反復試行の確率

たむかい学習教室
9月22日
読了時間: 14分

反復試行の確率

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校数学の確率では、「反復試行」における確率を求める学習があります。例えば、「同じコインを３回連続して投げたときに表が２回出る」場合のように、同じことを繰り返したときに出現する場合の数について確率を求めます。「和事象」「積事象」「余事象」「排反事象」の考え方を基本にします。

問題

大小２個のさいころを投げるとき、大きいさいころは５以上の目が出て、小さいさいころは奇数の目が出る確率を求めよ。

大のさいころ　２通り（5,6）

確率　2/6＝1/3

小のさいころ　３通り（1,3,5）

確率　3/6＝1/2

求める確率は、積の法則より

（1/3）×（1/2）＝1/6

※

事象ＡかつＢ👉積の法則

事象ＡまたはＢ👉和の法則

問題

１個のさいころを３回続けて投げるとき、次の確率を求めよ。

1）偶数の目、奇数の目、３の倍数の目がこの順に出る確率

2）３回目に初めて３の倍数が出る確率

3）少なくとも１回は偶数の目が出る確率

1）

1回目　３通り（2,4,6）

確率　3/6＝1/2

2回目　３通り（1,3,5）

確率　3/6＝1/2

3回目　２通り（3,6）

確率　2/6＝1/3

求める確率は、

（1/2）×（1/2）×（1/3）＝1/12

2）

1回目　４通り（1,2,4,5）

確率　4/6＝2/3

2回目　1回目に同じ

確率　2/3

3回目　２通り（3,6）

確率　2/6＝1/3

求める確率は、

（2/3）×（2/3）×（1/3）＝4/27

3）

余事象は「３回全て奇数」

少なくとも１回偶数が出る確率は、

１－（３回全て奇数の確率）

奇数が出る場合

1回目　３通り（1,3,5）

確率　3/6＝1/2

2回目　〃

3回目　〃

全て奇数が出る確率は、

（1/2）×（1/2）×（1/2）＝1/8

よって、求める確率は、

1－（1/8）＝7/8

問題

１から７までの番号札７枚の中から、１枚ずつ２枚の札を引くとき、２枚の札の数の和が偶数となる確率を求めよ。ただし、取り出した札はもとにもどすものとする。

すべての場合

1枚目の取り出し方　７通り

2枚目の取り出し方　７通り

積の法則より

７×７＝49通り

和が偶数👉奇数1枚ずつ

奇数1枚　４通り（1,3,5,7）

４×４＝16通り

よって、

奇数1枚ずつ取り出す確率は、16/49

※奇数4枚から1枚取る組合せ

　₄Ｃ₁×₄Ｃ₁＝16

和が偶数👉偶数1枚ずつ

偶数1枚　３通り（2,4,6）

奇数1枚　３通り（2,4,6）

３×３＝９通り

よって、

偶数1枚ずつ取り出す確率は、9/49

※偶数3枚から1枚取る組合せ

　₃Ｃ₁×₃Ｃ₁＝９

以上から、求める確率は、

和の法則より

（16/49）＋（9/49）＝25/49

問題

１個のさいころを６回投げるとき、次の場合の確率を求めよ。

1）奇数の目がちょうど３回出る。

2）２以下の目がちょうど４回出る。

1）

奇数が３回、偶数が３回出る確率は、

（3/6）³×（3/6）³＝1/64

奇数目の並び方は、

□　□　□　□　□　□

６か所のうち３か所に入る組合せだから

₆Ｃ₃＝20通り

確率1/64になるときが20通りあるから

求める確率は、

20×（1/64）＝5/16

2）

２以下の目が４回、

３以上の目が２回出る確率は、

（2/6）⁴×（4/6）²＝4/729

２以下の目の並び方は、

□　□　□　□　□　□

６か所のうち４か所に入る組合せだから

₆Ｃ₄＝₆Ｃ₂＝15通り

確率4/729になるときが15通りあるから

求める確率は、

15×（4/729）＝20/243

反復試行の確率

事象Ａが起こる確率をｐ

ｎ回の試行でＡがｒ回起こる確率

nＣr ×（ｐのｒ乗）×（1－ｐ）の（ｎ－ｒ）乗

1）

₆Ｃ₃×（3/6）³×（1－3/6）⁶⁻³

＝20×（1/8）×（1/8）

＝5/16

2）

₆Ｃ₄×（2/6）⁴×（1－2/6）⁶⁻⁴

＝15×（1/81）×（4/9）

＝20/243

問題

１枚の硬貨を７回投げるとき、次の場合の確率を求めよ。

1）表が５回以上出る。

2）７回目に３度目の表が出る。

1）

表がちょうど５回出る確率

₇Ｃ₅×（1/2）⁵×（1－1/2）⁷⁻⁵

＝21×（1/32）×（1/4）

＝21/128

表がちょうど６回出る確率

₇Ｃ₆×（1/2）⁶×（1－1/2）⁷⁻⁶

＝7×（1/64）×（1/2）

＝7/128

表が７回全部出る確率

₇Ｃ₇×（1/2）⁷×（1－1/2）⁷⁻⁷

＝（1/2）⁷

＝1/128

和の法則より

求める確率は、

（21/128）＋（7/128）＋（1/128）

＝29/128

※

表が５回、裏が２回出る確率は、

（1/2）⁵×（1/2）²＝1/128

表の並び方は、

○　○　○　○　○　○　○

７か所のうち５か所に入る組合せだから

₇Ｃ₅＝₇Ｃ₂＝21通り

確率1/128になるときが21通りあるから

ちょうど５回出る確率は

21×（1/128）＝21/128

表が６回、裏が１回出る確率は、

（1/2）⁶×（1/2）¹＝1/128

表の並び方は、

○　○　○　○　○　○　○

７か所のうち６か所に入る組合せだから

₇Ｃ₆＝₇Ｃ₁＝7通り

確率1/128になるときが７通りあるから

ちょうど６回出る確率は

7×（1/128）＝7/128

７回全て出る確率は、

（1/2）⁷＝1/128

全てが表で、並びは考慮しないから1/128

和の法則より

求める確率は、

（21/128）＋（7/128）＋（1/128）

＝29/128

2）

６回目までに

表がちょうど２回出る確率

₆Ｃ₂×（1/2）²×（1－1/2）⁶⁻²

＝15×（1/4）×（1/16）

＝15/64

７回目に表が出る確率は、1/2

積の法則より

求める確率は、

（15/64）×（1/2）＝15/128

問題

○か✖で答えるクイズが５題ある。１題ごとに硬貨を投げて、表が出れば○、裏が出れば✖と答えるとき、次の場合の確率を求めよ。

1）すべて不正解となる。

2）３問以上正解となる。

1）

１題につき不正解になる確率は、1/2

５題全て不正解になる確率だから

積の法則より

（1/2）⁵＝1/32

2）

正解がちょうど３問の確率

₅Ｃ₃×（1/2）³×（1－1/2）⁵⁻³

＝10×（1/8）×（1/4）

＝5/16

正解がちょうど４問の確率

₅Ｃ₄×（1/2）⁴×（1－1/2）⁵⁻⁴

＝5×（1/16）×（1/2）

＝5/32

全問正解の確率は、1/32

和の法則より

求める確率は、

（5/16）＋（5/32）＋（1/32）＝1/2

問題

Ａ、Ｂ、Ｃの３人がある検定試験に合格する確率は、それぞれ3/4、1/2、5/8であるとする。３人のうち、少なくとも１人が合格する確率を求めよ。

余事象は「３人とも合格しない」

少なくとも１人が合格する確率は、

１－（３人とも合格しない確率）

Ａが合格しない確率

1－（3/4）＝1/4

Ｂが合格しない確率

1－（1/2）＝1/2

Ｃが合格しない確率

1－（5/8）＝3/8

３人とも合格しない確率は、積の法則より

（1/4）×（1/2）×（3/8）＝3/64

よって、求める確率は、

１－（3/64）＝61/64

問題

Ａの袋には白玉７個と赤玉４個、Ｂの袋には白玉６個と赤玉５個が入っている。次の確率を求めよ。

1）Ａ、Ｂの袋からそれぞれ玉を１個取り出すとき、玉の色が異なる確率

2）Ａの袋から１個、Ｂの袋から２個玉を取り出すとき、玉の色がすべて同じである確率

1）

Ａから白玉１個を取る確率は、7/11

Ｂから赤玉１個を取る確率は、5/11

この場合の確率は、積の法則より、

（7/11）×（5/11）＝35/121　①

Ａから赤玉１個を取る確率は、4/11

Ｂから白玉１個を取る確率は、6/11

この場合の確率は、積の法則より、

（4/11）×（6/11）＝24/121　②

①または②（排反事象）の確率だから

和の法則より

（35/121）＋（24/121）＝59/121

2）

Ａから白玉１個を取る確率は、7/11

Ｂから白玉２個を取る確率は、(6/11)×(5/10)

※1個目のとき

　11個の中に6個→ 6/11

2個目のとき

　残り10個の中に5個→ 5/10

この場合の確率は、積の法則より、

（7/11）×（3/11）＝21/121　①

Ａから赤玉１個を取る確率は、4/11

Ｂから赤玉２個を取る確率は、(5/11)×(4/10)

この場合の確率は、積の法則より、

（4/11）×（2/11）＝8/121　②

①または②（排反事象）の確率だから

和の法則より

（21/121）＋（8/121）＝29/121

問題

２つの野球チームＡ、Ｂがあり、最近のＡのＢに対する勝率は2/5である。この割合で勝敗が決まるものとして、ＡとＢが３連戦を行うとき、次の場合の確率を求めよ。ただし、引き分けはないものとする。

1）Ａが２勝１敗となる。

2）Ａが少なくとも１勝する。

1）

Ａの勝率は2/5

1～3戦目の勝敗の並び順を考慮するから

₃Ｃ₂×（2/5）²×（1－2/5）³⁻²

＝3×（4/25）×（3/5）

＝36/125

※

○○✖

1戦目で勝つ確率　2/5

2戦目で勝つ確率　2/5

3戦目で負ける確率　3/5

（2/5）×（2/5）×（3/5）＝12/125

○✖○または✖○○のときも同じ確率だから

（12/125）×３＝36/125

「反復試行」の確率　参照

2）

余事象「Ａが1勝もできない（全敗）」

Ａが少なくとも1勝する確率は、

１－（Ａが1勝もできない確率）

1戦目　負ける確率　3/5

2戦目　〃

3戦目　〃

Ａが1勝もできない確率は、

積の法則より

（3/5）×（3/5）×（3/5）＝27/125

よって、求める確率は、

1－27/125＝98/125

問題

袋の中に赤玉１個、黄玉２個、青玉３個が入っている。１個取り出してもとにもどす試行を３回行うとき、それぞれの色が１回ずつ出る確率を求めよ。

取り出す順の組み合わせと

それぞれの確率（　）の値

１回目　２回目　３回目

赤(1/6)　黄(2/6)　青(3/6)

確率 1/6×2/6×3/6＝1/36

赤(1/6)　青(3/6)　黄(2/6)

黄(2/6)　赤(1/6)　青(3/6)

黄(2/6)　青(3/6)　赤(1/6)

青(3/6)　赤(1/6)　黄(2/6)

青(3/6)　黄(2/6)　赤(1/6)

6通りそれぞれ確率1/36だから

6×（1/36）＝1/6

※（1/6）×（2/6）×（3/6）×3！

問題

Ａが３枚、Ｂが２枚の硬貨を同時に投げるとき、次の場合の確率を求めよ。

1）Ａ、Ｂの出す表の枚数が等しい。

2）ＢがＡより多く表を出す。

1）

「０枚」どうしの確率も含める

Ａが表を出す確率

０枚の確率

（1/2）×（1/2）×（1/2）＝1/8

※裏かつ裏かつ裏

１枚の確率

₃Ｃ₁×（1/2）¹×（1－1/2）³⁻¹

＝3×（1/2）×（1/4）

＝3/8

２枚の確率

₃Ｃ₂×（1/2）²×（1－1/2）³⁻²

＝3×（1/4）×（1/2）

＝3/8

３枚の確率

（1/2）³＝1/8

※表かつ表かつ表

Ｂが表を出す確率

０枚の確率

（1/2）²＝1/4

１枚の確率

₂Ｃ₁×（1/2）¹×（1－1/2）²⁻¹

＝2×（1/2）×（1/2）

＝1/2

２枚の確率

（1/2）²＝1/4

表が同じ枚数になるときの確率

①Ａが０枚、かつＢが０枚

　（1/8）×（1/4）＝1/32

②Ａが１枚、かつＢが１枚

　（3/8）×（1/2）＝3/16

③Ａが２枚、かつＢが２枚

　（3/8）×（1/4）＝3/32

①または②または③の確率だから

（1/32）＋（3/16）＋（3/32）

＝5/16

Ａが３枚、Ｂが２枚の硬貨を同時に投げるとき

2）ＢがＡより多く表を出す。

①Ａが０枚、かつＢが１枚

　（1/8）×（1/2）＝1/16

②Ａが０枚、かつＢが２枚

　（1/8）×（1/4）＝1/32

③Ａが１枚、かつＢが２枚

　（3/8）×（1/4）＝3/32

①または②または③の確率だから

（1/16）＋（1/32）＋（3/32）

＝3/16

Ａが３枚、Ｂが２枚の硬貨を同時に投げるとき

3）ＡがＢより多く表を出す。

余事象は、1）と 2）の場合

１－（Ａ、Ｂの出す表の枚数が等しい確率＋ＢがＡより多く表を出す確率）

よって、

1－（5/16＋3/16）

＝1－8/16

＝1/2

※

①Ａが１枚、かつＢが０枚

　（3/8）×（1/4）＝3/32

②Ａが２枚、かつＢが０枚

　（3/8）×（1/4）＝3/32　

③Ａが３枚、かつＢが０枚

　（1/8）×（1/4）＝1/32

④Ａが２枚、かつＢが１枚

　（3/8）×（1/2）＝3/16

⑤Ａが３枚、かつＢが１枚

　（1/8）×（1/2）＝1/16

➅Ａが３枚、かつＢが２枚

　（1/8）×（1/4）＝1/32

和の法則より

（3+3+1+6+2+1）/32＝1/2

問題

硬貨を何回か投げ、先に表が３回出るとＡの勝ちとし、先に裏が４回出るとＢの勝ちとするゲームを考える。次の確率を求めよ。

1）５回目にＢが勝つ確率

2）Ｂが勝つ確率

1）

1回目～4回目に裏が３回の確率は、

1回目～4回目に表が１回の確率と同じだから

₄Ｃ₁×（1/2）¹×（1－1/2）⁴⁻¹

＝4×（1/2）×（1/8）

＝1/4

5回目に裏の確率は、1/2

よって、求める確率は、

積の法則より

（1/4）×（1/2）＝1/8

2）

Ａが表を３回出すとゲーム終了

よって、

Ａが表を２回出すまでなら勝てるので、

Ｂは４回目～６回目までなら勝てる。

※７回目では、すでにＡが表３回またはＢが裏４回の状態。

Ｂが４回目に勝つ確率

（1/2）⁴＝1/16　①

※裏かつ裏かつ裏かつ裏

Ｂが５回目に勝つ確率

1）より、1/8　②

Ｂが６回目に勝つ確率

1回目～5回目に裏が３回（表が２回）の確率は、

₅Ｃ₂×（1/2）²×（1－1/2）⁵⁻²

＝10×（1/4）×（1/8）

＝5/16

6回目に裏の確率は、1/2

（5/16）×（1/2）＝5/32　③

①または②または③の確率だから

和の法則より

（1/16）＋（1/8）＋（5/32）

＝11/32

問題

数直線上の原点Ｏに点Ｐがある。１個のさいころを投げて、１，２，３，４の目が出たらＰを正の向きに１だけ、５，６の目が出たら負の向きに１だけ移動させる。さいころを４回投げた後、ＰがＯにある確率を求めよ。

点ＰがＯにあるときは、

４以下の目（1,2,3,4）が２回、

５以上の目（5,6）が２回のとき。

👉（＋２）＋（－２）＝０

４以下が出る確率は、１回につき4/6

４回のうち２回出る確率は、

₄Ｃ₂×（4/6）²×（1－4/6）⁴⁻²

＝6×（4/9）×（1/9）

＝8/27

点ＰがＯにある場合は、

「４以上が２回だけ出ればよい」確率だから

求める確率は、8/27

※

５以上が２回だけ出ることと同じ

５以上が出る確率は、１回につき2/6

４回のうち２回出る確率は、

₄Ｃ₂×（2/6）²×（1－2/6）⁴⁻²

＝6×（1/9）×（4/9）

＝8/27

問題

一直線上を動く点Ｐがある。１枚の硬貨を投げて、表が出たらＰは右に１ｍ、裏が出たら左に２ｍずつ進む。硬貨を７回投げた後、Ｐがもとの位置から右に１ｍの位置にある確率を求めよ。

点Ｐのもとの位置を０とすると、

７回後に＋１mの位置にあるから、

表５回　＋１m×５回＝＋５m

裏２回　－２m×２回＝－４m

のときになる。

裏が出る確率は、１回につき1/2

７回のうち２回出る確率は、

₇Ｃ₂×（1/2）²×（1－1/2）⁷⁻²

＝21×（1/4）×（1/32）

＝21/128

点Ｐがもとの位置にある場合は、

「裏が２回だけ出ればよい」確率だから

求める確率は、21/128

※

表が出る確率は、１回につき1/2

７回のうち５回出る確率は、

₇Ｃ₅×（1/2）⁵×（1－1/2）⁷⁻⁵

＝₇Ｃ₂×（1/32）×（1/4）

＝21×（1/32）×（1/4）

＝21/128

問題

動点Ｐは△ＡＢＣの３つの頂点の上をＡ、Ｂ、Ｃの順に進むものとする。１個のさいころを投げて、偶数の目ならその目の数だけ進み、奇数の目なら１つ進む試行を２回くり返す。このとき、点Ａを出発した動点Ｐが、最終的に点Ｂに移る確率を求めよ。

１回目の動点Ｐの位置

目が１のとき

Ａ→Ｂ

👉移動数１

目が２のとき

Ａ→Ｂ→Ｃ

👉移動数２

目が３のとき

Ａ→Ｂ

👉移動数１

目が４のとき

Ａ→Ｂ→Ｃ→Ａ→Ｂ

👉移動数１（Ａ→Ｂと同じ）

目が５のとき

Ａ→Ｂ

👉移動数１

目が６のとき

Ａ→Ｂ→Ｃ→Ａ→Ｂ→Ｃ→Ａ

👉移動数０（Ａのままと同じ）

１回目の移動で３点それぞれにある確率

Ａにある確率（移動数０の確率）　1/6

Ｂにある確率（移動数１の確率）　4/6

Ｃにある確率（移動数２の確率）　1/6

２回目の動点Ｐの位置

１回目でＡにあるとき

２回目でＰがＢに来るのは、

移動数１のとき

よって、

Ａにある確率、かつ移動数１の確率だから

積の法則より、（1/6）×（4/6）＝1/9

１回目でＢにあるとき

２回目でＰがＢに来るのは、

移動数０のとき

よって、

Ｂにある確率、かつ移動数０の確率だから

（4/6）×（1/6）＝1/9

１回目でＣにあるとき

２回目でＰがＢに来るのは、

移動数２のとき

よって、

Ｃにある確率、かつ移動数２の確率だから

（1/6）×（1/6）＝1/36

求める確率は、和の法則より

（1/9）＋（1/9）＋（1/36）

＝1/4

問題

１個のさいころを投げて、１，６の目が出るとＡに３点を与え、１，６以外の目が出るとＢに２点を与え、先に６点を得たものを勝ちとするゲームがある。Ａがこのゲームに勝つ確率を求めよ。

Ａは２敗までならゲームができる

Ａが勝つ場合

２回の場合👉１通り

○○　２連勝

３回の場合👉２通り

○✖→○　✖○→○

１勝１敗の後に勝ち

４回の場合👉３通り

○✖✖→○　✖○✖→○　✖✖○→○

１勝２敗の後に勝ち

５回以降は、３敗になるのでなし

２回の場合

１回目　①か➅の出る確率　2/6

２回目　①か➅の出る確率　2/6

２回の場合の確率は、積の法則より

（2/6）×（2/6）＝1/9

３回の場合

２回目までに①か➅の出る場合は、

○✖　✖○　₂Ｃ₁＝２通り

○１回ごとに出る確率2/6だから

₂Ｃ₁×（2/6）¹×（1－2/6）²⁻¹

＝2×（1/3）×（2/3）

＝4/9

３回目に①か➅の出る確率は、2/6

３回の場合の確率は、積の法則より

（4/9）×（2/6）＝4/27

４回の場合

３回目までに①か➅の出る場合は、

○✖✖　✖○✖　✖✖○　₃Ｃ₂＝３通り

○１回ごとに出る確率2/6だから

₃Ｃ₁×（2/6）¹×（1－2/6）³⁻¹

＝3×（1/3）×（4/9）

＝4/9

４回目に①か➅の出る確率は、2/6

４回の場合の確率は、積の法則より

（4/9）×（2/6）＝4/27

確率1/9または4/27または4/27のときだから、和の法則より

（1/9）＋（4/27）＋（4/27）

＝11/27

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八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学

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八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ

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今年度塾生35名（2025年9月現在）

「体験学習」を実施しています

通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。

当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。

ご入塾までの流れ

体験学習（60分）

入塾をご希望の場合、

保護者面談の日程調整

↓

保護者面談（40分程度）

お子様の受講に関わるご説明

保護者の方からのご相談・ご要望

↓

受講開始手続き

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

受講に関するお問い合わせ

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