図形問題高校受験対策3

たむかい学習教室
9月4日
読了時間: 7分

図形問題高校受験対策3

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

夏休みの塾生は、２学期の準備学習や受験対策に取り組みました。高校入試では、図形に関する問題が必ず出題されます。そのため、面積や体積の求め方、図形の性質、合同条件や相似条件などの基本は、確実に押さえておく必要があります。また、さまざまな問題の演習を通して、図形の見方や考え方を広げていくことができます。

回転体（円錐と円柱）

問題

下の図のような平行四辺形ＡＢＣＤを、直線ℓを軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。

辺ＡＤを含む直角三角形を、

辺ＡＤとＢＣが接するように移動すると、

縦10cm、横６cmの長方形になる。

この長方形を回転させてできる円柱の体積と等しくなる。

底面積×高さ

π×６²×10

＝360π

よって、

求める体積は、360π cm³

底面の周の長さ

問題

図１のように、底面の半径が３cmの円錐がある。この円錐を、図２のように平面上に置き、頂点Ｏが中心で母線の長さが半径となる円の上を、すべらないように１周ころがした。このとき、円錐は、ころがし始めてからもとの位置にもどるまでに、ちょうど５回転した。この円錐の側面積を、円周率πを用いて求めなさい。

円錐の底面の１周分

👉１回転したときの円Ｏの周上を移動した距離

５回転したから、

底面の５周分の長さになる。

半径が３cmだから

２π×３×５

＝30πcm

円Ｏの円周が30πcmだから

半径をｒとすると

２πｒ＝30π

ｒ＝15

円Ｏの半径と、

円錐の母線の長さは等しいから

側面のおうぎ形の半径は15cm

側面のおうぎ形

弧の長さは底面の円周と同じだから

２π×３

＝６πcm

面積は、

弧の長さ×半径×1/2で求められるから

６π×15×1/2

＝45π cm²

おうぎ形の弧

問題

半径が１cmで中心角が90°のおうぎ形ＯＡＢがある。図１、２において、おうぎ形ＯＡＢは最初に直線ℓ上に半径ＯＢがくるような㋐の位置にあるとする。このとき、あとの問いに答えなさい。ただし、円周率はπとする。

1）おうぎ形ＯＡＢを点Ｂを中心として時計回りに回転移動させる。点Ｏが㋐の位置にあったおうぎ形ＯＡＢの弦ＡＢ上にくるまで回転させたとき、半径ＯＢの動いたあとは図１の色付き部分で示したおうぎ形になる。このおうぎ形の面積を求めなさい。

1）

ＯＡ＝ＯＢ、∠Ｏ＝90°より

△ＯＡＢは直角二等辺三角形である

よって、

∠ＯＢＡ＝45°

これが色付き部分の中心角になるから

求める面積は、

π×１²×45/360

＝1/8π cm²

2）図２のように、おうぎ形ＯＡＢを、直線ℓ上をすべらないように回転させながら、㋐の位置から㋑の位置まで移動させる。このとき、点Ｏがえがいた線全体の長さを求めなさい。

2）

㋐を90°移動したとき

点Ｏは弧をえがく

👉弧ＡＢの長さと同じ

ℓと弧ＡＢが接しながら移動したとき

点Ｏは直線をえがく

👉弧ＡＢの長さと同じ

㋑の位置に移動したとき

点Ｏは弧をえがく

👉弧ＡＢの長さと同じ

よって、

弧ＡＢ×３の長さになる

求める線全体の長さは、

２π×１×1/4×３

＝3π/2 cm

三角形の合同

問題

下の図のような、ＡＤ//ＢＣの台形ＡＢＣＤがある。点Ｅは辺ＣＤの中点であり、点Ｆは線分ＡＥ上の点である。ＡＦ＝３cm、ＦＥ＝４cmであるとき、△ＢＥＦの面積は、台形ＡＢＣＤの面積の何倍か、求めなさい。

辺ＡＥと辺ＢＣ、

それぞれを延長した線の交点をＧとする。

△ＡＤＥと△ＧＣＥで

ＤＥ＝ＣＥ　①

∠ＡＥＤ＝∠ＧＥＣ（対頂角）②

ＡＤ//ＧＣより

∠ＡＤＥ＝∠ＧＣＥ（錯角）③

①～③より

１組の辺とその両端の角が等しいから

△ＡＤＥ≡△ＧＣＥ

台形ＡＢＣＤの面積は、

四角形ＡＢＣＥ＋△ＡＤＥ

△ＡＢＧの面積は、

四角形ＡＢＣＥ＋△ＧＣＥ

△ＡＤＥ＝△ＧＣＥだから

台形ＡＢＣＤ＝△ＡＢＧ

△ＡＢＧと△ＢＥＦは、

高さが等しいから、

底辺の比が面積の比になる。

ＡＧ＝ＡＥ＋ＥＧ

　　＝14cm

ＡＧ：ＥＦ＝14：４

よって、

△ＡＢＧ：△ＢＥＦ＝14：４

14△ＢＥＦ＝４△ＡＢＧ

△ＢＥＦ＝2/7△ＡＢＧ

△ＡＢＧ＝台形ＡＢＣＤだから

２／７倍

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今年度塾生28名（2025年4月現在）

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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