切断した立体の体積

たむかい学習教室
10月26日
読了時間: 8分

切断した立体の体積

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

切断した立体の体積を求める問題では、底面と高さの関係を見つけ出すことがポイントになります。空間にある面や辺の位置関係をとらえるには、問題にある立体を自分で描いてみることも大切です。手を動かす勉強が、とらえ方の幅を広げることにつながります。

問題

下の図のように、１辺の長さが12cmの立方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨを３点Ｂ、Ｄ、Ｅを通る平面で切って、頂点Ａを含む三角錐を取り除いた立体がある。この立体について、あとの問いに答えなさい。

1）辺ＢＣと垂直に交わる辺をすべて答えなさい。

2）辺ＢＥとねじれの位置にある辺をすべて答えなさい。

3）この立体の体積を求めなさい。

1）

点Ｂから　辺ＢＦ、辺ＢＥ

点Ｃから　辺ＣＤ、辺ＣＧ

辺ＢＣと垂直に交わる辺は、

辺ＢＦ、辺ＢＥ、辺ＣＤ、辺ＣＧ

※辺ＢＥを含む三角形を底面にすると、高さはＢＣになる。

2）

ねじれの関係

👉２直線が平行でない、交わらない

辺ＢＥと平行な直線は、なし

辺ＢＥと交わる直線は、

辺ＢＣ、ＢＤ、ＢＦ、ＥＤ、ＥＦ、ＥＨ

よって、ねじれの関係にあるのは、

辺ＣＤ、ＣＧ、ＤＨ、ＦＧ、ＧＨ

3）

立方体の体積から、

三角錐Ｅ−ＡＢＤの体積をひいて求める。

立方体の体積　12³＝1728cm³

三角錐Ｅ−ＡＢＤの体積

底面△ＡＢＤは、

∠ＢＡＤ＝90°、ＡＢ＝ＡＤ＝12cm

△ＡＢＤの面積は、12²×1/2＝72cm²

高さは、ＡＥ＝12cm

三角錐の体積は、

72×12×1/3＝288cm³

よって、求める体積は、

1728－288＝1440cm³

問題

下の図は、三角柱の一部を平面ＡＢＣで切り取ってできた立体である。ＡＤ＝12cm、ＢＥ＝ＣＦ＝ＤＥ＝６cm、ＤＦ＝８cm、∠ＥＤＦ＝90°のとき、あとの問いに答えなさい。

1）辺ＣＦとねじれの位置にある辺は全部で何本あるか、答えなさい。

2）この立体の体積を求めなさい。

1）

ねじれの関係

👉２直線が平行でない、交わらない

辺ＣＦと平行な直線は、

ＡＤ、ＢＥ

辺ＣＦと交わる直線は、

ＡＣ、ＢＣ、ＤＦ、ＥＦ

よって、

ねじれの関係にある直線は、

ＡＢ、ＤＥの２本

※

「ねじれは辺を延ばした直線で見る」

辺を延ばした直線で見たとき、２直線が同じ平面上で交わる場合は、ねじれではない。

問題にある図形の範囲をこえてとらえることが重要。

2）

切り取る前の三角柱は、下図の通りになる。

上の図の△ＡＧＨを辺ＧＨがＢＣと重なるように平行移動すると、下図の通りになり、

△Ａ’ＧＨを底面とする三角柱と三角錐ができる。

三角柱の体積

底面積は、

６×８×1/2＝24cm²

高さはＡ’Ｄで６cm

体積は底面積×高さで求められるから

24×６＝144cm³

三角錐の体積

高さはＡＡ’で12－６＝６cm

体積は柱の1/3で求められるから

24×６×1/3＝48cm³

よって、求める体積は、

144＋48＝192cm³

問題

下の図は、三角柱であり、∠ＢＡＣ＝90°、ＡＢ＝ＡＤ＝４cm、ＢＣ＝５cm、ＣＡ＝３cmとする。あとの問いに答えなさい。

1）辺ＡＢと垂直に交わる辺をすべて答えなさい。

2）この三角柱を、３点Ｂ、Ｃ、Ｄを通る平面で切って２つの立体に分けるとき、次のア、イに答えなさい。

ア

頂点Ｅをふくむほうの立体の体積を求めなさい。

イ

頂点Ｅをふくむほうの立体の表面積から、頂点Ａをふくむほうの立体の表面積をひいた差を求めなさい。

1）

三角柱だから高さとなる辺と底面の辺は垂直の関係になる

よって、

辺ＡＢと垂直の関係は、辺ＡＤと辺ＢＥ

また、∠ＢＡＣ＝90°より

辺ＡＢと垂直の関係は、辺ＡＣ

以上から、

辺ＡＤ、辺ＢＥ、辺ＡＣ

2）ア

頂点Ａをふくむほうの立体は、

底面△ＡＢＣ、高さＡＤの三角錐になる。

頂点Ｅをふくむほうは、

（三角柱の体積）－（三角錐の体積）で求める

三角柱ＡＢＣ-ＤＥＦ

底面△ＡＢＣ

＝４×３×1/2

＝６cm²

高さは、ＡＤ＝４cm

三角柱の体積は、

６×４＝24cm³

三角錐Ｄ-ＡＢＣ

体積は三角柱の1/3で求められるから

24×1/3＝８cm³

よって、求める体積は、

24－８＝16cm³

頂点Ｅをふくむほうの立体の表面積から、頂点Ａをふくむほうの立体の表面積をひいた差を求めなさい。

2）イ

頂点Ｅをふくむ立体には５面ある

△ＤＥＦ

△ＢＤＥ

△ＣＤＦ

△ＢＣＤ

四角形ＣＦＥＢ

頂点Ａをふくむ立体には三角形の４面があり、それぞれ頂点Ｅ側の三角形４つと同じ面積になる。

よって、四角形ＣＦＥＢの面積を求めればよい。

※

△ＤＥＦ＝△ＡＢＣ（底面どうし）

△ＢＤＥ＝△ＡＢＤ（側面の半分）

△ＣＤＦ＝△ＡＣＤ（側面の半分）

△ＢＣＤ＝△ＢＣＤ（共通な面）

四角形ＣＦＥＢの面積は、

ＡＤ＝ＣＦ＝４cm、

ＢＣ＝５cmだから

４×５＝20cm²

問題

下の図は、台形ＡＢＣＤを底面とする四角柱であり、∠ＤＡＢ＝∠ＡＢＣ＝90°、ＡＤ＝９cm、ＡＢ＝８cm、ＢＣ＝11cm、ＢＦ＝６cmとする。あとの問いに答えなさい。

1）面ＡＢＦＥと平行な辺をすべて答えなさい。

2）辺ＢＣ上に点ＰをＢＰ＝４cmとなるようにとり、この四角柱を３点Ｄ、Ｐ、Ｇを通る平面で２つの立体に分ける。このとき、点Ａをふくむほうの立体の体積を求めなさい。

1）

面ＡＢＦＥにおいて、

底面に垂直な辺は、ＡＥとＢＦ

面ＣＤＨＧにおいて、

底面に垂直な辺は、ＤＨとＣＧ

よって、

辺ＤＨ、辺ＣＧ

👉四角形ＡＢＣＤは台形だから、ＡＢとＤＣ、ＥＦとＨＧは平行でない。

2）

点Ｃをふくむ立体は三角錐になる

ＢＦ//ＣＧより

ＰＣとＧＣは垂直だから

三角錐の底面を△ＤＰＣ、

高さをＧＣとして求める。

△ＤＰＣの底辺をＰＣとすると、

高さはＡＢと同じ８cm

ＰＣ＝ＢＣ－ＢＰ＝７cm

👉四角形ＡＢＣＤは台形だから、ＤＣは高さでない。

ＧＣ＝ＢＦ＝６cm

よって、三角錐Ｃ-ＤＰＧの体積は、

（1/3）×７×８×（1/2）×６

＝56cm³

四角柱の体積からひいた体積になるから

（９＋11）×８×（1/2）×６－56

＝480－56

＝424cm³

よって、

求める面積は、424cm³

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