動く図形高校入試対策

たむかい学習教室
1月10日
読了時間: 9分

動く図形高校入試対策

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。新しい2026年を迎えました。塾生たちは昨年末から受験対策を進めています。

高校入試では平面図形の移動と関数を組み合わせた出題があります。ｘについて場合分けをして式や面積を求める問題が中心となります。

問題

下の図１のような長方形の封筒と、図２のような厚紙があり、ＥＬ＝２cm、ＬＫ＝ａcm、ＫＪ＝２cm、ＪＩ＝２cm、ＩＨ＝２cm、ＨＧ＝１cm、ＦＧ＝６cmである。この封筒の中に、点Ｃと点Ｇが重なるように厚紙を入れて、図３のように、厚紙を、封筒の辺ＢＣにそって、点Ｆが点Ｃに重なるまで、矢印の方向に引き出す。２点Ｃ、Ｇの距離をｘcmとしたとき、封筒から出ている厚紙の面積をｙcm²とする。図４は、ｘとｙの関係をグラフに表したものである。このとき、あとの問いに答えなさい。ただし、点Ｃと点Ｇが重なっているときはｙ＝０とする。

1）図４のグラフ中のｂの値を答えなさい。

2）２≦ｘ≦４のとき、ｙをｘの式で表しなさい。

3）図４について、４≦ｘ≦６のとき、グラフの傾きを、ａを用いて表しなさい。

4）ａ＝２、ｙ＝９のとき、ｘの値を求めなさい。

1）

ｘ＝４のとき、下図の赤枠の面積になる。

３×４－２²＝８cm²

よって、ｂ＝８

2）

グラフの直線は、

（２，２）（４，８）を通る

ｘの増加量　４－２＝２

ｙの増加量　８－２＝６

傾き　６／２＝３

切片の値をｂとする

ｙ＝３ｘ＋ｂ

ｘ＝２、ｙ＝２を代入

２＝３×２＋ｂ

ｂ＝－４

よって、ｙ＝３ｘ－４

3）

ｘ＝６のとき、図２全体の面積になる。

1）を除いた部分の面積は、

（ａ＋３）×２＝２ａ＋６ cm²

よって、全体の面積は、

２ａ＋６＋８

＝２ａ＋14 cm²

よって、グラフの直線は、

（４，８）（６，２ａ＋14）を通る

ｘの増加量　６－４＝２

ｙの増加量　２ａ＋14－８＝２ａ＋６

よって、傾きは、

（２ａ＋６）／２

＝ａ＋３

4）

切片の値をｂとすると

ｙ＝（ａ＋３）ｘ＋ｂ

ａ＝２を代入

ｙ＝５ｘ＋ｂ

（４，８）を通るから

８＝５×４＋ｂ

ｂ＝－12

よって、直線の式は、

ｙ＝５ｘ－12

ｙ＝９のときだから

９＝５ｘ－12

ｘ＝21/5

よって、21/5

問題

下の図のように、ＡＢ＝ＢＣ＝12cm、∠ＡＢＣ＝90°の直角二等辺三角形ＡＢＣがある。点Ｐは頂点Ａを出発し、毎秒２cmの速さで辺ＡＢ、ＢＣ上を通って、頂点Ｃに向かって移動する。また、点Ｑは、点Ｐと同時に頂点Ｂを出発し、毎秒１cmの速さで辺ＢＣ上を通り、頂点Ｃに向かって移動する。このとき、点Ｐ、Ｑは途中で止まることなく移動し、点Ｐが点Ｑに追いつかれたところで止まるものとする。

点Ｐ、Ｑがそれぞれ頂点Ａ、Ｂを出発してから、ｘ秒後の３点Ａ、Ｐ、Ｑを結んでできる△ＡＰＱの面積をｙcm²とするとき、あとの問いに答えなさい。ただし、点Ｐ、Ｑがそれぞれ頂点Ａ、Ｂにあるときと、点Ｐが点Ｑに追いついたときは、ｙ＝０とする。

1）３秒後の△ＡＰＱの面積を求めなさい。

2）次の①、②について、ｙをｘの式で表しなさい。

①　０≦ｘ≦６のとき

②　６≦ｘ≦12のとき

3）△ＡＰＱの面積が16cm²になるのは、何秒後か、すべて求めなさい。

1）

△ＡＰＱの底辺はＡＰ、高さはＱＢの長さ

３秒後の点Ｐは、

２×３＝６cm動くから

ＡＰ＝６cm

３秒後の点Ｑは、

１×３＝３cm動くから

ＱＢ＝３cm

よって、求める面積は、

（1/2）×６×３＝９cm²

2）①

△ＡＰＱの底辺はＡＰ、高さはＱＢの長さ

ｘ秒後の点Ｐは、

２×ｘ＝２ｘcm動くから

ＡＰ＝２ｘcm

ｘ秒後の点Ｑは、

１×ｘ＝ｘcm動くから

ＱＢ＝ｘcm

よって、

ｙ＝（1/2）×２ｘ×ｘ

ｙ＝ｘ²

2）②

△ＡＰＱの底辺はＰＱ、高さはＡＢ

ＰＱ＝ＱＢ－ＢＰで求める

1）より、ＱＢ＝ｘcm

点Ｐは２ｘcm動くから

ＡＢ＋ＢＰ＝２ｘcm

ＢＰ＝（ＡＢ＋ＢＰ）－ＡＢだから

ＢＰ＝２ｘ－12 cm

よって、

ＰＱ

＝ｘ－（２ｘ－12）＝－ｘ＋12

ＡＢ＝12だから

ｙ＝（1/2）×（－ｘ＋12）×12

ｙ＝－６ｘ＋72

3）

０≦ｘ≦６のとき

ｙ＝ｘ²に、ｙ＝16を代入

ｘ²＝16

ｘ＝４（ｘ＞０）

６≦ｘ≦12のとき

ｙ＝－６ｘ＋72に、ｙ＝16を代入

16＝－６ｘ＋72

６ｘ＝56

ｘ＝28/3

よって、

４秒後、28/3秒後

問題

下の図のように、関数ｙ＝（1/4）ｘ²のグラフがある。また、方程式ｙ＝－３のグラフ上をｘ＞０の範囲で動く点Ａ、ｘ＜０の範囲で動く点Ｂがあります。点Ａを通りｙ軸に平行な直線と、関数ｙ＝（1/4）ｘ²のグラフとの交点をＣ、点Ｂを通りｙ軸に平行な直線と、関数ｙ＝（1/4）ｘ²のグラフとの交点をＤとする。あとの問いに答えなさい。

1）点Ａのｘ座標が４、△ＯＢＡの面積が９となるとき、点Ｂのｘ座標を求めなさい。

2）四角形ＤＢＡＣが正方形となるような点Ａのｘ座標をすべて求めなさい。

1）

△ＯＢＡの底辺の長さをｔとする

高さは、０－（－３）＝３

△ＯＢＡ＝９だから

（1/2）×ｔ×３＝９

ｔ＝６

点Ａは、ｘ＝４だから

点Ｂは、

ｘ＝４－６＝－２

よって、－２

2）

点Ａのｘ座標をａとする

ＡＢの中点はｙ軸との交点になるから

点Ｂは、ｘ＝－ａ

よって、

ＡＢ＝ａ－（－ａ）＝２ａ

点Ｃは、

Ａとｘ座標が同じだから、ｘ＝ａ

ｙ＝（1/4）ｘ²上にあるから、

ｙ＝（1/4）ａ²

Ａのｙ座標は－３だから

ＡＣ＝（1/4）ａ²－（－３）

　　＝（1/4）ａ²＋３

ＡＢ＝ＡＣになるときだから

２ａ＝（1/4）ａ²＋３

ａ²－８ａ＋12＝０

（ａ－２）（ａ－６）＝０

ａ＞０だから

ａ＝２，６

問題

図１のように、２直線ℓ、mがあり、点Ａ（12，12）で交わっている。ℓの式はｙ＝ｘであり、mの傾きは－３である。また、mとｘ軸との交点をＢとする。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）点Ｂの座標を求めなさい。

点Ｂを（ｓ，０）とする

Ａ（12，12）だから

ｘの増加量　12－ｓ

ｙの増加量　12－０＝12

傾き－３だから

12／（12－ｓ）＝－３

－３（12－ｓ）＝12

－12＋ｓ＝４

ｓ＝16

よって、（16，０）

※別解

直線mの切片をｂとする

ｙ＝－３ｘ＋ｂ

（12，12）を通るから

12＝－３×12＋ｂ

ｂ＝48

点Ｂは、

ｙ＝－３ｘ＋48上にあり、ｙ＝０だから

０＝－３ｘ＋48

ｘ＝16

よって、（16，０）

図２のように、△ＡＯＢの辺ＯＢ上に点Ｃをとり、四角形ＣＤＥＦが長方形となるように３点Ｄ、Ｅ、Ｆをとる。ただし、Ｄはｘ軸上にとり、Ｄのｘ座標はＣのｘ座標より４だけ大きく、Ｅのｙ座標は12とする。また、Ｃのｘ座標をｔとし、△ＡＯＢと長方形ＣＤＥＦが重なっている部分の面積をＳとする。

2）ｔ＝８のとき、Ｓの値を求めなさい。

3）Ｓ＝34となるｔの値をすべて求めなさい。

2）

Ｃ（８，０）　Ｄ（12，０）

直線ℓとＦＣの交点をＧ、

ＥＤとの交点をＨとする。

点Ｇは、

ｙ＝ｘ上にあり、ｘ＝８だから

ｙ＝８

よって、

ＧＣ＝８－０＝８

点Ｈは、

ｙ＝ｘ上にあり、ｘ＝12だから

ｙ＝12

よって、

ＨＤ＝12－０＝12

また、ＣＤ＝12－８＝４

四角形ＧＣＤＨは台形だから

Ｓ＝（1/2）×（８＋12）×４＝40

3）

０≦ｔ≦８のとき

※点ＨがＡに重なるまで

台形ＧＣＤＨの面積を求める式

点ＧとＣは、ｘ＝ｔ

点Ｇは、

ｙ＝ｘ上にあり、ｘ＝ｔだから

ｙ＝ｔ

よって、

ＧＣ＝ｔ－０＝ｔ

点ＨとＤは、ｘ＝ｔ＋４

点Ｈは、

ｙ＝ｘ上にあり、ｘ＝ｔ＋４だから

ｙ＝ｔ＋４

よって、

ＨＤ＝ｔ＋４－０＝ｔ＋４

また、

ＣＤ＝ｔ＋４－ｔ＝４

よって、面積を求める式は、

Ｓ＝（1/2）×（ｔ＋ｔ＋４）×４

　＝４ｔ＋８

Ｓ＝34のときだから

４ｔ＋８＝34

ｔ＝13/2

０≦ｔ≦８より、問題に適する。

８≦ｔ≦12のとき

※下図の五角形ができるとき

△ＡＯＢ－△ＩＯＣ－△ＪＢＤ

△ＡＯＢ

底辺ＯＢ＝16－０＝16

高さは点Ａからの垂線12－０＝12

△ＡＯＢの面積は、

（1/2）×16×12＝96

△ＩＯＣ

底辺ＯＣ＝ｔ－０＝ｔ

点Ｉは、

ｙ＝ｘ上にあり、ｘ＝ｔだから

ｙ＝ｔ

高さＩＣ＝ｔ－０＝ｔ

△ＩＯＣの面積は、

（1/2）×ｔ×ｔ＝（1/2）ｔ²

△ＪＢＤ

底辺ＢＤ

＝16－（ｔ＋４）＝12－ｔ

点Ｊは、

ｙ＝－３ｘ＋48上にあり、ｘ＝ｔ＋４だから

ｙ＝－３（ｔ＋４）＋48

　＝－３ｔ＋36

高さＪＤ

＝－３ｔ＋36－０＝－３ｔ＋36

△ＪＢＤの面積は、

（1/2）×（12－ｔ）×（－３ｔ＋36）

＝（3/2）（12－ｔ）²

よって、

96－（1/2）ｔ²－（3/2）（12－ｔ）²＝34

両辺×２

192－ｔ²－３（12－ｔ）²＝68

192－ｔ²－３（144－24ｔ＋ｔ²）＝68

192－ｔ²－432＋72ｔ－３ｔ²＝68

－４ｔ²＋72ｔ－308＝０

両辺÷（－４）

ｔ²－18ｔ＋77＝０

（ｔ－７）（ｔ－11）＝０

ｔ＝７，11

８≦ｔ≦12だから、ｔ＝11

12≦ｔ≦16のとき

※点ＣがＢに重なるまで（三角形ができる）

点ＤがＢに重なる（点ＦがＡに重なる）ときが、三角形の面積が最大

底辺ＢＣ＝16－12＝４

高さＡＣ＝12－０＝12

このときの面積は、

（1/2）×４×12＝24

よって、

12≦ｔ≦16のときに、Ｓ＝34になることはない。

以上から

ｔ＝13/2，11

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今年度塾生35名（2026年1月現在）

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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