊富な講師の一貫指導★

★安心の授業料で全力サポート★

★苦手の克服に最適★

　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。

★受験に強い個別指導★

　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。

★経験豊富な講師の一貫指導★

　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。

★安心の授業料で全力サポート★

　入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。

　＜１か月授業料（税込）＞

　90分授業：14,800円（月4回）

120分授業：17,600円（月4回）

　(例)１回・90分授業の場合

　教師１名・生徒３名の複数指導

　→１名につき30分の個別指導

　指導時間3分の1、実質料金は割高に。

　　↕

　教師1名・生徒1名の完全個別指導

　⇒完全90分の個別指導（当塾）

　生徒1名に100％の指導時間

親御さんの声

「できる問題が増え勉強に自信がついたようで、期待感があります」

「苦手だった英語と数学が伸び始めたので、正直ホッとしています」

「成績の伸び幅と年間の費用を考えると、転塾して正解でした」

合格実績

八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科

八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学

指導実績

八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中

八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ

吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小

今年度塾生35名（2026年1月現在）

「体験学習」を実施しています

通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。

当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。

ご入塾までの流れ

体験学習（60分）

入塾をご希望の場合、

保護者面談の日程調整

↓

保護者面談（40分程度）

お子様の受講に関わるご説明

保護者の方からのご相談・ご要望

↓

受講開始手続き

体験学習・実施日時はこちら

塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

受講に関するお問い合わせ

ご相談はお気軽にお尋ねください