和の法則積の法則

たむかい学習教室
3 日前
読了時間: 8分

和の法則積の法則

　当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

　５月後半から高校生は、数学Ａの学習に入っています。場合の数では、「和の法則・積の法則」について学習します。「ＡまたはＢのどちらかが起こる場合」、「ＡとＢがともに起こる場合」のどちらに当てはまるのかに注目します。

和の法則

事柄Ａ、Ｂが同時に起こらないとき

Ａの起こり方がａ通り

Ｂの起こり方がｂ通り

→ＡまたはＢの起こる場合は「ａ＋ｂ」通り

問題

１個のさいころを２回投げるとき、目の和が次のようになる場合は何通りあるか。

1）６または９

2）３の倍数

1）

目の和が６→５通り

（１，５）（２，４）（３，３）（４，２）（５，１）

目の和が９→４通り

（３，６）（４，５）（５，４）（６，３）

和の法則より、

５＋４＝９通り

2）

３の倍数になるのは、

目の和が、３・６・９・12

目の和が３→２通り

（１，２）（２，１）

目の和が６→５通り

目の和が９→４通り

※1）参照

目の和が12→１通り

（６，６）

和の法則より、

２＋５＋４＋１＝12通り

積の法則

事柄Ａの起こり方がａ通り

そのどの場合にも事柄Ｂの起こり方がｂ通り

ＡとＢともに起こる場合は「ａ×ｂ」通り

問題

大小２個のさいころを投げるとき、大きいさいころの目が３以上であり、小さいさいころの目が偶数である場合は何通りか。

事柄Ａ「大きいさいころの目が３以上（３，４，５，６）」の４通りに対して、

事柄Ｂ「小さいさいころの目が偶数（２，４，６）」の３通りは、どれも起こり得る。

大きいさいころ：３，４，５，６

→４通り

小さいさいころ：２，４，６

→３通り

積の法則より、４×３＝12通り

（大，小）

（３，２）（３，４）（３，６）

（４，２）（４，４）（４，６）

（５，２）（５，４）（５，６）

（６，２）（６，４）（６，６）

問題

大中小３個のさいころを投げるとき、次の場合は何通りあるか。

1）目の和が８になる場合

2）目の積が10になる場合

3）目の大きさが、大中小の順に小さくなる場合

1）

事柄Ａ「大＋中＝７」

（大，中）＝（１，６）（２，５）（３，４）（４，３）（５，２）（１，６）　６通り

事柄Ｂ「小＝１」　１通り

ＢはＡのどの場合にも起こり得るから

積の法則より、６×１＝６通り

事柄Ａ「大＋中＝６」

（大，中）＝（１，５）（２，４）（３，３）（４，２）（１，５）　５通り

事柄Ｂ「小＝２」　１通り

積の法則より、５×１＝５通り

事柄Ａ「大＋中＝５」

（大，中）＝（１，４）（２，３）（３，２）（４，１）　４通り

事柄Ｂ「小＝３」　１通り

積の法則より、４×１＝４通り

事柄Ａ「大＋中＝４」

（大，中）＝（１，３）（２，２）（３，１）　３通り

事柄Ｂ「小＝４」　１通り

積の法則より、３×１＝３通り

事柄Ａ「大＋中＝３」

（大，中）＝（１，２）（２，１）　２通り

事柄Ｂ「小＝５」　１通り

積の法則より、２×１＝２通り

事柄Ａ「大＋中＝２」

（大，中）＝（１，１）　１通り

事柄Ｂ「小＝６」　１通り

積の法則より、１×１＝１通り

以上から和の法則より、

６＋５＋４＋３＋２＋１＝21通り

2）

事柄Ａ「大×中＝10」

（大，中）＝（２，５）（５，２）　２通り

事柄Ｂ「小＝１」　１通り

ＢはＡのどの場合にも起こり得るから

積の法則より、２×１＝２通り

事柄Ａ「大×中＝５」

（大，中）＝（１，５）（５，１）　２通り

事柄Ｂ「小＝２」　１通り

積の法則より、２×１＝２通り

事柄Ａ「大×中＝２」

（大，中）＝（１，２）（２，１）　２通り

事柄Ｂ「小＝５」　１通り

積の法則より、２×１＝２通り

以上から和の法則より、

２＋２＋２＝６通り

3）

事柄Ａ「大＝６」　１通り

事柄Ｂ「６＞中＞小」

（中、小）

＝（５，４）（５，３）（５，２）（５，１）（４，３）（４，２）（４，１）（３，２）（３，１）（２，１）　10通り

積の法則より、1×10＝10通り

事柄Ａ「大＝５」　１通り

事柄Ｂ「５＞中＞小」

（中、小）

＝（４，３）（４，２）（４，１）（３，２）（３，１）（２，１）　６通り

積の法則より、１×６＝６通り

事柄Ａ「大＝４」　１通り

事柄Ｂ「４＞中＞小」

（中、小）

＝（３，２）（３，１）（２，１）　３通り

積の法則より、１×３＝３通り

事柄Ａ「大＝３」　１通り

事柄Ｂ「３＞中＞小」

（中、小）

＝（２，１）　１通り

積の法則より、１×１＝１通り

以上から和の法則より、

10＋６＋３＋１＝20通り

積の法則・応用

問題

次の数について、正の約数は何個あるか。

1）108

2）288

1）

素因数分解より

108＝２²・３³

２²の約数は「２⁰，２¹，２²」の３個

３³の約数は「３⁰，３¹，３²，３³」の４個

※０乗＝１

積の法則より、３×４＝12個

2）

素因数分解より

288＝２⁵・３²

２⁵の約数は「２⁰，２¹，２²，２³，２⁴，２⁵」の６個

３²の約数は「２⁰，３¹，３²」の３個

積の法則より、６×３＝18個

総和

問題

600の正の約数の総和を求めよ。

素因数分解より

600＝２³×３×５²

２³の約数の総和

２⁰＋２¹＋２²＋２³＝15

３の約数の総和

３⁰＋３¹＝４

５²の約数の総和

５⁰＋５¹＋５²＝31

ぞれぞれの積で求められるから

15×４×31＝1860

問題

次の数の正の約数の総和を求めよ。

1）16

2）144

3）504

1）

16＝２⁴

２⁴の約数の総和

２⁰＋２¹＋２²＋２³＋２⁴

＝１＋２＋４＋８＋16

＝31

2）

144＝２⁴×３²

２⁴の約数の総和　31

３²の約数の総和　

３⁰＋３¹＋３²

＝13

31×13

＝403

3）

504＝２³×３²×７

２³の約数の総和

２⁰＋２¹＋２²＋２³

＝１＋２＋４＋８

＝15

３²の約数の総和　13

７の約数の総和

７⁰＋７¹

＝１＋７

＝８

15×13×8

＝1560

順列

問題

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人の名刺が１枚ずつある。この５人が１枚ずつ名刺を取るとき、１人だけが自分の名刺を取るような取り方は何通りあるか。

Ａが自分の名刺を取ると、Ｂ・Ｃ・Ｄ・Ｅの４人は自分以外の名刺を取ることになる。

その組み合わせは、

C,B,E,D　C,D,E,B　C,E,B,D

D,B,E,C　D,E,B,C　D,E,C,B

E,B,C,D　E,D,B,C　E,D,C,B　

計９通り

他の４人にも同じことが言えるから

積の法則より、９×５＝45通り

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