円順列高校数学

たむかい学習教室
9月22日
読了時間: 8分

円順列高校数学

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校数学Ａでは「順列」の学習があり、塾生からは、これに関する質問が寄せられます。順列では、１列に並べるときの並べ方の総数を求める問題のほか、円形に並べるときの総数を求める問題などがあります。円順列は、回転して同じになるものを同じ並び方として数えます。

円順列・数珠順列

問題

立方体の各面に、隣り合った面の色は異なるように、色を塗りたい。ただし、立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす。

1）異なる６色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。

2）異なる５色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。

1）

底面を１色に固定すると、

隣り合わない上面は５通り

また、

側面４つは残り４色の円順列だから

（４－１）！

上面は５通り、かつ側面は３！通り

積の法則より

５×３！＝30

30通り

2）

上下の面を１色に固定する

上下は同じ色だから、側面は４色の数珠順列

※反転させても、実際の配置は同じ

上下を１色に固定する場合は、５通り

また、

側面は４色の数珠順列だから

（４－１）！÷２＝３通り

上下は５通り、かつ側面は３通り

積の法則より

５×３＝15

15通り

円順列　（ｎ－１）！

４色のうち１色を１か所に固定すると、残り３色の順列の総数を考えればよいことになる。

👉（４－１）！＝６通り

数珠順列（ｎ－１）÷２

裏から見ても、実際の配置は同じ。

👉（４－１）！÷２＝３通り

重複順列

問題

２種類の符号〇、●をいくつか１列に並べて記号をつくる。

1）並べる符号が全部で４個のとき、何通りの記号ができるか。

2）並べる符号が１個以上４個以下のとき、何通りの記号ができるか。

3）100通りの記号をつくるためには、〇、●を最小限何個まで並べる必要があるか。

1）

1番目の位置：２通り (〇 or ●)

2番目の位置：２通り (〇 or ●)

3番目の位置：２通り (〇 or ●)

4番目の位置：２通り (〇 or ●)

積の法則より

２×２×２×２＝16

16通り

異なるｎ個からｒ個取って並べる

👉ｎのｒ乗

異なる２個（○ ●）から４個取って並べる

👉２⁴＝16通り　

2）

1個のとき：計２通り (〇 or ●)

2個のとき

1番目の位置：２通り (〇 or ●)

2番目の位置：２通り (〇 or ●)

計４通り

3個のとき

1番目の位置：２通り (〇 or ●)

2番目の位置：２通り (〇 or ●)

3番目の位置：２通り (〇 or ●)

計８通り

4個のとき

1）より、計16通り

和の法則より

２＋４＋８＋16＝30

30通り

👉２¹＋２²＋２³＋２⁴

3）

並べる符号が５個のとき

２⁵＝32通り

１個以上５個以下のときは

２＋４＋８＋16＋32

＝62通り

並べる符号が６個のとき

２⁶＝64通り

１個以上６個以下のときは

２＋４＋８＋16＋32＋64

＝126通り

よって、

100通りの記号は６個のときにできる

６個

問題

1）７人を２つの部屋Ａ、Ｂに分けるとき、どの部屋も１人以上になる分け方は全部で何通りあるか。

2）４人を３つの部屋Ａ、Ｂ、Ｃに分けるとき、どの部屋も１人以上になる分け方は全部で何通りあるか。

3）大人４人、子ども３人の計７人を３つの部屋Ａ、Ｂ、Ｃに分けるとき、どの部屋も大人が１人以上になる分け方は全部で何通りあるか。

1）

７人がどちらかに入る場合

１人目　ＡorＢ　２通り

２人目～７人目も同じ

積の法則より

２⁷＝128通り

全員がＡ、全員がＢに入る場合を除くから、

128－２＝126通り

2）

３部屋に１人以上入る組合せは、

２人・１人・１人の場合になる。

Ａに２人入る場合

４人から２人を選ぶから

₄Ｃ₂＝６通り

Ｂに１人入る場合

残り２人から１人を選ぶから

₂Ｃ₁＝２通り

Ｃに１人入る場合

残り１人から１人を選ぶから

₁Ｃ₁＝１通り

積の法則より

６×２×１＝12通り

Ａ１人・Ｂ２人・Ｃ１人

Ａ１人・Ｂ１人・Ｃ２人

のときも12通りずつあるから

12×３＝36通り

3）

大人４人が３部屋に１人以上入る組合せは、

2）より、36通り　①

子ども１人目　ＡorＢorＣ　３通り

子ども２人目　〃

子ども３人目　〃

子どもがいずれかに入る組合せは、

３×３×３＝27通り　②

①かつ②の場合だから

積の法則より

36×27＝972通り

問題

正十角形の３個の頂点を結んで三角形を作る。

1）正十角形と１辺だけを共有する三角形は何個あるか。

2）正十角形と辺を共有しない三角形は何個あるか。

1）

共有する１辺を選んだとき、

残りの頂点は辺の両端を除いて８個

ただし、隣接する辺の頂点と結ぶと、

２辺を共有することになるので、

残りの頂点は、８－２＝６個

計10辺それぞれ、６個ずつの頂点と結ぶから、

10×６＝60

求める個数は、60個

2）

（全体）－（１辺共有）－（２辺共有）

全体から共有する三角形を引いて求める

２辺を共有する個数は、

頂点の個数に等しくなるから10個

全体の三角形の個数は、

頂点10個の中から３個選ぶ組合せだから

10Ｃ₃＝120個

よって、求める個数は、

120－60－10

＝50個

１辺を共有する三角形

下図のように

六角形では、１辺ごとに２個ずつの頂点と結ぶ。

※七角形では３個ずつ

　八角形では４個ずつ

ｎ角形で１辺を共有する三角形の個数は、

ｎ（ｎ－４）となる（ｎ≧５）。

２辺を共有する三角形

頂点の数が三角形の個数になる。

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